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新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点9-2 概率统计综合10大题型
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这是一份新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点9-2 概率统计综合10大题型，文件包含热点9-2概率统计综合10大题型原卷版docx、热点9-2概率统计综合10大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共82页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点9-2 概率统计综合10大题型
概率统计专题相关的知识点错综复杂又环环相扣，在高考考查中一般情况会对多个知识点进行综合考查。题量通常为“两小一大”，有时也“三小一大”或“一小一大”；选择题、填空题考查全面，解答题重点考查概率统计主干知识，以图表信息、古典概型、常见概率分布，回归分析，独立性检验、样本估计总体、分布列和数学期望为主要考查内容，关注学科知识的综合性，常与分段函数、二次函数、导数、数列、最值问题等相结合进行综合考查。
一、古典概型中基本事件的探求方法
1、列举法：适合于基本事件个数较少且易一一列举出来的试验；
2、列表法（坐标法）：适合于从多个元素中选定两个元素的试验；
3、树形图法：适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探究；
4、排列组合法：求较复杂试验中基本时间的个数时，可利用排列或组合的知识.
二、线性回归分析问题的类型及解题方法
1、求线性回归方程：（1）利用公式求出回归系数，；（2）利用回归直线过样本中心点求系数；
2、利用回归方程进行预测：把线性回归方程看作一次函数，求函数值；
3、利用回归直线判断正、负相关：决定正相关函数负相关的系数是；
4、回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断，当越接近1时，两变量的线性相关性越强。
三、超几何分布
1、超几何分布的适用范围及本质
（1）适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布；
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。
2、超几何分布与二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的，而二项分布是“有放回”的抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同点。
【题型1 古典概型】
【例1】（2023春·河南安阳·高三安阳一中校联考阶段练习）盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，已知某盲盒产品共有2种玩偶.假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，则分配到3个小区的志愿者人数互不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023秋·天津河北·高三统考期末）将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数都不同”，“至少出现一个点”，则条件概率，分别等于（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式1-3】（2023·内蒙古·模拟预测）如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2023·全国·模拟预测）在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，5和7等．从不超过13的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪生素数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 随机抽样】
【例2】（2023秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）年春节影市火爆依旧，《无名》、《满江红》、《交换人生》票房不断刷新，为了解我校高三名学生的观影情况，随机调查了名在校学生，其中看过《无名》或《满江红》的学生共有位，看过《满江红》的学生共有位，看过《满江红》且看过《无名》的学生共有位，则该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023春·江西·高三校联考开学考试）2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课.某中学组织全校学生观看了此次授课，三位太空老师介绍展示了中国空间站的工作生活场景，演示了微重力环境下细胞学实验、物理运动、液体表面张力等现象，并与地面课堂进行了实时交流，极大地激发了学生探索科学的兴趣.为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，此校决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中随机抽取90人进行调查，已知该校学生共有3600人，若抽取的学生中高二年级有30人，则该校高二年级学生共有（ ）
A．800人 B．1000人 C．1200人 D．1400人
【变式2-2】（2023·山西临汾·统考一模）（多选）某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一个容量为7的样本，某次抽样结果为：抽到3名男生和4名女生，则下列说法正确的是（ ）
A．这次抽样可能采用的是抽签法
B．这次抽样不可能是按性别分层随机抽样
C．这次抽样中，每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率
D．这次抽样中，每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率
【变式2-3】（2023春·天津红桥·高三统考期末）某校高一年级､高二年级､高三年级学生人数之比为，现采用分层抽样的方法从高中各年级共抽取同学参加“流行病学”调查，则高一年级应抽取__________名学生.
【变式2-4】（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）某单位员工按年龄分为老、中、青三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本.已知老年职工组中的甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总人数为_________.
【题型3 用样本估计总体】
【例3】（2023春·安徽亳州·高三蒙城第一中学统考开学考试）现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·四川·校联考一模）某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是，并分成，，，，五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h的人数是（ ）
A．56 B．80 C．144 D．184
【变式3-2】（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）年月某市星级酒店经营数据统计分析如下图（“同比”指与去年同期相比）：
下列说法错误的是（ ）
A．整体来看，年月该市星级酒店平均房价相对上一年有所提高
B．年月该市星级酒店平均房价的平均数超过元
C．年月这个月中，该市星级酒店在月份的平均房价创下个月来的最高纪录
D．年月该市星级酒店平均房价约为元
【变式3-3】（2021秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数．
（2）据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率．
【变式3-4】（2023·吉林·统考二模）坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干､腰､髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性､弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm和17.56.
（1）求抽取的总样本的平均数；
（2）试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.
