新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点4-1 三角函数的图象与性质6大题型

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热点4-1 三角函数的图象与性质6大题型
三角函数的图象与性质是高考的热点，函数的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、单调性之间逻辑关系则是重心。随着新高考改革的推进，更加注重对以周期性为核心的三大性质之间的逻辑关系的考查，要求考生能用几何直观和代数运算来研究三角函数。高考中的相关试题多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏下。
一、三角函数性质问题相关方法
1、周期的计算公式:
函数的周期为，
函数的周期为求解.
2、奇偶性的判断方法:
三角函数中奇函数一般可化为或的形式，
而偶函数一般可化为的形式.
3、解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心.
方法：整体处理法、代入验证法
对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线或点是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行判断.
确定函数单调区间的方法
采用“换元”法整体代换，将‘’看作一个整体，可令“”，即通过求的单调区间而求出函数的单调区间.若，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间.
二、三角函数图形变换问题
解决三角函数图像变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
1、定函数：一定要看准是将哪个函数的图像变换得到另一个函数的图像.
2、变同名：函数的名称要一样.
3、选方法：即选择变换方法.要注意：对于函数的图像，向左平移个单位长度得到的是函数的图象，而不是函数的图像.
【题型1 三角函数的图象辨析】
【例1】（2023·湖南湘潭·统考二模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定义域为，关于原点对称，
因为，所以为奇函数，故排除C,D,
又，所以排除B,故选：A
【变式1-1】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定义域为，，所以为偶函数，
图象关于轴对称，排除C，D选项；
，排除B选项.
所以A选项正确.故选：A
【变式1-2】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得函数定义域为，且，
∴为偶函数，故排除选项B，
∵，，为最大值，∴排除选项D，
∵，
∴是为周期的周期函数，∴排除选项A.故选：C
【变式1-3】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）函数在上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以f（x）是奇函数，排除A，D，
当时，，，所以，排除C，故选：B．
【变式1-4】（2022秋·四川遂宁·高三遂宁中学校考阶段练习）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得函数的定义域为，定义域关于原点对称.
设，
所以，
所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项D.
又，所以排除选项B.
当时，，所以此时.故选：A
【题型2 根据图象求三角函数解析式】
【例2】（2023秋·湖南怀化·高三统考期末）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】观察函数图象得，函数的周期，则，
而，即，则有，
因此，即有，
所以.故选：C
【变式2-1】（2022秋·贵州铜仁·高三校考阶段练习）已知A，B，C，D，E是函数一个周期内的图像上的五个点，如图，A，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则的值为（ ）
A． B．， C．， D． ，
【答案】A
【解析】因B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，
则与图像最高点（最靠近点）连线所对应向量在x轴上的投影为，
又A，
则A与图像最高点(最靠近点)连线对应向量在x轴上的投影为，
故函数最小正周期为，又，则.
又因函数图像过点，则，得，
又，则，得.
综上，有，.故选：A
【变式2-2】（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）函数的部分图象如图，轴，当时，若不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为轴，所以图象的一条对称轴方程为，
所以，则，所以，
又，，且，所以，故，
因为当时，不等式恒成立，
所以，
令，
因为，则，所以
所以的最小值为，
所以，即．故选：．
【变式2-3】（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）已知函数，若，且函数的部分图象如图所示，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由图可知，函数过点和点，即，
又因为，所以，
结合正弦型函数的性质可知， ，解得，
所以，解得，因为，所以
所以，所以，即，解得，
因为，所以，故选：B.
【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，若将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由图象可知：，最小正周期，，
，，解得：，
又，，，，
，
，解得：，
当时，；当时，.故选：AD.
【题型3 三角函数图象变换问题】
【例3】（2023秋·江西赣州·高三统考期末）函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】由图象可知，，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，又，所以
所以
又因为，
所以只需把的图象上所有点向左平移个单位长度可得的图象.
故选：C.
【变式3-1】（2022·四川·高三统考对口高考）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】A
【解析】依题意，，
所以把函数图象上所有的点向左平移个单位
可以得到函数的图象，A正确.故选：A
【变式3-2】（2022·陕西汉中·统考一模）为得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】
故可由的图象向左平移个单位长度得到.故选：A.
