2022-2023学年河南省焦作市博爱重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省焦作市博爱重点中学高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数满足为虚数单位，则复数的共轭复数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知向量，，，且，则实数(    )

A.  B.  C.  D. 任意实数

4.  函数的大致图象为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  圆锥的母线长为，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲、乙等名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知且，且，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，为椭圆：的左右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则椭圆的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  在某次高中学科竞赛中，名考生的参赛成绩统计如图所示，分以下视为不及格若同一组中数据用该组区间中点作为代表，则下列说法中正确的是(    )

A. 成绩在分的考生人数最多 B. 不及格的考生人数为
C. 考生竞赛成绩的平均分约分 D. 考生竞赛成绩的中位数为分

10.  已知函数为正整数，的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是(    )

A. 是函数的一个零点
B. 函数的图象关于直线对称
C. 方程在上有三个解
D. 函数在上单调递减

11.  已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为若抛物线上存在一点到焦点的距离等于则下列说法正确的是(    )

A. 抛物线的方程是 B. 抛物线的准线是
C. 的最小值是 D. 线段的最小值是

12.  已知三棱柱的六个顶点都在球的球面上，若点到三棱柱的所有面的距离都相等，则(    )

A. 平面
B.
C. 平面截球所得截面圆的周长为
D. 球的表面积为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在的展开式中，含项的系数为        ．

14.  已知函数为定义在上的偶函数，且当时，，则函数在处的切线斜率为______ ．

15.  已知等比数列的公比，其前项和为，且，，则数列的前项和为          ．

16.  已知双曲线的实轴长为，离心率为，直线与交于，两点，是线段的中点，为坐标原点若点的横坐标为，则的取值范围为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知数列的前项和为．
若，，证明：；
在的条件下，若，数列的前项和为，求证．

18.  本小题分
已知数列的前项和为，，．
记，证明：是等差数列，并求的通项公式；
记数列的前项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数．

19.  本小题分
如图，直三棱柱的体积为，的面积为．
求到平面的距离；
设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

20.  本小题分
已知双曲线．
试问过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；
直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点当点运动时，求点的轨迹方程．

21.  本小题分
已知是平面直角坐标系的原点，是抛物线：的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，且的重心为在曲线上．
求抛物线的方程；
记曲线与轴的交点为，且直线与轴相交于点，弦的中点为，求四边形面积的最小值．

22.  本小题分
已知函数，．
写出函数在的零点个数，并证明；
当时，函数有零点，记的最大值为，证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
根据集合的基本运算即可求解．
【解答】
解：，，
，
，
，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，
则，
则复数的共轭复数是．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：向量，，，且，
，
则实数，
故选：．
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数，其定义域为，
由于，所以该函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除，
又由恒成立，排除，
若，必有，解可得，即当时，函数值为，排除，
故选：．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除，再分析函数的值域，排除，求出函数的零点，排除，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值域分析，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设圆锥底面半径为，母线为，轴截面顶角为，则，得，
所以，
因为为锐角，所以，即，则为钝角，
所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为．
故选：．
设圆锥底面半径为，母线为，轴截面顶角为，求出，推出为钝角，然后求解截面面积的最大值．
本题考查圆锥的侧面积、底面积、截面面积的求解，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有种安排方法，
若甲乙在同一实验舱的种数有种，
故甲乙不在同一实验舱的种数有种．
故选：．
根据分步计数原理结合部分平均分组以及结合间接法运算求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，设，
且，变形可得，即，
且，变形可得，即，
且，变形可得，即，
，其导数，
在区间上，，则为减函数，
在区间上，，则为增函数，其草图如图：
则有，
故选：．
根据题意，设，对三个式子变形可得，，，求出的导数，分析其单调性，可得的大致图象，分析可得答案．
本题考查函数的单调性的分析以及性质的应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了直线与椭圆的综合．属中档题．
根据面积关系，用表示，再根据垂直得，．
【解答】
解：设椭圆半焦距为，，
，，
在倾斜角为的直线上，点满足，
，
，
，
即，解得，
所以，，，
，解得，，
椭圆的方程为．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，所以选项A正确，
选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，所以选项B正确，
选项，由频率分布直方图可得，平均分等于分，所以选项C正确，
选项，因为成绩在的频率为，在的频率为，
所以中位数为分，所以选项D错误，
故选：．
由频率分布直方图可知选项A，B正确，利用区间中点值乘以该组的频率，再依次相加，即可求出平均值的估计值，利用中位数左侧的概率之和为，求出中位数的估计值．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和中位数的估算，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，，所以，解得，
又为正整数，所以，所以，
所以函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数，
由题意知，函数的图象关于原点对称，故，即，
又，所以，，所以，
对于，，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，当时，，
因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，故D正确．
对于，令，因为，所以，
显然在内只有，两个解，即方程在上只有两个解，故C错误；
故选：．
先由周期范围及为正整数求得，再由平移后关于原点对称求得，从而得到，
对于，将与代入检验即可；
对于，利用换元法得到在内只有两个解，从而可以判断；
对于，利用整体法及的单调性即可判断．
本题考查根据三角函数的图象变换法则求变换后所得图象对应的函数解析式等相关问题，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线：的焦点为，
得抛物线的准线方程为，
点到焦点的距离等于，可得，解得，
则抛物线的方程为；所以不正确；
抛物线的准线方程：，所以B正确；
由题知直线的斜率存在，，
设，，直线的方程为，
由，消去得，
所以，，
所以，
所以的中点的坐标为，
，
所以圆的半径为，
在等腰中，
，
当且仅当时取等号．
所以的最小值为所以C正确；
线段的最小值是：所以不正确；
故选：．
求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得，进而得到抛物线方程；判断，求出准线方程判断，
求得，设，，直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，可得圆的半径，由中点坐标公式可得的坐标，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值．判断，求出距离的最小值判断．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程，求解交点，运用韦达定理和弦长公式、中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：已知三棱柱的六个顶点都在球的球面上，，若点到三棱柱的所有面的距离都相等，
因为三棱柱的六个顶点都在球的球面上，
根据球的对称性可知三棱柱为直棱柱，所以平面，因此A正确；
因为，所以，
因为点到三棱柱的所有面的距离都相等，所以三棱柱的内切球与外接球的球心重合，
设该三棱柱的内切球的半径为，则，所以，因此B错误；
由，可知，解得负值已舍去，
则易得的外接圆的半径，
所以平面截球所得截面圆的周长为，因此C正确；
三棱柱外接球的半径，
所以球的表面积，因此D错误．
故选：．
根据球的对称性可知三棱柱为直棱柱，可判断；由题意可得三棱柱的内切球与外接球的球心重合，可判断；由题意得的外接圆的半径，可判断；由三棱柱外接球的半径，可判断．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，其展开式的通项为，
令，解得，则含的系数为．
故答案为：．
根据二项式定理，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：函数为定义在上的偶函数，且当时，，
设，则，，
当时，，
函数在处的切线斜率为．
故答案为：．
由已知求出时的函数解析式，再求导函数，得到函数在处的导数值即可．
本题考查函数的解析式及其求法，考查导数的几何意义及应用，是中档题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到由对数的运算性质可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．