参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总样本的平均数为，样本方差为，
【题型4 百分位数计算】
【例4】（2023·辽宁·校联考模拟预测）某地有9个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，402，188，240，260，288，则这组数据的第72百分位数为（ ）
A．290 B．295 C．300 D．330
【变式4-1】（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩（单位：分）分别是：，则这12名学生成绩的分位数是（ ）．
A．92 B．87 C．93 D．91
【变式4-2】（2023·云南红河·统考一模）一组数据为148，150，151，153，153，154，155，156，156，158，163，165，则这组数据的上四分位数是（ ）
A．151 B．152 C．156 D．157
【变式4-3】（2023·上海黄浦·统考一模）某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______.
【变式4-4】（2023·湖南·模拟预测）洞庭湿地保护区于长江中游的湖南省，面积168000公顷，为了保护该湿地保护区内的渔业资源和生物多样性，从2003年起全面实施禁渔期制度.该湿地保护区的渔业资源科学研究培殖了一批珍稀类银鱼鱼苗，从中随机抽取100尾测量鱼苗的体长（单位：毫米），所得的数据如下表：
若依上述6组数据绘制的频率分布直方图中，分组对应小矩形的高为0.01，则该样本中的分位数的银鱼鱼苗的体长为（保留一位小数）（ ）
A．87毫米 B．88毫米 C．90.5毫米 D．93.3毫米
【题型5 事件关系的判断】
【例5】（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在手工课上，老师将蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）．
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
【变式5-1】（2023·山东威海·统考一模）（多选）已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则 B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知某签盒内有2支不同的礼物签、6支不同的问候签，某寝室8位室友不放回地从该签盒中依次抽签，直到2支礼物签都被取出．记事件Ai表示“第i次取出的是礼物签”，，则下列结论正确的是（ ）
A．A1和A2是互斥事件 B．
C．A2与A5不相互独立 D．
【变式5-3】（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若事件互斥，，则
B．若事件相互独立，，则
C．若，则
D．若，则
【变式5-4】（2023·江苏南通·统考一模）一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ）
A． B．为互斥事件
C． D．相互独立
【题型6 回归分析】
【例6】（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.1，则（ ）
A．去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快
B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点
C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为
D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1
【变式6-1】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）（多选）小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，排名y对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（ ）
（附：，）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）我国技术给直播行业带来了很多发展空间，加上受疫情影响，直播这种成本较低的获客渠道备受商家青睐，某商场统计了2022年1~5月某商品的线上月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况如下表示．
（1）求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）；
（2）建立关于的线性回归方程，并估计当售价为元/件时，该商品的线上月销售量估计为多少千件？
（3）若每件商品的购进价格为元/件，如果不考虑其他费用，由（2）中结论，当商品售价为多少时，可使得该商品的月利润最大？（该结果保留整数）
参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．参考数据：．
【变式6-3】（2023·河南郑州·统考一模）自主创新是我国经济发展的核心动力，科技自立自强已被赋予国家发展战略支点的功能．目前实现科技自立自强我们仍面临巨大挑战，越来越多的企业主动谋划、加快发展，推动我国科技创新迈上新台阶．某企业拟对某芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：
根据表格中的数据，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：．
（1）根据下列表格中的数据，比较模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型；
（2）根据（1）选择的模型，预测对芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．
（附：刻画回归效果的相关指数，）
【变式6-4】（2023·山东潍坊·统考一模）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位：）与父亲身高x（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
（1）根据表中数据，求出关于的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
（2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由.
参考数据及公式：
.
【题型7 独立性检验】
【例7】（2022秋·福建莆田·高三莆田一中校考期中）为考查A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）
A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果
D．药物A，B对该疾病均没有预防效果
【变式7-1】（2023·四川·校联考一模）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某学校对学生是否经常锻炼的情况进行了调查．从本校学生中随机选取了800名学生进行调查了解，并将调查结果（“经常”或“不经常”）制成下表所示的列联表：
（1）通过计算判断，有没有99%的把握认为性别因素与学生锻炼的经常性有关？
（2）将频率视作概率．若该学校有4000名学生，估计该校经常锻炼的学生人数．
附表及公式：
其中，．
【变式7-2】（2023·陕西咸阳·校考一模）某学校为研究高三学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校400名高三学生(其中女生220名)平均每天体育锻炼时间进行调查，得到下表：
将日平均体育锻炼时间在40分钟以上的学生称为“锻炼达标生”，调查知女生有40人为“锻炼达标生”.
（1）完成下面2列联表，试问：能否有%以上的把握认为“锻炼达标生”与性别有关?
附：，其中.
（2）在“锻炼达标生”中用分层抽样方法抽取5人进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，这2人中至少有一名女生的概率.
【变式7-3】（2023·内蒙古·模拟预测）国际足联世界杯（），简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事.年卡塔尔世界杯共有支球队参加比赛，共有场比赛.某社区随机调查了街道内男、女球迷各名，统计了他们观看世界杯球赛直播的场次，得到下面的列联表：
（1）求的值，并完成上述列联表；
（2）若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请判断能否有的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.
