新高考数学二轮复习 专题5 第4讲 圆锥曲线中的最值、范围、存在性问题（练） 【新教材·新高考】

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高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力；高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲)，研究水平(选题、集体备课)，辅导水平(课堂辅导，课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法：抓审题，抓个辅
抓审题：让学生说出来，让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅：教师要有个辅学生问题清单，让辅导有针对性;个辅全程性，个辅不只在课后，课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关：必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关，应试能力也是数学解题能力，极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复：
重复一轮复习老路；重复成套试题训练；重复迷信名校资料；重复个人喜好方向。

第4讲 圆锥曲线中的最值、范围、存在性问题（练·教师版）
1．（2021·陕西榆林市高三模拟）已知椭圆的右焦点F恰为抛物线的焦点，是椭圆C与抛物线E的一个公共点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F且不与x轴平行的直线l交椭圆C于A、B两点，线段的中垂线分别交x、y轴于M、N两点，求的取值范围．
【解析】（1）由点P在抛物线E上知，，则P到抛物线准线的距离为，所以，
设椭圆左焦点为，则，
∴，，又，∴，椭圆C的方程为；
（2）设直线l的方程为，
与椭圆C的方程联立得，
设，，
则，，
由知，
，
设中点坐标为，
则，，
故中垂线方程为，
令得，
∴．
2．（2021·福建南平市高三二模）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，在椭圆上有一点，满足，且的面积为
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为，
所以，
又因为的面积为
所以，
由椭圆的定义得，
所以，
又因为，
解得，
所以椭圆的方程为；
（2）①当直线与轴不重合时，设直线的方程为，
将代入得，
所以，
由题意得，
将，代入上式得
，要使得为定值，
即为定值，即，解得，
即时，为定值，
②当直线与轴重合时，直线的方程为，
成立
所以存在定点，使得为定值．
3．（2021·河北唐山市高三三模）在直角坐标系中，，，C为动点，设的内切圆分别与边AC，BC，AB相切于P，Q，R，且，记点C的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）不过原点O的直线l与曲线E交于M，N，且直线经过MN的中点T，求的面积的最大值.
【解析】（1）依题意可知，
，
所以曲线E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（除去与x轴的交点），
因此曲线E的方程为．
（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为，
代入整理得，，（*）
则，，所以，
故MN的中点，
而直线经过MN的中点T，得，
又m≠0，所以直线l的斜率k＝．
故（*）式可化简为，故，，
由且m≠0，得且m≠0，
又，
而点O到直线l的距离，
则△OMN的面积为
，
当且仅当时，等号成立，此时满足且m≠0，
所以△OMN的面积的最大值为．
4．（2021·山西晋中市高三三模）在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左焦点和下顶点，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程及点的坐标；
（2）椭圆上是否存在两点，使得的三条高线交于点．若存在，求出此时所在直线的方程，若不存在，说明理由．
【解析】（1）在椭圆上，，解得，
椭圆的方程为，
由椭圆方程可得，；
（2）由题意知：若存在满足题意的直线，则为的垂心，
此时，.
，，
则可设直线，，，
由得，
则，解得：，
，，
.
，，
，
整理可得，解得：或，均满足，
当时，直线过，不合题意，舍去；
，直线，即.
5．（2021·四川成都市高三三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于不同两点，.当直线斜率为时，弦的中点坐标为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的内切圆半径最大时，直线的方程.
【解析】（1）由题知，
设，，
则有 ①，
②，
由①②得 ③，
当时，，代入③，
化简得，
又，，
，.
椭圆的标准方程为.
（2）的周长为，
，
故，
所以内切圆半径最大即最大，
设直线方程为，
由，
得，
显然成立，
，，
则
.
令，
则，
，
当且仅当即时取“”，
此时，直线方程为.
6．（2021·江西赣州市高三二模）如图，已知和抛物线是圆上一点，M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点．
（1）当直线与圆相切，且时，求的值；
（2）过P作抛物线的两条切线分别为切点，求证：存在两个，使得面积等于．
【解析】（1）焦点F坐标为，设，则，
由抛物线定义，M到焦点距离等于到抛物线准线的距离，
所以，由，得，
所以或，所以或，
此时与准线垂直，所以或；
（2）设，则，
设直线方程为，代入，
得，
整理得①，
同理，直线方程为，有②，
由①②知，是方程的两根，
所以，
由切线意义知，在中，，则
所以，同理
直线方程为即即
到直线的距离
所以，与联立得
所以或，设，显然，
又在上递增，所以在上有唯一零点
所以存在两个，使得面积等于.
7．（2021·天津市高三二模）设椭圆的左、右焦点分别为，．已知的离心率为，过焦点的直线l交C于A，B两点，当焦点到直线l的距离最大时，恰有．
（1）求C的方程；
（2）过点且斜率为的直线交C于E，F两点，E在第一象限，点P在C上．若线段EF的中点为M，线段EM的中点为N，求的取值范围．
【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c，当焦点到直线l的距离取最大值时有轴，此时．①
又C的离心率，即，②
∴联立①、②，得，．
∴椭圆C的方程为．
（2）依题意及（1），直线EF为，即．
由E，F为直线交椭圆C的两个交点，且点E在第一象限，联立直线与椭圆方程，
∴，可得，，
∵线段EF的中点为M，线段EM的中点为N，
∴M的坐标为，点的坐标为．
设点P的坐标为，则，且，，
∴．③
由P在椭圆C上，即，则，④
将④代入③，得，又，
∴当时，取得最小值；当时，取得最大值．
故所求的取值范围为．
8．（2021·广西来宾市高三模拟（理））已知椭圆：过点，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线（直线不与轴垂直）与椭圆交于不同的两点，，且为坐标原点．求的面积的最大值．
【解析】(1)依题意：，而b=1，则，
所以椭圆的标准方程为；
(2)因直线不与轴垂直，则l的斜率k存在，l的方程为：y=kx+2，
由得，因直线与椭圆交于不同的两点，，
则有，即或，
设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则，
所以
，
而原点O到直线l：kx-y+2=0的距离，的面积S，
，
令，，
因，当且仅当，即t=2时取“=”，此时，，即，符合要求，
从而有，故在时，的面积的最大值为.