【变式3-3】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数的图象向左平移个单位长度后与其导函数的图象重合，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
而函数的图象向左平移个单位长度后得到
，
由题意得，所以,解得且，
所以，故选：D
【变式3-4】（2022·全国·模拟预测）已知函数的图象向左平移（）个单位长度后得到的导函数的图象，则（ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
而
，
由题意得，所以 ,解得 ，
所以，故选：B.
另解：因为，所以，
由题意知对一切实数恒成立，所以令，
得，故选：B.
【变式3-5】（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）将函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），然后再将其图象向左平移单位得到图象，若函数图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,
由，横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到，
将其图象向左平移单位得到图象，
而图象关于轴对称，∴，
∵，∴当时，取最小值.故选：C.
【题型4 三角函数的四种性质】
【例4】（2023秋·河南南阳·高三统考期末）已知函数是偶函数,则______．
【答案】
【解析】由题知数是上偶函数，所以,
即，
即，即，,
所以.
故答案为:
【变式4-1】（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）函数的单调递减区间为______.
【答案】
【解析】由＝cs＝cs，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为 (k∈Z).
故答案为：.
【变式4-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．点是图象的一个对称中心
C．的值域为
D．不等式的解集为
【答案】C
【解析】，
作出的图象，如图，
观察图象，的最小正周期为，A错误；
的图象没有对称中心，B错误；
的值域为，C正确；
不等式，即时，，得，
解得，
所以的解集为，故D错误.故选：C
【变式4-3】（2023·四川内江·统考一模）已知函数，若函数在上单调递减，则不能取（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为
由，，得，，
所以函数的单调递减区间为.
又函数在上单调递减，所以，
所以，，因为，所以，，
当时，得，得，不成立；所以不可取；
当时，得，得,因为，所以时，可取到；
当时，得，得，因为，所以时，可取到；
当时，得，得，因为，所以时，可取到.
综上所述：不能取.故选：A
【变式4-4】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．在上存在唯一的极值点
【答案】BC
【解析】函数的最小正周期为，
由及得：，则，
而，即有，解得，即或，
当时，，由得，
有，而，显然不存在整数，使得，
当时，，由得，
有，而，于是得，符合题意，
所以，A不正确，B正确；
，当时，，
而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，C正确；
当时，，
而函数在上两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，
所以函数在上有两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，D不正确.
故选：BC
【变式4-5】（2023·安徽淮南·统考一模）（多选）已知函数图像过点，且存在，当时，，则（ ）
A．的周期为
B．图像的一条对称轴方程为
C．在区间上单调递减
D．在区间上有且仅有4个极大值点
【答案】ACD
【解析】因为图像过点且，所以，解得，
因为存在，当时，，
所以，即，，又因为，所以，所以，
选项A：的周期，正确；
选项B：图像的对称轴为，解得，，
令，无整数解，B错误；
选项C：当时，，
所以由正弦函数的图像和性质可得在区间上单调递减，C正确；
选项D：当时，，所以由正弦函数的图像和性质可得
在区间有4个极大值点，3个极小值点，D正确；故选：ACD
【变式4-6】（2023秋·湖北·高三统考期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是的一个周期
B．的图象关于点中心对称
C．在区间上的零点个数为4
D．的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，
所以是的一个周期，故A正确；
对于B，，
所以的图象关于点中心对称，故B正确；
对于C，由，得或，，得或，，
由及得或或，所以或或，
由及得或或或或，
所以或或或或，
所以在区间的零点为，，，，,共5个,故C错误；
对于D，，
所以，
设，，
则，
令，得，令，得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以当时，取得最大值为，或时，取得最小值为，
所以，所以，
所以的最大值为，故D正确；故选：ABD
【变式4-7】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）（多选）已知函数，则（ ）
A． B．的最小正周期为
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】BD
【解析】，故A错误；
函数的最小正周期为，故B正确；
时，，故在上单调递增，故C错误；
时，，故在上单调递增，故D正确．故选：．
【题型5 三角函数的最值问题】
【例5】（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）定义运算例如，，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题设中的新定义，得，
由可得，所以，
所以，，即，，
由可得，所以，
所以，，即，，
所以，
当，，，
当，时，，
所以函数为周期函数，周期为，
作出函数在一个周期内的图象（实线部分），
观察图象，可知函数的值域为，故选:D.