参考公式：，其中.
参考数据：
【变式7-4】（2023·贵州贵阳·统考一模）2022年9月3日至2022年10月8日，因为疫情，贵阳市部分高中学生只能居家学习，为了监测居家学习效果，某校在恢复正常教学后举行了一次考试，在考试中，发现学生总体成绩相较疫情前的成绩有明显下降．为了解学生成绩下降的原因，学校进行了问卷调查，从问卷中随机抽取了200份学生问卷，发现其中有96名学生成绩下降，在这些成绩下降的学生中有54名学生属于“长时间使用手机娱乐”（每天使用手机娱乐2个小时以上）的学生．
（1）根据以上信息，完成下面的列联表，并判断能否有把握认为“成绩下降”与“长时间使用手机娱乐”有关？
（2）在被抽取的200名学生中“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的女生有12人，现从“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的学生中按性别分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进一步访谈，求被访谈的两人为一男一女的概率．
参考公式：，其中．
【题型8 二项分布】
【例8】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）（多选）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．时，
C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小
【变式8-1】（2022秋·福建泉州·高三校考阶段练习）“摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则是：第一次在装有红色、白色球各两个共4个球的A袋中随机取出2个球；第二次在装有红色、白色、黑色球各一个共3个球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表：
（1）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
（2）设一次摸奖中所获得的积分为X，求X的数学期望；
（3）某人摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率．
【变式8-2】（2023·河南郑州·统考一模）世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为．每轮点球结果互不影响．
（1）设甲队踢了5球，为射进点球的个数，求的分布列与期望；
（2）若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率．
【变式8-3】（2023春·广东·高三统考开学考试）2022年“五一”期间，为推动消费市场复苏，补贴市民，深圳市各区政府发放各类消费券，其中某区政府发放了市内旅游消费券，该消费券包含，，，，，六个旅游项目，甲、乙、丙、丁四人每人计划从中任选两个不同的项目参加，且他们的选择互不影响．
（1）求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目的概率；
（2）记为这四个人中选择项目的人数，求的分布列及数学期望；
（3）如果将甲、乙、丙、丁四个人改为个人，其他要求相同，问：这个人中选择项目的人数最有可能是多少人？
【变式8-4】（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分战胜法国，夺得冠军.根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为，则不需要再踢第5轮）；③若前5轮“点球大战"中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.
（1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出.若球员射门均在门内，在一次“点球大战"中，求门将在前4次扑出点球的个数的分布列期望；
（2）现有甲､乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需要通过“点球大战”来决定冠军.设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（i）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球并获得冠军的概率；
（ii）求“点球大战”在第7轮结束，且乙队以获得冠军的概率.
【题型9 超几何分布】
【例9】（2023·四川成都·统考一模）成都作为常住人口超万的超大城市，注册青年志愿者人数超万，志愿服务时长超万小时.年月，成都个市级部门联合启动了年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到个主体的个志愿服务项目，覆盖文明实践､社区治理与邻里守望､环境保护等大领域.已知某领域共有支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成组：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值；
（2）从评分不低于分的队伍中随机选取支队伍，该支队伍中评分不低于分的队伍数为，求随机变量的分布列和期望.
【变式9-1】（2023春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）火龙果的甜度一般在11-20度之间，现对某火龙果种植基地在新、旧施肥方法下种植的火龙果的甜度作对比，从新、旧施肥方法下种植的火龙果中各随机抽取了200个火龙果，根据水果甜度（单位：度）进行分组，若按，，，，，，，，分组，旧施肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图与新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如下所示．若规定甜度不低于15度为“超甜果”，其他为“非超甜果”．
新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表
（1）设两施肥方法下的火龙果的甜度相互独立，记A表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度，新施肥方法下的火龙果的甜度低于15度”，以样本估计总体，求事件A的概率；
（2）以样本估计总体，若从旧施肥方法下的200个火龙果中按“超甜果”与“非超甜果”的标准划分，采用分层抽样的方法抽取5个，再从这5个火龙果中随机抽取3个，设“非超甜果”的个数为，求随机变量的分布列及数学期望．
【变式9-2】（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表
（1）从参加接训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率，
（2）用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90）的学生为X，求X的分布列和数学期望，
【变式9-3】（2022秋·山东青岛·高三统考期末）习近平总书记在党的十九大报告中指出，保障和改善人民最关心最直接最现实的利益问题要从“让人民群众满意的事情”做起.2021年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制成如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
（1）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市民满意度，现从全市民中随机抽取5人，求至少2人非常满意的概率；
（2）相关部门对该项目进行验收，验收的硬性指标是：全民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需要进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由；(注：满意指数=)
（3）在等级为不满意的市民中，老人占，现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，并从中选取3人担任督导员.记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X).
