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福建省部分优质高中2024~2025学年高二上学期入学质量检测数学试卷（原卷版+解析版）
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这是一份福建省部分优质高中2024~2025学年高二上学期入学质量检测数学试卷（原卷版+解析版），文件包含福建省部分优质高中20242025学年高二上学期入学质量检测数学试卷原卷版docx、福建省部分优质高中20242025学年高二上学期入学质量检测数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；总分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，是相互垂直的单位向量，则＝（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
3. 如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A. 或B. 或1C. 或2D.
5. 如图所示，正方体棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与直线垂直B. 直线与平面平行
C. 三棱锥的体积为D. 直线BC与平面所成的角为
6. 已知M，N 分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点 P 满足则DP与AB夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（ ）
A. 的最小值为2
B. 四面体的体积为
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 存在点，使为等边三角形
8. 在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（ ）
A. 存在某个位置，使得
B. 存在某个位置，使得
C. 存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为
D. 存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则直线平面
B. 若，则平面平面
C. 若，则平面所成锐二面角的大小为
D. 若，则直线与平面所成角的大小为
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 若是空间任意四点，则有
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若共线，则
D. 对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
11. 在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（ ）
A. 当点为三角形重心时，
B. 当时，的最小值为
C. 当点在平面内时，的最大值为2
D. 当时，点到的距离的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知空间向量，若，则实数________.
13. 平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量.在四棱锥中，已知是平行四边形，，且面，则向量在向量方向上的投影向量是____(结果用表示).
14. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：
①存点，使；
②存在点，使；
③到直线和的距离相等的点有无数个；
④若，则四面体体积的最大值为．
其中所有正确结论的序号是__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的正弦值.
16. 在长方体中，点E，F分别在，上，且，．
（1）求证：平面平面AEF；
（2）当，，求平面与平面的夹角的余弦值．
17. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）若，点在棱上，且二面角的大小为.
①求证：；
②设是直线上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
18. 《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与
（1）求异面直线与成角余弦值；
（2）求平面与平面的夹角正弦值；
（3）求埃舍尔体表面积与体积（直接写出答案）.
19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．
（1）当何值时，平面平面?
（2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径．
（考试时间：120分钟；总分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，是相互垂直的单位向量，则＝（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
3. 如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A. 或B. 或1C. 或2D.
5. 如图所示，正方体棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与直线垂直B. 直线与平面平行
C. 三棱锥的体积为D. 直线BC与平面所成的角为
6. 已知M，N 分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点 P 满足则DP与AB夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（ ）
A. 的最小值为2
B. 四面体的体积为
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 存在点，使为等边三角形
8. 在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（ ）
A. 存在某个位置，使得
B. 存在某个位置，使得
C. 存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为
D. 存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则直线平面
B. 若，则平面平面
C. 若，则平面所成锐二面角的大小为
D. 若，则直线与平面所成角的大小为
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 若是空间任意四点，则有
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若共线，则
D. 对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
11. 在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（ ）
A. 当点为三角形重心时，
B. 当时，的最小值为
C. 当点在平面内时，的最大值为2
D. 当时，点到的距离的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知空间向量，若，则实数________.
13. 平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量.在四棱锥中，已知是平行四边形，，且面，则向量在向量方向上的投影向量是____(结果用表示).
14. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：
①存点，使；
②存在点，使；
③到直线和的距离相等的点有无数个；
④若，则四面体体积的最大值为．
其中所有正确结论的序号是__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的正弦值.
16. 在长方体中，点E，F分别在，上，且，．
（1）求证：平面平面AEF；
（2）当，，求平面与平面的夹角的余弦值．
17. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）若，点在棱上，且二面角的大小为.
①求证：；
②设是直线上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
18. 《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与
（1）求异面直线与成角余弦值；
（2）求平面与平面的夹角正弦值；
（3）求埃舍尔体表面积与体积（直接写出答案）.
19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．
（1）当何值时，平面平面?
（2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径．
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