【变式5-1】（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）已知定义域为的函数满足，且
，则当时，函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
所以，得，，
所以，，
所以，，得的最小值为.故选：A.
【变式5-2】（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）如图是函数的部分图象，则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图象知函数的周期，即，即，
由五点对应法得，得，则，
因为，所以，所以.故选：D
【变式5-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）函数的最大值为（ ）.
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】，
所以，
故的最大值转化为点到与的距离之差的最大值，
因为，，，
所以，
当且仅当时，等号成立，则，
经检验，此时，，
所以，即的最大值为.故选：D.
【变式5-4】（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则___________．
【答案】
【解析】由于若，且在区间上有最小值无最大值，
，则，
所以，
又，
由于，所以的值为.
故答案为：
【变式5-4】（2020秋·吉林白城·高三校考阶段练习）已知向量，，设函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）最大值1,最小值.
【解析】（1）由题意得，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，所以，所以，
所以当即时函数有最大值为1，
当即时函数有最小值为.
【题型6 三角函数的零点问题】
【例6】（2022·四川宜宾·统考模拟预测）若函数，则在区间上零点的个数是_______．
【答案】4
【解析】令，则，
所以或，
所以或，
又，所以，
则在区间上零点的个数是4，
故答案为：4
【变式6-1】（2023·全国·高三对口高考）已知，函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】函数在区间上有且仅有两个零点，
可以转化为：方程在区间上有且仅有两个不相等的实根．
令，因为，所以，
利用的图像可以得出，解得.
故答案为：．
【变式6-2】（2022秋·河南濮阳·高三统考阶段练习）已知函数在上有且仅有1个零点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由函数，且，令
则，故函数在区间上有且只有一个零点
所以，解得.
故答案为：.
【变式6-3】（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）若函数在上存在两个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以
令，则
因为，所以
若函数在上存在两个零点，
问题转化为与图像有两个交点
如图
由图可得：，解得：，故选：B.
【变式6-4】（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）已知函数.若在上恰好有5个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，对任意的，
在上至多有2个零点，不合题意，所以.
函数的对称轴为直线，.
所以在上单调递减，在上单调递增，且.
①当，即时，则在上无零点.
所以在上恰有5个零点.
当时，，则，
由正弦曲线可得，解得，此时不存在；
②当，即时，在上只有一个零点.且当时，
，
又，则在上只有2个零点，
此时在上的零点个数为3，不合题意；
③当，即时.
（ⅰ）当，即，即时.
根据二次函数的图象知，在上有2个零点，
则在上有3个零点.
又，所以，
所以应有，解得，所以；
（ⅱ）当，即时.
根据二次函数的图象知，在上有1个零点，
则在上有4个零点.
又，所以，
所以应有，解得.
综上所述，的取值范围是.故选：D.
【变式6-5】（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，函数的图像如下图所示：
根据函数图像，函数在上单调递增，在上单调递减；
且时取最大值2，在时取最小值0，是部分图像的渐近线.
令，则关于的方程即可写成
此时关于的方程应该有两个不相等的实数根（其他情况不合题意），
设为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：
①当时，此时，则
②当时，此时，则
综上可知，实数的取值范围是.故选：C.
【变式6-6】（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知定义在上的函数满足：为偶函数，且；函数，则当时，函数的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数，所以关于对称，
所以当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
……
函数为的图象向左平移个单位，
的图象如下图所示，
均关于对称，有14个交点，
所以函数的所有零点之和为：.故选：A.