【变式9-4】（2022秋·江苏苏州·高三苏州中学校联考阶段练习）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有个字脱落．
（1）若，用随机变量表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量的分布列及期望；
（2）若，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．
【题型10 正态分布】
【例10】（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）某地区的统计数据表明新生儿的实际出生日期与预产期的天数差．已知，估计在100个新生儿中，实际出生日期比预产期提前超过5天的新生儿数（ ）
A．34 B．36 C．38 D．40
【变式10-1】（2023·山东潍坊·统考一模）某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩在120分以上的学生人数为（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
【变式10-2】（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（2023·江苏南通·统考一模）已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式10-4】（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示.
（1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布列及数学期望.
附：，若，则，
，.
（建议用时：60分钟）
1．（2022秋·河北·高三校联考期末）某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得105分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第100百分位数是（ ）
A．82.5 B．85 C．90 D．92.5
2．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）已知是1，3，3，5，10，8，10，11的上四分位数，在1，3，3，5，10，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东威海·统考一模）随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展.据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数（单位：百万）折线图如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数
B．近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差
C．2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加
D．近十年，农村居民国内游客人数的105%分位数为1535
4．（2022·江苏泰州·统考一模）已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，丙每隔3天去一次.若2月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（ ）
A．2月25日 B．2月26日 C．2月210日 D．2月28日
5．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数含有”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件
C． D．
6．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知随机事件，，满足，，，则下列说法错误的是（ ）
A．不可能事件与事件互斥 B．必然事件与事件相互独立
C． D．若，则
10．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）甲、乙为完全相同的两个不透明袋子，袋内均装有除颜色外完全相同的球．甲袋中装有5个白球，10个红球，乙袋中装有4个白球，2个红球．从两个袋中随机抽取一袋，然后从所抽取的袋中随机摸出1球，则摸出的球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）如图分别是甲､乙､丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（ ）
A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B．
C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙
D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
10．（2022秋·重庆江北·高三校考阶段练习）已知某市一模考试有32000人参加，考试成绩近似满足的正态分布，则得分在区间之间的人数约为（ ）
若，则
A．21856 B．26192 C．30528 D．31904
11．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）为了研究高三（1）班女生的身高x（单位；cm）与体重y（单位：kg）的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某女生的身高为1100cm，据此估计其体重为________________kg．
12．（2022秋·福建福州·高三校考期中）近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：
根据表及图得到以下判断：
①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；
②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则；
③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；
以上判断中正确的序号是__________.
13．（2023秋·辽宁营口·高三统考期末）甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；
（2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．
14．（2022秋·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是．”
（1）求抽奖者获奖的概率；
（2）为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值．
15．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）某短视频平台的一位博主，其视频以展示乡村生活为主，赶集、出城、抓鱼、养鸡等新时代农村生活吸引了许多观众，该博主为家乡的某农产品进行直播带货，通过5次试销得到了销量（单位：百万盒）与单价（单位：元/盒）的如下数据：
（1）根据以上数据，求关于的经验回归方程；
（2）在所有顾客中随机抽取部分顾客（人数很多）进行体验调查问卷，其中“体验非常好”的占一半，“体验良好”“体验不满意”的各占25%，然后在所有顾客中随机抽取8人作为幸运顾客赠送礼品，记抽取的8人中“体验非常好”的人数为随机变量，求的分布列和均值
参考公式：回归方程，其中，.
参考数据：，.
16．（2022秋·福建福州·高三福建省福州延安中学校考阶段练习）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数；
（2）从样本中得分不低于100分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望；
（3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于1010分的人数最有可能是多少？
参考数据：，，.分组（单位：毫米）
频数
10
10
m
35
15
n
x
1
2
3
4
5
y
10
m
6
n
2
月份
1
2
3
4
5
售价x（元/件）
60
56
58
57
54
月销售量y（千件）
5
9
7
10
9
序号
1
2
3
4
5
6
7
x
2
3
4
6
8
10
13
y
13
22
31
42
50
56
58
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2
父亲身高
160
170
175
185
190
儿子身高
170
174
175
180
186
性别
不经常
经常
合计
女生
200
300
500
男生
150
150
300
合计
350
450
800
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
平均每天体育锻炼时间（分钟）
人数
40
72
88
100
80
20
锻炼达标生
锻炼不达标
合计
男
女
合计
400
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
少于场比赛
不少于场比赛
总计
男球迷
女球迷
总计
长时间使用手机娱乐
非长时间使用手机娱乐
合计
成绩下降
成绩未下降
合计
90
200
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
所取球的情况
三球均为红色
三球均不同色
恰有两球为红色
其他情况
所获得的积分
100
80
60
0
甜度
频数
10
16
24
20
32
28
36
24
10
成绩
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
人数
5
5
15
25
10
满意度评分
低于60分
60分到79分
80分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
组别
频数
25
150
200
250
225
100
50
赠送的随机话费/元
20
40
概率
年份
1
2
3
4
5
羊只数量/万只
草地植被指数
6
6.2
6.4
6.6
6.8
50
45
45
40
35
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点9-2 概率统计综合10大题型
概率统计专题相关的知识点错综复杂又环环相扣，在高考考查中一般情况会对多个知识点进行综合考查。题量通常为“两小一大”，有时也“三小一大”或“一小一大”；选择题、填空题考查全面，解答题重点考查概率统计主干知识，以图表信息、古典概型、常见概率分布，回归分析，独立性检验、样本估计总体、分布列和数学期望为主要考查内容，关注学科知识的综合性，常与分段函数、二次函数、导数、数列、最值问题等相结合进行综合考查。
一、古典概型中基本事件的探求方法
1、列举法：适合于基本事件个数较少且易一一列举出来的试验；
2、列表法（坐标法）：适合于从多个元素中选定两个元素的试验；
3、树形图法：适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探究；
4、排列组合法：求较复杂试验中基本时间的个数时，可利用排列或组合的知识.
