2022-2023学年河南省焦作市高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年河南省焦作市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合和集合，再由交集定义求解即可.

【详解】由已知，，

由不等式得，∴，即，

∴，

∴.

故选：D.

2．若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（    ）

A． B．(，4)

C． D．( ，1 )

【答案】A

【分析】由题且不共线，据此可得答案.

【详解】因向量的夹角为锐角，则，

且不共线，即.

综上可知，或.

故选：A

3．已知  则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式求解.

【详解】解：因为 ，

所以，

故选：C

4．已知函数，为了得到函数的图象，只需把的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【答案】D

【分析】根据图象平移变换知识对各选项进行辨析即可.

【详解】对于A，把的图象向左平移个单位长度，可以得到

，故选项A不正确；

对于B，把的图象向右平移个单位长度，可以得到

，故选项B不正确；

对于C，把的图象向右平移个单位长度，可以得到

，故选项C不正确；

对于D，把的图象向左平移个单位长度，可以得到

，故选项D正确.

故选：D.

5．如图，在中，为边上的中线，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由平面向量基本定理，用基底表示所求向量，根据向量的线性运算求解即可.

【详解】由已知，∵中，为边上的中线，∴，

又∵，∴，

∴.

故选：A.

6．若，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】将化为，后利用基本不等式可得答案.

【详解】，

因为，所以，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为.

故选：B.

7．如图是位于河南省焦作市的“腾飞”铜马雕塑，建于1985年，寓意焦作人民奋发昂扬的精神风貌.某同学为测量雕塑的高度CD，选取了与雕塑底部在同一条水平直线上的点A，B，并测得米，则雕塑的高度CD为（    ）

参考数据：

A． 米 B． 米 C．米 D． 米

【答案】C

【分析】设，在中，得到，在中，利用正弦定理求解.

【详解】解：设，

在中，，

在中，由正弦定理得，

即，

所以，

故选：C

8．已知 则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据条件得到，则，后由函数的单调性比较大小即可.

【详解】因为，所以.

注意到，

因为在上单调递减，所以，所以.

因为均在上单调递减，所以.

又在上单调递增，所以.

综上可知，.

故选：B.

二、多选题

9．若则（    ）

A． B．事件A与B不互斥

C．事件A与B相互独立 D．事件A与B不一定相互独立

【答案】BC

【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可.

【详解】因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，故B正确；

，所以，故A不正确；

又，故成立，

故事件A与B相互独立，故C正确，D错误

故选：BC.

10．已知向量，则（    ）

A． ∥  B．

C． D．与的夹角为

【答案】BD

【分析】利用向量平行，向量模，向量垂直，向量夹角的坐标表示验证各选项正误即可得答案.

【详解】A选项，，因，则与不共线，故A错误；

B选项，，

又，则，故B正确；

C选项，因，则与不垂直，故C错误；

D选项，，又，

则，即与的夹角为 ，故D正确.

故选：BD

11．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．

B．直线是的图象的一条对称轴

C．函数是偶函数

D．函数在上单调递减

【答案】AD

【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.

【详解】因为，所以，所以，即，

又，由于，所以，

所以，即，所以，

根据诱导公式得，

所以，故A选项正确；

令得，

不存在，使得，

所以直线不是的图象的一条对称轴，B选项错误；

因为，所以，

易知函数的定义域为R，且，

所以函数是奇函数，C选项错误；

令得，

当时，得在上单调递减，

所以函数在上单调递减，所以D选项正确.

故选：AD

12．已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，，则有两解

B．若，，，则

C．若，，是角的平分线，且点在边上，则的长度可能为

D．若，，则面积的最大值为

【答案】ACD

【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用二倍角的正弦公式、正弦定理以及同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用等面积法求出的取值范围，可判断C选项；利用余弦定理、基本不等式结合三角形的面积公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，，，

由正弦定理可得，

所以，，故有两解，A对；

对于B选项，因为，，，可得，

所以，，则为锐角，故，B错；

对于C选项，设，其中，则，

因为，即，

即，

所以，，而，C对；

对于D选项，由余弦定理可得，

所以，，当且仅当时，等号成立，

故，D对.

故选：ACD.

三、填空题

13．2023年3月1日，“中国日报视觉”学习强国号上线.某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下:83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的75%分位数为___________ .

【答案】

【分析】由百分位数定义可得答案.

【详解】因，则从小到大第8个成绩为学习成绩的75%分位数，即.

故答案为：

14．已知向量的夹角为60°，且 ，则在方向上的投影数量为___________ .

【答案】-1

【分析】先求出向量 与向量 的夹角，再根据投影的定义求解.

【详解】设向量 ， 与 的夹角为 ，则 ，

，

， 在 方向上投影的数量为 ，

故答案为：-1.

15．若函数 有且仅有一个零点，则实数的取值范围为 __________ .