（建议用时：60分钟）
1．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【解析】因为函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，所以，
当时，，
因为函数在上单调递增，
所以有，
因此的最大值为，故选：B
2．（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知函数且，则函数的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，即，
所以，所以，所以，，
又，令，，解得，，
所以函数的对称轴为，，，
故函数的一条对称轴为.故选：A
3．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）函数的部分图像如图所示，且．则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．在区间上为减函数 D．
【答案】D
【解析】观察图像可知，且，
且，解得或，
观察图像可知,故，
则，综上，故A错误；
则，则，故B错误；
时，，单调递增，故C错误；
，又结合图像可知在区间上为减函数，
，故，故D正确；故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，且恒成立，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【解析】，所以，
由于恒成立，所以，，
所以.故选：D
5．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．为函数的一个周期
B．是函数图象的一个对称中心
C．函数在区间上单调递增，则实数的最大值为
D．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象
【答案】C
【解析】对于选项：由已知可得，
所以，
所以为函数的一个周期，故A正确；
对于选项B：令，解得，
当时，，所以点是曲线的一个对称中心，故B正确；
对于选项C：由，得，
令，得，
因为在区间上单调递增，所以实数的最大值为，故C错误；
对于选项D：将函数的图象向右平移个单位长度后，
得到的图象，
因为，所以函数为偶函数，故D正确.故选：C.
6．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知，周期是的对称中心，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
由可得，且，所以，
又因为是的对称中心，故解得
且，即，
所以，当时，，即，
所以，故选:D
7．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）（多选）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上的最大值为6
B．函数在上的最小值为-2
C．函数在上单调递增
D．函数在上单调递减
【答案】BCD
【解析】因为，
当时，，最大值为，
最小值为．
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
而二次函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，函数在上单调递减．故选：.
8．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）（多选）设，，则（ ）.
A．在区间上有2个零点
B．的单调递增区间为，
C．的图象关于直线对称
D．的值域为
【答案】ABD
【解析】因为，所以是以为周期的周期函数，
当时，，
．
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
根据函数的周期性作出的大致图象，由图知ABD项正确．故选：ABD．
9．（2023·湖南长沙·统考一模）已知函数,若函数的图象关于点中心对称,且关于直线轴对称,则的最小值为______．
【答案】3
【解析】由题知的图象关于点中心对称,且关于直线轴对称,
则与之间的距离为，即,，即,,
因为，所以当时，的最小值为3.
故答案为:3
10．（2022秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数则函数的对称中心_________
【答案】
【解析】由题知,
故的对称中心横坐标为:,,即,,
故函数的对称中心为.
故答案为:
11．（2021·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数，
（1）若当时，函数的值域为，求实数的值；
（2）在（1）条件下，求函数图像的对称中心和单调区间.
【答案】（1）；
（2）对称中心为，单调减区间为，
的单调增区间为.
【解析】（1）
，，
，又，
，因此，
∴，解得：.
（2）由（1）知，
令，整理得，
的图像的对称中心为，
令，整理得：，
得单调减区间为，
令，整理得：，
故的单调增区间为.
12．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数的最小正周期为，且直线是其图像的一条对称轴.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图像向右平移个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与的值.
【答案】（1）；（2），.
【解析】（1）由三角函数的周期公式可得，
，
令，得，
由于直线为函数的一条对称轴，
所以，得，
由于，，则，
因此，.
（2）将函数的图像向右平移个单位，
得到函数，
再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后
所得到的图像对应的函数为.
.
令，可得，
令，得，，
则关于t的二次方程必有两不等实根､，则，，异号.
当且时，
则方程和在区间均有偶数个根，
从而方程在也有偶数个根，不合题意
当，则，此时，
当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，
由于方程在区间上只有一个根，
在区间上无实解，
方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，
因此，关于x的方程在区间上有2020个根，
在区间上有2022个根，不合题意
当时，则，此时，
当时，只有一根，有两根，
所以，关于x的方程在上有三个根，
由于，
则方程在上有个根，
由于方程在区间上无实数根，
在区间上只有一个实数根，
方程在区间上有两个实数解，
在区间上无实数解，
因此，关于x的方程在区间上有2021个根，满足题意.
若有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，
有偶数个根，不合题意
综上所述：，.