2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第15讲导数的应用__导数与函数的单调性（教师版）

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知识梳理
函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0或f′(x)0”，需构造函数g(x)＝x2f(x)，求导后得x>0时，g′(x)>0，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，从而问题得以解决．
题型4 函数单调性的简单应用——根据函数单调性求参数
【例4-1】若函数在，上为增函数，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【分析】求出函数的导数，问题转化为在，恒成立，求出的范围即可．
【解答】解：，
若在，递增，则在，恒成立，
则，则，
故选：．
【例4-2】已知函数，若存在，使，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【分析】求导得，定义域为，令，则，设，，于是有，即．易推出在上的单调性，然后求出的最小值即可得解．
【解答】解：，，
令，则，设，，，即，
当时，，单调递减；当，时，，单调递增．
，
．
故选：．
【例4-3】若函数在区间单调递增，则的取值范围是 ；若函数在区间内不单调，则的取值范围是 ．
【分析】求出导函数，由导函数在内大于等于0恒成立求解的取值范围；由函数在区间不是单调函数，得函数在区间上有极值，即导函数在区间内有解，由此求得的取值范围．
【解答】解：①由，得，
由函数在区间单调递增，
得在上恒成立，即在上恒成立，
．
的取值范围是，；
②函数在区间内不单调，
在区间有解．并且解的两侧，导函数的符号相反，
由，解得，．
而在区间上单调递减，在，上单调递增．
的取值范围是．
故答案为：，；．
【跟踪训练4-1】若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为
A．或B．C．D．
【分析】求出函数的导数，得到有变号零点，结合二次函数的性质可求．
【解答】解：，
若函数在其定义域上不单调，
则有变号零点，
故△，解得：或，
故选：．
【跟踪训练4-2】若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ．
【分析】求出函数的导数，问题转化为在区间恒成立，求出的范围即可．
【解答】解：，，
，
若函数区间上为减函数，
则在区间恒成立，
即，
故答案为：，．
【跟踪训练4-3】已知函数在区间，上单调递增，则的取值范围为 ．
【分析】求出的导数，问题转化为，，，令，，，求出函数的最小值，求出的范围即可．
【解答】解：，若在，上单调递增，
则在，上恒成立，即，，，
令，，，则，
令，解得：，令，解得：，
故在，递增，在，递减，故的最小值是（e）或，
而（e），故（e），
故的范围是，，故答案为：，．
【名师指导】
已知函数单调性求参数范围
(1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增，则在区间D上f′(x)≥0恒成立；
(2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减，则在区间D上f′(x)≤0恒成立；
(3)已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间，则f′(x)>0在区间D上有解；
(4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间，则f′(x)