【解答】

解：等比数列的公比，其前项和为，且，，
可得，，
解得，则，
，
所以前项和为．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】解：由题双曲线的实轴长为，离心率为，
知解得所以双曲线．
直线与交于，两点，是线段的中点，为坐标原点．若点的横坐标为，
设直线的方程为，联立消去并整理得，
所以，所以，
设，，，所以，，
所以，，又，所以，所以，
可知直线与双曲线左、右两支各交于一点，
所以，所以，所以，所以．
故答案为：．
求出双曲线设直线的方程为，联立消去并整理得，设，，，结合韦达定理以及已知条件，转化求解的范围即可．
本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，是填空题中的压轴题，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
 

17.【答案】解：因为，，
所以整理得：常数，且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故，
所以，
当时，，整理得，
当时，满足上式，
所以，所以成立．
证明：由知，
，
所以，
则，
所以，
所以成立． 

【解析】直接利用数列的递推关系式和关系式的变换求出结果．
利用的结论和裂项相消法及放缩法求出结果．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：由，得，
即，，
即，
又，数列是以为首项，为公差的等差数列，
；
由知．，
，
，得，
所以，，
因为
所以，
所以是递增数列，
，
使不等式成立的最大正整数为． 

【解析】根据数列前项和与第项的关系，结合等差数列的定义进行求解即可；
根据错位相减法，结合数列的单调性进行求解即可．
本题主要考查数列的递推式，错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由直三棱柱的体积为，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得．
由直三棱柱知平面，
所以平面平面，又平面平面，又平面平面，
所以平面，，，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，，又，解得，
则，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，令，则，，
平面的一个法向量为，
，，
二面角的正弦值为． 

【解析】利用体积法可求点到平面的距离；
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的正弦值．
本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．
 

20.【答案】解：点不能是线段的中点，
假定过点能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，
显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
而双曲线渐近线的斜率为，即，
联立，得，
则有，解得，
此时，即方程组无解，
所以过点不能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点．
依题意，由，得，
因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，
则有，
即，点的横坐标为，
点，，
过点与直线垂直的直线为，
因此，，，，
所以点的轨迹方程为，． 

【解析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，由判别式及给定中点坐标计算判断作答．
联立直线与双曲线的方程，由给定条件得到，求出的坐标及过点与直线垂直的直线方程，即可求解作答．
本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，方程思想，属中档题．
 

21.【答案】解：由题知，焦点，显然直线的斜率存在，
设直线：，，，，
联立消去得，则，
则，所以，
所以且，
故，
即，
整理得对任意的恒成立，故，
故所求抛物线的方程为．
由知，，，，，，
则又弦的中点为，的重心为，则，
则，故DG，所以四边形为梯形．
又点到直线的距离，，，
所以四边形的面积，
当且仅当，即时取等号，
此时四边形面积的最小值为． 

【解析】设直线：，与抛物线联立可得韦达定理，根据重心的性质求出的坐标，代入曲线即可求解；
先证明四边形为梯形，求出点到直线的距离，和，代入梯形的面积公式，利用基本不等式即可求解．
本题考查圆锥曲线面积问题，设而不求法韦达定理的应用，化归转化思想，属中档题．
 

22.【答案】解：在上有唯一零点．
证明如下：由，得，，
在上单调递减，又，
在上恒成立，
则在上单调递减，
，，
函数在上有唯一零点；
证明：令，得，
，由可知，在上有唯一零点，
且在上单调递增，在上单调递减，
的最大值．
下面再证明．
一方面；
另一方面，要证，即证，又，
则只需证明，
记，则，由可知在上恒成立，
在上单调递减，即．
综上所述，． 

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查函数零点的判定，考查化归与转化、函数与方程思想，考查逻辑思维能力、推理论证能力及运算求解能力，属难题．
求出函数的导函数，可得在上单调递减，结合，可得在上恒成立，得到在上单调递减，
再由，，即可得到函数在上有唯一零点；
令，得，利用导数求得的最大值，即可得到的最大值，直接由单调性得到；然后利用导数证明，即可得到．