二、线性回归分析问题的类型及解题方法
1、求线性回归方程：（1）利用公式求出回归系数，；（2）利用回归直线过样本中心点求系数；
2、利用回归方程进行预测：把线性回归方程看作一次函数，求函数值；
3、利用回归直线判断正、负相关：决定正相关函数负相关的系数是；
4、回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断，当越接近1时，两变量的线性相关性越强。
三、超几何分布
1、超几何分布的适用范围及本质
（1）适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布；
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。
2、超几何分布与二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的，而二项分布是“有放回”的抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同点。
【题型1 古典概型】
【例1】（2023春·河南安阳·高三安阳一中校联考阶段练习）盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，已知某盲盒产品共有2种玩偶.假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，则分配到3个小区的志愿者人数互不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023秋·天津河北·高三统考期末）将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数都不同”，“至少出现一个点”，则条件概率，分别等于（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式1-3】（2023·内蒙古·模拟预测）如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2023·全国·模拟预测）在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，5和7等．从不超过13的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪生素数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 随机抽样】
【例2】（2023秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）年春节影市火爆依旧，《无名》、《满江红》、《交换人生》票房不断刷新，为了解我校高三名学生的观影情况，随机调查了名在校学生，其中看过《无名》或《满江红》的学生共有位，看过《满江红》的学生共有位，看过《满江红》且看过《无名》的学生共有位，则该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023春·江西·高三校联考开学考试）2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课.某中学组织全校学生观看了此次授课，三位太空老师介绍展示了中国空间站的工作生活场景，演示了微重力环境下细胞学实验、物理运动、液体表面张力等现象，并与地面课堂进行了实时交流，极大地激发了学生探索科学的兴趣.为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，此校决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中随机抽取90人进行调查，已知该校学生共有3600人，若抽取的学生中高二年级有30人，则该校高二年级学生共有（ ）
A．800人 B．1000人 C．1200人 D．1400人
【变式2-2】（2023·山西临汾·统考一模）（多选）某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一个容量为7的样本，某次抽样结果为：抽到3名男生和4名女生，则下列说法正确的是（ ）
A．这次抽样可能采用的是抽签法
B．这次抽样不可能是按性别分层随机抽样
C．这次抽样中，每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率
D．这次抽样中，每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率
【变式2-3】（2023春·天津红桥·高三统考期末）某校高一年级､高二年级､高三年级学生人数之比为，现采用分层抽样的方法从高中各年级共抽取同学参加“流行病学”调查，则高一年级应抽取__________名学生.
【变式2-4】（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）某单位员工按年龄分为老、中、青三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本.已知老年职工组中的甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总人数为_________.
【题型3 用样本估计总体】
【例3】（2023春·安徽亳州·高三蒙城第一中学统考开学考试）现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·四川·校联考一模）某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是，并分成，，，，五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h的人数是（ ）
A．56 B．80 C．144 D．184
【变式3-2】（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）年月某市星级酒店经营数据统计分析如下图（“同比”指与去年同期相比）：
下列说法错误的是（ ）
A．整体来看，年月该市星级酒店平均房价相对上一年有所提高
B．年月该市星级酒店平均房价的平均数超过元
C．年月这个月中，该市星级酒店在月份的平均房价创下个月来的最高纪录
D．年月该市星级酒店平均房价约为元
【变式3-3】（2021秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数．
（2）据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率．
【变式3-4】（2023·吉林·统考二模）坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干､腰､髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性､弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm和17.56.
（1）求抽取的总样本的平均数；
（2）试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.
参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总样本的平均数为，样本方差为，
【题型4 百分位数计算】
【例4】（2023·辽宁·校联考模拟预测）某地有9个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，402，188，240，260，288，则这组数据的第72百分位数为（ ）
A．290 B．295 C．300 D．330
【变式4-1】（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩（单位：分）分别是：，则这12名学生成绩的分位数是（ ）．
A．92 B．87 C．93 D．91
【变式4-2】（2023·云南红河·统考一模）一组数据为148，150，151，153，153，154，155，156，156，158，163，165，则这组数据的上四分位数是（ ）
A．151 B．152 C．156 D．157
【变式4-3】（2023·上海黄浦·统考一模）某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______.
