2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题48直线的方程（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题48直线的方程（学生版），共8页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
【考点预测】
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}.
2.直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α.
(2)计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量eq \(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq \f(y,x).
3.直线方程的五种形式
【常用结论】
直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
牢记口诀：
1．“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．
【方法技巧】
1.斜率的两种求法：定义法、斜率公式法．
2.倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性．
3.求直线方程一般有以下两种方法：
①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．
②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．
4.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用．
5.直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标．
6.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积．
7.求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
二、【题型归类】
【题型一】直线的倾斜角与斜率
【典例1】直线2xcs α－y－3＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的变化范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))
【典例2】过函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
【典例3】若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))，则k的取值范围是________．
【题型二】求直线的方程
【典例1】经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0
【典例2】已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
【典例3】经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3,2)的直线方程为__________．
【题型三】直线方程的综合应用
【典例1】已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
【典例2】已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
【典例3】当k>0时，两直线kx－y＝0，2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最大值为________．
三、【培优训练】
【训练一】（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【训练二】（2023·全国·高二专题练习）设，，已知函数，有且只有一个零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【训练三】（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知直线l与曲线相交，交点依次为D、E、F，且，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
【训练四】（2023·全国·模拟预测）设直线l：，圆C：，若直线l与圆C恒有两个公共点A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．r的取值范围是
B．若r的值固定不变，则当时∠ACB最小
C．若r的值固定不变，则的面积的最大值为
D．若，则当的面积最大时直线l的斜率为1或
【训练五】（2023·全国·高三专题练习）将两圆方程作差，得到直线的方程，则（ ）
A．直线一定过点
B．存在实数，使两圆心所在直线的斜率为
C．对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直
D．过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等
【训练六】（2022·河南·校联考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是 ．
四、【强化测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高二专题练习）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）圆：与直线：交于、，当最小时，的值为（ ）
A．B．2C．D．1
3．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知，是椭圆的左、右焦点，是的上顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．如果且，那么直线不通过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．（2023·全国·高二专题练习）若直线与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高二专题练习）已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）直线，直线，下列说法正确的是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，与都相交D．，使得原点到的距离为3
8．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，抛物线和直线在第一象限内的交点为．设是抛物线上的动点，且满足，记．现有四个结论：①当时，；②当时，的最小值是；③当时，的最小值是；④无论为何值，都存在最小值．其中正确的个数为（ ）

A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．（2023秋·高二单元测试）已知圆，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线能表示平面直角坐标系内每一条直线
C．对任意实数，直线都与圆相交
D．直线被圆截得的弦长的最小值为
10．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．直线经过定点
B．的最小值为
C．点到直线的距离的最大值为
D．是锐角
11．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．存在使得直与直线垂直
C．对于任意，直线与圆相交
D．若直线过第一象限，则
12．（2023·全国·高二专题练习）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．若圆C关于直线l对称，则
C．若，则或D．若A，B，C，O四点共圆，则
三、填空题
13．（2023·全国·高二专题练习）已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则 ．
14．（2023·全国·高二专题练习）已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有 条.
15．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
16．（2022·河南·校联考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
17．如图，为椭圆的两个顶点，为椭圆的两个焦点．
(1)写出椭圆的方程及准线方程；
(2)过线段上异于O，A的任一点K作的垂线，交椭圆于P，两点，直线与交于点M．求证：点M在双曲线上．
18．一条直线过点，并且与直线平行，求这条直线的方程．
19．（2022秋·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.
(1)求AB边所在的直线方程；
(2)求中线AM的长
(3)求AB边的高所在直线方程.
20．如图，已知直线与曲线在第一象限和第三象限分别交于点和点，分别由点、向轴作垂线，垂足分别为、，记四边形的面积为.
(1)求出点、的坐标及实数的取值范围；
(2)当取何值时，取得最小值，并求出的最小值.
21．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点.
(1)求所在直线的一般式方程；
(2)当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程.
22．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知，直线相交于，且直线的斜率之积为2.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设是点轨迹上不同的两点且都在轴的右侧，直线在轴上的截距之比为，求证：直线经过一个定点，并求出该定点坐标.名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0