2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第42讲空间向量及其运算和空间位置关系（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第42讲空间向量及其运算和空间位置关系（教师版），共15页。试卷主要包含了空间向量及其有关概念，数量积及坐标运算，直线的方向向量与平面的法向量，空间位置关系的向量表示等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．空间向量及其有关概念
2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cs〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝eq \r(x2＋y2＋z2).
(2)空间向量的坐标运算：
3．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
4．空间位置关系的向量表示
题型归纳
题型1 空间向量的线性运算
【例1-1】如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是
A．B．C．D．
【分析】根据是的中点，即可得出，然后进行向量的数乘运算即可．
【解答】解：是的中点，
．
故选：．
【例1-2】如图已知正方体中，是的中点，，，，，则
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【分析】设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，根据条件得解得，，．
【解答】解：正方体，棱长为1，
以为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
所以，0，，0，，，1，，，，，0，，0，，
，
因为，
所以，1，，0，，，，0，
解得，，，
故选：．
【跟踪训练1-1】已知空间四边形中，，点在线段上，且，点为的中点，则
A．B．C．D．
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算法则，用，，表示出即可．
【解答】解：如图空间四边形中，
点在上，且，
，又为的中点，
，
，
．
故选：．
【跟踪训练1-2】如图，是三棱锥的底面的重心，若、、，则的值为
A．B．C．D．1
【分析】可想着再用，，表示，根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则，，从而便可得到，由此可求出．
【解答】解：如图，连结，
是三棱锥的底面的重心，
，
，
、、，
，，
．
故选：．
【名师指导】
进行向量的线性运算，有以下几个关键点
(1)结合图形，明确图形中各线段的几何关系．
(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立．
题型2 共线、共面向量定理的应用
【例2-1】已知空间向量，1，，，，，且，则实数
A．B．C．D．6
【分析】由，可设，可得，解出即可得出．
【解答】解：，可设，，
解得．
故选：．
【例2-2】在四面体中，空间的一点满足，若共面，则
A．B．C．D．
【分析】利用向量共面基本定理即可得出结论．
【解答】解：由共面知，，解得．
故选：．
【例2-3】已知空间三点，1，，，3，，，5，在一条直线上，则实数的值是
A．2B．4C．D．
【分析】空间三点，1，，，3，，，5，在一条直线上，可得存在实数，使得，即可得出．
【解答】解：，2，，，4，，
空间三点，1，，，3，，，5，在一条直线上，
则存在实数，使得，
，解得，．
故选：．
【跟踪训练2-1】已知，，若，则
A．B．C．D．
【分析】由，可得存在实数使得，即可得出．
【解答】解：，存在实数使得，
，解得，，．
则．
故选：．
【跟踪训练2-2】已知点，2，，，4，，，，三点共线，则 ．
【分析】利用向量共线定理即可的．
【解答】1解：因为，，三点共线，所以可设．
因为，
，
解得，，．
所以解得所以．
故答案为：1．
【跟踪训练2-3】在下列条件中，使与，，一定共面的是
A．B．
C．D．
【分析】利用空间向量基本定理进行验证，可得时，、、是共面向量，从而可得、、、四点共面．
【解答】解：在中，由，得，则、、为共面向量，即、、、四点共面；
对于，由，得，不能得出、、、四点共面；
对于，由，得，所以、、、四点不共面；
对于，由，得，其系数和不为1，所以、、、四点不共面．
故选：．
【名师指导】
共线、共面向量定理的类比
题型3 空间向量数量积的应用
【例3-1】棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点．
（1）证明：．
（2）求．
（3）求的长．
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标；
（1）利用，证明；
（2）利用空间向量的数量积求出，；
（3）利用空间向量的模长公式计算的值．
【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示；
则，0，，，1，，，2，，，2，，，2，；
（1），1，，，0，，
，
，
；
（2）由知，，2，，，，，，，，
，
，，
，；
（3）为的中点，，，，，1，，
，，，
，
即的长为．
【例3-2】已知空间向量，，若，则实数
A．B．C．1D．2
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量公式，求得的值．