【变式4-4】（2023·湖南·模拟预测）洞庭湿地保护区于长江中游的湖南省，面积168000公顷，为了保护该湿地保护区内的渔业资源和生物多样性，从2003年起全面实施禁渔期制度.该湿地保护区的渔业资源科学研究培殖了一批珍稀类银鱼鱼苗，从中随机抽取100尾测量鱼苗的体长（单位：毫米），所得的数据如下表：
若依上述6组数据绘制的频率分布直方图中，分组对应小矩形的高为0.01，则该样本中的分位数的银鱼鱼苗的体长为（保留一位小数）（ ）
A．87毫米 B．88毫米 C．90.5毫米 D．93.3毫米
【题型5 事件关系的判断】
【例5】（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在手工课上，老师将蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）．
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
【变式5-1】（2023·山东威海·统考一模）（多选）已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则 B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知某签盒内有2支不同的礼物签、6支不同的问候签，某寝室8位室友不放回地从该签盒中依次抽签，直到2支礼物签都被取出．记事件Ai表示“第i次取出的是礼物签”，，则下列结论正确的是（ ）
A．A1和A2是互斥事件 B．
C．A2与A5不相互独立 D．
【变式5-3】（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若事件互斥，，则
B．若事件相互独立，，则
C．若，则
D．若，则
【变式5-4】（2023·江苏南通·统考一模）一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ）
A． B．为互斥事件
C． D．相互独立
【题型6 回归分析】
【例6】（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.1，则（ ）
A．去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快
B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点
C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为
D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1
【变式6-1】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）（多选）小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，排名y对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（ ）
（附：，）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）我国技术给直播行业带来了很多发展空间，加上受疫情影响，直播这种成本较低的获客渠道备受商家青睐，某商场统计了2022年1~5月某商品的线上月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况如下表示．
（1）求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）；
（2）建立关于的线性回归方程，并估计当售价为元/件时，该商品的线上月销售量估计为多少千件？
（3）若每件商品的购进价格为元/件，如果不考虑其他费用，由（2）中结论，当商品售价为多少时，可使得该商品的月利润最大？（该结果保留整数）
参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．参考数据：．
【变式6-3】（2023·河南郑州·统考一模）自主创新是我国经济发展的核心动力，科技自立自强已被赋予国家发展战略支点的功能．目前实现科技自立自强我们仍面临巨大挑战，越来越多的企业主动谋划、加快发展，推动我国科技创新迈上新台阶．某企业拟对某芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：
根据表格中的数据，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：．
（1）根据下列表格中的数据，比较模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型；
（2）根据（1）选择的模型，预测对芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．
（附：刻画回归效果的相关指数，）
【变式6-4】（2023·山东潍坊·统考一模）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位：）与父亲身高x（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
（1）根据表中数据，求出关于的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
（2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由.
参考数据及公式：
.
【题型7 独立性检验】
【例7】（2022秋·福建莆田·高三莆田一中校考期中）为考查A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）
A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果
D．药物A，B对该疾病均没有预防效果
【变式7-1】（2023·四川·校联考一模）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某学校对学生是否经常锻炼的情况进行了调查．从本校学生中随机选取了800名学生进行调查了解，并将调查结果（“经常”或“不经常”）制成下表所示的列联表：
（1）通过计算判断，有没有99%的把握认为性别因素与学生锻炼的经常性有关？
（2）将频率视作概率．若该学校有4000名学生，估计该校经常锻炼的学生人数．
附表及公式：
其中，．
【变式7-2】（2023·陕西咸阳·校考一模）某学校为研究高三学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校400名高三学生(其中女生220名)平均每天体育锻炼时间进行调查，得到下表：
将日平均体育锻炼时间在40分钟以上的学生称为“锻炼达标生”，调查知女生有40人为“锻炼达标生”.
（1）完成下面2列联表，试问：能否有%以上的把握认为“锻炼达标生”与性别有关?
附：，其中.
（2）在“锻炼达标生”中用分层抽样方法抽取5人进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，这2人中至少有一名女生的概率.
【变式7-3】（2023·内蒙古·模拟预测）国际足联世界杯（），简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事.年卡塔尔世界杯共有支球队参加比赛，共有场比赛.某社区随机调查了街道内男、女球迷各名，统计了他们观看世界杯球赛直播的场次，得到下面的列联表：
（1）求的值，并完成上述列联表；
（2）若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请判断能否有的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.
参考公式：，其中.
