2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题05一元二次不等式及其解法（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题05一元二次不等式及其解法（学生版），共13页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.
3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
【考点预测】
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
4.分式不等式与整式不等式
(1)eq \f(f（x）,g（x）)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2)eq \f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
【常用结论】
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为
(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.
3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0.))
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c<0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0.))
【方法技巧】
1.含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论.
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式.
(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.
2.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.
3.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
4.对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.
5.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.
①若ax2＋bx＋c＞0恒成立，则有a＞0，且Δ＜0；若ax2＋bx＋c＜0恒成立，则有a＜0，且Δ＜0.
②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).
二、【题型归类】
【题型一】分式不等式的解法
【典例1】不等式eq \f(x－1,2x＋1)≤1的解集为________．
【典例2】不等式eq \f(x－2,x2＋3x＋2)＞0的解集为 ．
【典例3】若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(x－2,x)≤0))，则A∩B＝( )
A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
【题型二】不含参的不等式解法
【典例1】不等式－2x2＋x＋3<0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>\f(3,2)))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(3,2)或x>1))))
【典例2】(多选)已知集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x||x－1|≤2，x∈R))，集合N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(5,x＋1)≥1，x∈R))))，则( )
A．M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1≤x≤3))
B．N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1≤x≤4))
C．M∪N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1≤x≤4))
D．M∩N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1【典例3】关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是________．
【题型三】含参不等式解法
【典例1】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).
【典例2】解不等式12x2－ax>a2(a∈R).
【典例3】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
【题型四】在R上恒成立问题
【典例1】对∀x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，则a的取值范围是( )
A．－2C．a<－2或a≥2 D．a≤－2或a≥2
【典例2】已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围.
【典例3】若不等式a·4x－2x＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
【题型五】在给定区间上恒成立问题
【典例1】已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．
【典例2】若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))成立，则实数a的最小值为( )
A．0 B．－2 C．－eq \f(5,2) D．－3
【典例3】若存在实数x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为( )
A.(13，＋∞) B.(5，＋∞)
C.(4，＋∞) D.(－∞，13)
【题型六】给定参数范围的恒成立问题
【典例1】若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
【典例2】已知对于任意的a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是( )
A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3
C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2
【典例3】若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围.
【题型七】二次不等式、二次函数及二次方程的关系
【典例1】已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<－1或x>\f(1,2))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1C．{x|－21}
【典例2】已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式cx2－bx＋a＞0的解集为________．
【典例3】(多选)满足关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)A．(－2，－1) B．(－3，－6)
C．(2,4) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))
【题型八】一元二次不等式的应用
【典例1】甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x＋1－\f(3,x)))元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
【典例2】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加eq \f(8,5)x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．
三、【培优训练】
【训练一】若关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2)B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤a<－\f(1,2)或\f(3,2)【训练二】已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)若不等式组的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；
(2)若对于任意x∈[－1,1]，不等式t·f(x)≤2恒成立，求t的取值范围．
【训练三】已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1，3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．
【训练四】解关于x的不等式：eq \f(a（x－1）,x－2)＞1(a＜1)．
【训练五】已知函数f(x)＝eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.
【训练六】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
四、【强化测试】
【单选题】
1. 已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B等于( )
A．(0,2) B．(－1,0)
C．(－3,2) D．(－1,3)
2. 若00的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,t)B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(1,t)或xC.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,t)或x>t))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(t3. 已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，那么不等式f(－2x)<0的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))
4. 已知某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
5. 已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)<0的解集是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(1,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))
6. 若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[－1，4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2，5]
7. 若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4，1] B．[－4，3]
C．[1，3] D．[－1，3]
8. 若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4，1] B．[－4，3]
C．[1，3] D．[－1，3]
【多选题】
9. 满足关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)A．(－2，－1) B．(－3，－6)
C．(2,4) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))
10. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则( )
A．a2－b2≤4
B．a2＋eq \f(1,b)≥4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0
D．若不等式x2＋ax＋b11. 若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是( )
A．b<0且c>0
B．a－b＋c>0
C．a＋b＋c>0
D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)
12. 下列四个解不等式，正确的有( )
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))))
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7D．若关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1
【填空题】
13. 不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
14. 若00的解集是________．
15. 若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在区间[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．
16. 在R上定义运算：xy＝x(1－y)，若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．
【解答题】
17. 若不等式ax2＋5x－2>0的解集是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
18. 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x），x＞0，,－f（x），x＜0，))求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．
19. 已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值.
20. 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．
21. 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：
s甲＝0.1x＋0.01x2， s乙＝0.05x＋0.005x2.
问甲、乙两车有无超速现象？
22. 函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
eq \f({x|x＞x2,或x＜x1})
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠－\f(b,2a)))
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
不等式
解集
aa＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a∅
{x|b