【答案】

【分析】求出函数在上的零点，分析可知，直线与函数在上的图象无交点，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】当时，令可得；

当时，，此时函数单调递减，

因为函数有且只有一个零点，所以，函数在上无零点，

由可得，

所以，直线与函数在上的图象无交点，如下图所示：

且当时，，由图可知，当或时，直线与函数在上的图象无交点.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

16．已知在中，为边上的中线，且=4，则的取值范围为_________.

【答案】

【分析】分别在和中，利用余弦定理得到，，根据，两式相加得到，然后利用余弦定理结合基本不等式求解.

【详解】解：如图所示：

在中，由余弦定理得，

，

在中，由余弦定理得，

，

因为，所以，

两式相加得，则，

当且仅当时，等号成立，

所以，

因为，

所以，

故答案为：

四、解答题

17．已知向量满足||=2，||=1，且与的夹角为120°.

(1)求||;

(2)求与的夹角.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由向量模的计算公式可得答案；

（2）利用向量夹角计算公式可得答案.

【详解】（1）

；

（2），

，

，

则，又，则与的夹角为.

18．已知函数

(1)求的最小正周期及单调递减区间；

(2)求在区间 上的最大值与最小值.

【答案】(1)；；

(2)在区间 上的最大值为2，最小值为1.

【分析】（1）由周期计算公式及的单调递减区间可得答案；

（2）由题可得，后由在上的单调性可得答案.

【详解】（1）因，则最小正周期为；

因在上单调递减，则，

即的单调递减区间为：；

（2）因，则，又在上单调递增，在上单调递减，.

则当，即时，取最大值，为；

当，即时，取最小值，为；

即在区间 上的最大值为2，最小值为1.

19．已知的内角，，所对的边分别为，且向量与

平行.

(1)求;

(2)若，，求的面积.

【答案】(1).

(2)

【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得，在根据正弦定理进行边角互化即可求得角；

（2）根据余弦定理，及，，，配方可求解出，再利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】（1）由题意得：，所以，

由正弦定理得：，

又因为，则有，

又，所以.

（2）由余弦定理得：，

又，，，

所以，解得，

则的面积.

20．全国爱卫办组织开展“地级市创卫工作”满意度调查工作,2023年2月14日24日在网上进行问卷调查,该调查是国家卫生城市评审的重要依据,居民可根据自身实际感受,对所在市创卫工作作出客观、公正的评价.现随机抽取了100名居民的问卷进行评分统计,评分的频率分布直方图如图所示,数据分组依次为:

(1)求的值以及这100名居民问卷评分的中位数；

(2)若根据各组的频率的比例采用分层随机抽样的方法,从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6人,查阅他们的答卷情况,再从这6人中选取2人进行专项调查,求这2人中恰有1人的评分在内的概率.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由各组数据频率之和为1可得a,由频率分布直方图计算中位数公式可得答案；

（2）由（1）结合频率分布直方图可知6人中,[65,70)中的有2人,[70,75)中的有4人,后利用列举法可知总情况数与2人中恰有1人的评分在[70,75)内的情况数,即可得答案.

【详解】（1）由频率分布直方图,

；

注意到前3个矩形对应频率之和为：,

前4个矩形对应频率之和为：,

则中位数在之间,设为x,则,即中位数为.

（2）评分在[65,70),[70,75)对应频率为：,则抽取6人中,[65,70)中的有2人,设为,[70,75)中的有4人,设为.

则从6人中选取2人的情况为：

,共15种,恰有1人在[70,75)中的有8种情况,

故相应概率为：.

21．如图，在中，，，是边的中点，

(1)求边的长;

(2)若点在边上，且△的面积为，求边的长.

【答案】(1)4

(2)

【分析】（1）在中利用余弦定理可求的长，利用为中点可得答案；

（2）先利用余弦定理求出的长，再求出，利用面积公式可求答案.

【详解】（1）因为，，，

所以，解得，

因为是边的中点，所以.

（2）在中，;

,

,

因为△的面积为，所以,

即，解得.

22．已知函数

(1)判断的奇偶性;

(2)判断的单调性，并用单调性的定义证明；

(3)若方程在区间上恰有1个实根，求实数λ的取值范围.

【答案】(1)奇函数

(2)单调递增，证明见解析；

(3)

【分析】(1)根据奇偶性的定义求解；

(2)根据单调性的定义证明；

(3)先求出 的值域，令 ，将原方程等价于直线 与函数 只有一个交点即可.

【详解】（1）因为，定义域为R，

又 ，

所以 是奇函数；

（2）函数单调递增，

设 ，则有：

，

因为 ，，，

所以，即，

所以函数单调递增；

（3）由于 是单调递增的，当 时， ，

令 ，则 等价于方程 在 时有一个根，

也就等价于函数 与直线 在时有一个交点，

函数图象如下：

，

当 时， ，当 时， ，

由图可知：当 时满足题意；

综上，实数λ的取值范围为 .