参考数据：
【变式7-4】（2023·贵州贵阳·统考一模）2022年9月3日至2022年10月8日，因为疫情，贵阳市部分高中学生只能居家学习，为了监测居家学习效果，某校在恢复正常教学后举行了一次考试，在考试中，发现学生总体成绩相较疫情前的成绩有明显下降．为了解学生成绩下降的原因，学校进行了问卷调查，从问卷中随机抽取了200份学生问卷，发现其中有96名学生成绩下降，在这些成绩下降的学生中有54名学生属于“长时间使用手机娱乐”（每天使用手机娱乐2个小时以上）的学生．
（1）根据以上信息，完成下面的列联表，并判断能否有把握认为“成绩下降”与“长时间使用手机娱乐”有关？
（2）在被抽取的200名学生中“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的女生有12人，现从“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的学生中按性别分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进一步访谈，求被访谈的两人为一男一女的概率．
参考公式：，其中．
【题型8 二项分布】
【例8】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）（多选）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．时，
C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小
【变式8-1】（2022秋·福建泉州·高三校考阶段练习）“摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则是：第一次在装有红色、白色球各两个共4个球的A袋中随机取出2个球；第二次在装有红色、白色、黑色球各一个共3个球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表：
（1）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
（2）设一次摸奖中所获得的积分为X，求X的数学期望；
（3）某人摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率．
【变式8-2】（2023·河南郑州·统考一模）世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为．每轮点球结果互不影响．
（1）设甲队踢了5球，为射进点球的个数，求的分布列与期望；
（2）若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率．
【变式8-3】（2023春·广东·高三统考开学考试）2022年“五一”期间，为推动消费市场复苏，补贴市民，深圳市各区政府发放各类消费券，其中某区政府发放了市内旅游消费券，该消费券包含，，，，，六个旅游项目，甲、乙、丙、丁四人每人计划从中任选两个不同的项目参加，且他们的选择互不影响．
（1）求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目的概率；
（2）记为这四个人中选择项目的人数，求的分布列及数学期望；
（3）如果将甲、乙、丙、丁四个人改为个人，其他要求相同，问：这个人中选择项目的人数最有可能是多少人？
【变式8-4】（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分战胜法国，夺得冠军.根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为，则不需要再踢第5轮）；③若前5轮“点球大战"中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.
（1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出.若球员射门均在门内，在一次“点球大战"中，求门将在前4次扑出点球的个数的分布列期望；
（2）现有甲､乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需要通过“点球大战”来决定冠军.设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（i）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球并获得冠军的概率；
（ii）求“点球大战”在第7轮结束，且乙队以获得冠军的概率.
【题型9 超几何分布】
【例9】（2023·四川成都·统考一模）成都作为常住人口超万的超大城市，注册青年志愿者人数超万，志愿服务时长超万小时.年月，成都个市级部门联合启动了年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到个主体的个志愿服务项目，覆盖文明实践､社区治理与邻里守望､环境保护等大领域.已知某领域共有支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成组：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值；
（2）从评分不低于分的队伍中随机选取支队伍，该支队伍中评分不低于分的队伍数为，求随机变量的分布列和期望.
【变式9-1】（2023春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）火龙果的甜度一般在11-20度之间，现对某火龙果种植基地在新、旧施肥方法下种植的火龙果的甜度作对比，从新、旧施肥方法下种植的火龙果中各随机抽取了200个火龙果，根据水果甜度（单位：度）进行分组，若按，，，，，，，，分组，旧施肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图与新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如下所示．若规定甜度不低于15度为“超甜果”，其他为“非超甜果”．
新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表
（1）设两施肥方法下的火龙果的甜度相互独立，记A表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度，新施肥方法下的火龙果的甜度低于15度”，以样本估计总体，求事件A的概率；
（2）以样本估计总体，若从旧施肥方法下的200个火龙果中按“超甜果”与“非超甜果”的标准划分，采用分层抽样的方法抽取5个，再从这5个火龙果中随机抽取3个，设“非超甜果”的个数为，求随机变量的分布列及数学期望．
【变式9-2】（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表
（1）从参加接训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率，
（2）用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90）的学生为X，求X的分布列和数学期望，
【变式9-3】（2022秋·山东青岛·高三统考期末）习近平总书记在党的十九大报告中指出，保障和改善人民最关心最直接最现实的利益问题要从“让人民群众满意的事情”做起.2021年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制成如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
（1）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市民满意度，现从全市民中随机抽取5人，求至少2人非常满意的概率；
（2）相关部门对该项目进行验收，验收的硬性指标是：全民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需要进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由；(注：满意指数=)
（3）在等级为不满意的市民中，老人占，现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，并从中选取3人担任督导员.记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X).
