新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点4-2 基本关系式、诱导公式与三角恒等变换6大题型

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点4-2 基本关系式、诱导公式与三角恒等变换6大题型
基本关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考中的一个必考内容。一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等或偏下；但在三角函数的解答题中有时也会涉及到合并化简。
一、给值求值、给值求角问题
1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;
②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：
等.
3、“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是：
（1）求值：求出所求角的某种三角函数值.
（2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.
（3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.
二、辅助角公式
对于形如的式子，可变形如下：
=
由于上式中和的平方和为1，
故令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，
或由和共同确定．
三、三角函数化简“三看”原则

【题型1 正、余弦齐次式的计算】
【例1】（2022秋·四川成都·高三玉林中学校考阶段练习）已知，则______．
【答案】0
【解析】由题意可得.
【变式1-1】（2022秋·四川成都·高三玉林中学校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】．
故选：B．
【变式1-2】（2022秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知锐角满足，则______.
【答案】
【解析】∵，∴，
即，
又∵为锐角，∴，
∴，即，∴，
故有：.
【变式1-3】（2022·四川乐山·统考一模）已知，， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，解得，
，故选：A.
【变式1-4】（2022·陕西西安·第三十八中学校考一模）若，则（ ）
A．3 B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】因为，
所以．
故选：A.
【题型2 sina±csa与sinacsa关系】
【例2】（2022秋·山东青岛·高三校考阶段练习）（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，
所以，则，
因为，所以，，所以，故A正确；
所以，所以，故D正确；
联立，可得，，故B正确；
所以，故C错误.故选：ABD.
【变式2-1】（2022秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知，.则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以①，
，则，，
②，故A错，B正确；
联立①②得，，所以，故C错；
，故D错.故选：B.
【变式2-2】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，解得，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
由解得，所以，
所以.故选:C.
【变式2-3】（2022·上海宝山·统考一模）设，且，则（ ）
A．－1 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】，故，得，得到，
，
所以，，得，，，，
则，故选：C
【题型3 诱导公式的综合应用】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故，
则.故选：A
【变式3-1】（2022秋·江西九江·高三校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
则，故选：D
【变式3-2】（2022秋·浙江金华·高三校考阶段练习）已知为第三象限角，=_______.
【答案】
【解析】.
【变式3-3】（2022秋·湖南邵阳·高三邵阳市第二中学校考阶段练习）若，则___________.
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，又，所以.
【题型4 三角恒等变换之给值求值】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________.
【答案】
【解析】因为
，
，
，
因为，所以，所以，
故
【变式4-1】（2022秋·江苏镇江·高三校考期末）已知，则的值为__.
【答案】1
【解析】由，得，
再由，得，可得，
．
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，则_______.
【答案】
【解析】由可得，
即，则，
即，
解得或（舍去），故答案为：
【变式4-3】（2022秋·安徽·高三校联考阶段练习）（多选）已知，其中为锐角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】为锐角，即，，，
由于，所以，
所以，
由于，所以，A选项正确.
，所以B选项正确.
①，
②，
①+②并化简得，所以C选项错误，
①-②并化简得 ，
所以，所以D选项错误. 故选：AB
【题型5 三角恒等变换之给值求角】
【例5】（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知，，且，，则的值是___________.
【答案】
【解析】因为，，且，，
所以，，且，
则，所以.
【变式5-1】（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）若为锐角，，则角__________.
【答案】
【解析】由于为锐角，所以，
所以，
所以，
所以.
【变式5-2】（2023·湖南湘潭·统考二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可将，，
则，
，
，即或．
又，所以，
所以，所以选项A，B错误，
即，则，所以．则C错，D对，故选：D
【变式5-3】（2022秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知，，，，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，故，故；
，，，，
故，；
，，故.故选：C
【变式5-4】（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）（多选）已知满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】因为，且，所以，，
则，所以，故A错误；
由，得，，
所以，则，故B正确；
由，，得，，
，所以，故C正确；
因为，
所以，
故，故D正确.故选：BCD.
【题型6 三角函数化简求值综合】
【例6】（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）若，则_______．
【答案】
【解析】，
，，
原式.
故答案为：.
【变式6-1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即．记，则______．
【答案】
【解析】，
.
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）化简：___________．
【答案】2
【解析】 ．
【变式6-3】（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）求值_________．
【答案】
【解析】 ，故答案为：.
【变式6-4】（2022秋·山东枣庄·高三滕州市第一中学新校校考阶段练习）求值：
（1）； （2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式
.
（2）因为
所以原式
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1．（2022秋·吉林·高三校考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，所以，故，
又因为，所以，解得：.故选：D
2．（2023·重庆·统考一模）（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
.故选：C
3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
.故选：C
4．（2023秋·山东东营·高三第一中学校考期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以．故选：A
5．（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】故选：B.
6．（2022·陕西西安·交大附中校考模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，且，
所以，故选：.
7．（2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
即，
因为，所以，所以，
所以，可得.故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得，两边平方得，解得，
则原式.故选：A
9．（2022秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考期末）若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若角的终边经过点，则，
，故选：A.
10．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
因为，所以，于是有，
而，即，
因为，所以，即，故选：B
11．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A．-2 B． C．3 D．9
【答案】B
【解析】角的终边经过点，则，
即，解得，
．故选：B．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且的图像过定点，且角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为当时，，所以过定点，
由三角函数的定义可得，，，
所以，故选：D
13．（2022秋·安徽·高三校联考期末）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵
，
所以．故选：A．
14．（2023·甘肃兰州·校考一模）等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】因为，
所以.
故选：C.
15．（2022秋·辽宁大连·高三统考期末）若，且．则（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【解析】由 得 ，
进而得，化简得： ，所以或，
由于，所以，故，故选：C
16．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，
即，
，又，则，
，，故选：A.
17．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
，，
，.
，，，，故选：D.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知、都是锐角，且，，那么、之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则，
所以，，
因为、都是锐角，由题意可得，
所以，，
所以，，
因为、都是锐角，则且，则，
所以，，因此，.故选：D.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，，
，
又，.故选：B.
20．（2021秋·福建泉州·高三晋江市第一中学校考阶段练习）若，，且，，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】因为，，，，，，，
又因为，，
所以为第二象限角，为第二象限角，
所以，，
又因为，
所以，
所以，．故选：A.