【解答】解：空间向量，，若，
，求得实数，
故选：．
【跟踪训练3-1】已知，1，，，，，，1，，则
A．18B．C．D．
【分析】可以求出，然后进行向量数量积的坐标运算即可．
【解答】解：，，
．
故选：．
【跟踪训练3-2】在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，，，则的长为
A．3B．C．6D．
【分析】由，可得，即可得出．
【解答】解：，
则
．
．
故选：．
【名师指导】
空间向量数量积的3个应用
题型4 利用空间向量证明平行或垂直
【例4-1】在边长是2的正方体中，，分别为，的中点．应用空间向量方法求解下列问题．
（1）求的长
（2）证明：平面；
（3）证明：平面．
【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，代入长度公式求解；
（2）求出的坐标表示，关键坐标关系判断，再利用线面平行的判定定理证明；
（3）利用，，可证直线垂直于、，再利用线面垂直的判定定理证明．
【解答】解：（1）如图建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，
，分别为，的中点，，1，，，1，，，0，，
．
（2），0，，，
又平面，平面，
平面．
（3），，，，0，，
，，，，又，
平面．
【跟踪训练4-1】如图，设为长方形所在平面外一点，在上，在上，若，用向量法证明：直线平面．
【分析】建立空间坐标系，设，，三点坐标，用此三点的坐标表示出，，，然后观察能否用表示出即可判断线面是否平行．
【解答】解：建立如图所示的空间坐标系，设，0，，，，，，，，则，，，
，，，，，，，，，，，，，，，
，，设，则，，，，，．
，，，．
平面，平面，平面，平面．
【跟踪训练4-2】已知正方体的棱长为2，，分别是，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【分析】建立空间直角坐标系，求出，，，，，，，的坐标，求出，，．
（1）利用向量的数量积为0求出平面的法向量，通过向量的数量积推出，利用直线与平面平行的判定定理证明平面．
（2）求出平面的一个法向量．与平面的法向量，通过向量共线证明，平面平面．
【解答】解：如图所示建立空间直角坐标系，
则有，0，，，0，，，2，，，2，，
，2，，，0，，，2，，
所以，2，，，0，，，2，．
（1）设，，是平面的法向量，则，，
即，令，
所以，，因为，所以，
又因为平面，
即平面．
（2）因为，0，，设，，是平面的一个法向量．
由，，得．
令，所以，，，
所以，所以平面平面．
【名师指导】
利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．
(4)根据运算结果解释相关问题．概念
语言描述
共线向量(平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
共面向量
平行于同一个平面的向量
共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量基本定理及推论
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使eq \(OP, \s\up7(―→))＝xeq \(OA, \s\up7(―→))＋yeq \(OB, \s\up7(―→))＋zeq \(OC, \s\up7(―→))且x＋y＋z＝1
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角公式
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝km(k∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝km(k∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0
三点P，A，B共线
空间四点M，P，A，B共面
eq \(PA, \s\up7(―→))＝λeq \(PB, \s\up7(―→))
eq \(MP, \s\up7(―→))＝xeq \(MA, \s\up7(―→))＋yeq \(MB, \s\up7(―→))
对空间任一点O，eq \(OP, \s\up7(―→))＝eq \(OA, \s\up7(―→))＋teq \(AB, \s\up7(―→))
对空间任一点O，eq \(OP, \s\up7(―→))＝eq \(OM, \s\up7(―→))＋xeq \(MA, \s\up7(―→))＋yeq \(MB, \s\up7(―→))
对空间任一点O，eq \(OP, \s\up7(―→))＝xeq \(OA, \s\up7(―→))＋(1－x)eq \(OB, \s\up7(―→))
对空间任一点O，eq \(OP, \s\up7(―→))＝xeq \(OM, \s\up7(―→))＋yeq \(OA, \s\up7(―→))＋(1－x－y)eq \(OB, \s\up7(―→))
求夹角
设向量a，b夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角
求长度(距离)
利用公式|a|2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂直问题
利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题