【变式9-4】（2022秋·江苏苏州·高三苏州中学校联考阶段练习）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有个字脱落．
（1）若，用随机变量表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量的分布列及期望；
（2）若，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．
【题型10 正态分布】
【例10】（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）某地区的统计数据表明新生儿的实际出生日期与预产期的天数差．已知，估计在100个新生儿中，实际出生日期比预产期提前超过5天的新生儿数（ ）
A．34 B．36 C．38 D．40
【变式10-1】（2023·山东潍坊·统考一模）某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩在120分以上的学生人数为（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
【变式10-2】（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（2023·江苏南通·统考一模）已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式10-4】（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示.
（1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布列及数学期望.
附：，若，则，
，.
（建议用时：60分钟）
1．（2022秋·河北·高三校联考期末）某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得105分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第100百分位数是（ ）
A．82.5 B．85 C．90 D．92.5
2．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）已知是1，3，3，5，10，8，10，11的上四分位数，在1，3，3，5，10，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东威海·统考一模）随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展.据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数（单位：百万）折线图如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数
B．近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差
C．2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加
D．近十年，农村居民国内游客人数的105%分位数为1535
4．（2022·江苏泰州·统考一模）已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，丙每隔3天去一次.若2月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（ ）
A．2月25日 B．2月26日 C．2月210日 D．2月28日
5．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数含有”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件
C． D．
6．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知随机事件，，满足，，，则下列说法错误的是（ ）
A．不可能事件与事件互斥 B．必然事件与事件相互独立
C． D．若，则
10．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）甲、乙为完全相同的两个不透明袋子，袋内均装有除颜色外完全相同的球．甲袋中装有5个白球，10个红球，乙袋中装有4个白球，2个红球．从两个袋中随机抽取一袋，然后从所抽取的袋中随机摸出1球，则摸出的球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）如图分别是甲､乙､丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（ ）
A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B．
C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙
D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
10．（2022秋·重庆江北·高三校考阶段练习）已知某市一模考试有32000人参加，考试成绩近似满足的正态分布，则得分在区间之间的人数约为（ ）
若，则
A．21856 B．26192 C．30528 D．31904
11．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）为了研究高三（1）班女生的身高x（单位；cm）与体重y（单位：kg）的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某女生的身高为1100cm，据此估计其体重为________________kg．
12．（2022秋·福建福州·高三校考期中）近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：
根据表及图得到以下判断：
①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；
②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则；
③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；
以上判断中正确的序号是__________.
13．（2023秋·辽宁营口·高三统考期末）甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；
（2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．
14．（2022秋·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是．”
（1）求抽奖者获奖的概率；
（2）为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值．
15．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）某短视频平台的一位博主，其视频以展示乡村生活为主，赶集、出城、抓鱼、养鸡等新时代农村生活吸引了许多观众，该博主为家乡的某农产品进行直播带货，通过5次试销得到了销量（单位：百万盒）与单价（单位：元/盒）的如下数据：
（1）根据以上数据，求关于的经验回归方程；
（2）在所有顾客中随机抽取部分顾客（人数很多）进行体验调查问卷，其中“体验非常好”的占一半，“体验良好”“体验不满意”的各占25%，然后在所有顾客中随机抽取8人作为幸运顾客赠送礼品，记抽取的8人中“体验非常好”的人数为随机变量，求的分布列和均值
参考公式：回归方程，其中，.
参考数据：，.
16．（2022秋·福建福州·高三福建省福州延安中学校考阶段练习）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数；
（2）从样本中得分不低于100分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望；
（3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于1010分的人数最有可能是多少？
参考数据：，，.分组（单位：毫米）
频数
10
10
m
35
15
n
x
1
2
3
4
5
y
10
m
6
n
2
月份
1
2
3
4
5
售价x（元/件）
60
56
58
57
54
月销售量y（千件）
5
9
7
10
9
序号
1
2
3
4
5
6
7
x
2
3
4
6
8
10
13
y
13
22
31
42
50
56
58
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2
父亲身高
160
170
175
185
190
儿子身高
170
174
175
180
186
性别
不经常
经常
合计
女生
200
300
500
男生
150
150
300
合计
350
450
800
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
平均每天体育锻炼时间（分钟）
人数
40
72
88
100
80
20
锻炼达标生
锻炼不达标
合计
男
女
合计
400
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
少于场比赛
不少于场比赛
总计
男球迷
女球迷
总计
长时间使用手机娱乐
非长时间使用手机娱乐
合计
成绩下降
成绩未下降
合计
90
200
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
所取球的情况
三球均为红色
三球均不同色
恰有两球为红色
其他情况
所获得的积分
100
80
60
0
甜度
频数
10
16
24
20
32
28
36
24
10
成绩
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
人数
5
5
15
25
10
满意度评分
低于60分
60分到79分
80分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
组别
频数
25
150
200
250
225
100
50
赠送的随机话费/元
20
40
概率
年份
1
2
3
4
5
羊只数量/万只
草地植被指数
6
6.2
6.4
6.6
6.8
50
45
45
40
35
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