高考数学二轮复习专题突破练6圆锥曲线定点定值最值范围探索性问题 (文数)含解析

专题突破练(6)　圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题

一、选择题

1．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　)

A．  B．p  C．2p  D．无法确定

答案　C

解析　当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x＝，∴y＝±p，|AB|min＝2p．故选C．

2．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为(　　)

A．4  B．6  C．8  D．9

答案　D

解析　注意到P点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F′(4，0)，于是由双曲线定义得|PF|－|PF′|＝2a＝4，故|PF|＋|PA|＝2a＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝9，当且仅当A，P，F′三点共线时等号成立．故选D．

3．已知M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)

A．(0，2)  B．[0，2]  C．(2，＋∞)  D．[2，＋∞)

答案　C

解析　由题意知圆心F到抛物线的准线的距离为4，且|FM|>4，根据抛物线的定义知|FM|＝y0＋2，所以y0＋2>4，得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．

4．过椭圆＋＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是(　　)

A．14  B．16  C．18  D．20

答案　C

解析　如图，设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF的周长为|PF|＋|FQ|＋|PQ|＝|PF|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF的周长取得最小值10＋2×4＝18．故选C．

5．(2018·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　)

A．  B．  C．  D．

答案　A

解析　点A关于直线l：y＝x＋3的对称点A′(－3，2)，连接A′B与直线l相交，当点P在交点处时，2a＝|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＝|A′B|＝2，此时a取得最小值，又c＝1，所以椭圆C的离心率的最大值为，故选A．

6．(2019·厦门一中开学考试)已知△ABC三个顶点A，B，C都在曲线＋＝1上，且＋2＝0(其中O为坐标原点)，M，N分别为AB，AC的中点，若直线OM，ON的斜率存在且分别为k1，k2，则|k1|＋|k2|的取值范围为(　　)

A．，＋∞  B．[0，＋∞)

C．0，  D．，＋∞

答案　D

解析　由于A，B都在曲线＋＝1上，则有＋＝1，＋＝1，两式相减并整理可得＝－，由＋2＝0知，＝－2，则B，C关于坐标原点对称，而M，N分别为AB，AC的中点，则k1＝kAC，k2＝kAB，则|k1|＋|k2|＝|kAC|＋|kAB|≥2＝2×＝2 ＝2＝，当且仅当|kAB|＝|kAC|时，等号成立．故选D．

二、填空题

7．(2018·湖北黄冈中学二模)设椭圆＋y2＝1上任意一点A到两条直线x±2y＝0的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为________．

答案　

解析　设点A的坐标为(2cosα，sinα)，则d1d2＝·＝≤，所以d1d2的最大值为．

8．(2018·河南六市联考一)已知P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值是________．

答案　1＋2

解析　设双曲线的右焦点为F2(，0)，不妨设渐近线l：x－y＝0，则点F2(，0)到渐近线l的距离为1，由于点P在双曲线右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|PF1|＝2＋|PF2|，|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|≥2＋1，当且仅当点Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时取等号，故|PF1|＋|PQ|的最小值是1＋2．

9．(2018·厦门质检一)过抛物线E：y2＝4x焦点的直线l与E交于A，B两点，E在点A，B处的切线分别与y轴交于C，D两点，则4|CD|－|AB|的最大值是________．

答案　8

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线AC的方程为x＝t(y－y1)＋x1＝t(y－y1)＋，代入抛物线的方程，消去x，得y2－4ty＋4ty1－y＝0．由Δ＝16t2－4(4ty1－y)＝0，得t＝，所以直线AC的方程为x＝(y－y1)＋，其中令x＝0，得yC＝，同理可求得yD＝，所以|CD|＝|y1－y2|．由题意，知抛物线的焦点为F(1，0)，则设直线AB的方程为x＝my＋1，代入抛物线的方程，消去x，得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以4|CD|－|AB|＝2|y1－y2|－·|y1－y2|＝2－·＝8－4(1＋m2)＝－4×(－)2＋8，所以当＝时，4|CD|－|AB|取得最大值为8．

三、解答题

10．(2018·济南模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：x2＝4y，直线l与抛物线C1交于A，B两点．

(1)若直线OA，OB的斜率之积为－，证明：直线l过定点；

(2)若线段AB的中点M在曲线C2：y＝4－x2(－2<x<2)上，求|AB|的最大值．

解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)证明：由题意可知直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y＝kx＋m，

由得x2－4kx－4m＝0，

则Δ＝16(k2＋m)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，

∴kOA·kOB＝＝＝＝－，

由已知kOA·kOB＝－，得m＝1，

∴直线l的方程为y＝kx＋1，∴直线l过定点(0，1)．

(2)设M(x0，y0)，则由(1)知x0＝＝2k，

y0＝kx0＋m＝2k2＋m，

将M(x0，y0)代入C2：y＝4－x2(－2<x<2)得2k2＋m＝4－(2k)2，∴m＝4－3k2，

∵－2<x0<2，∴－2<2k<2，

∴－<k<，

又∵Δ＝16(k2＋m)＝16(k2＋4－3k2)＝32(2－k2)>0，

∴－<k<，

故k的取值范围是k∈(－，)．

|AB|＝·

＝·，

将m＝4－3k2代入得

|AB|＝4·≤

4·＝6，

当且仅当k2＋1＝2－k2，即k＝±时取等号，

故|AB|的最大值为6．

11．(2018·湖南六校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为M，N，点P是椭圆上异于点M，N的任意一点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，满足kPM·kPN＝－．

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设椭圆C的左焦点为F(－c，0)，过点F的直线AB交椭圆于A，B两点，AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点．记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，求的取值范围．

解　(1)设P(x0，y0)，则＋＝1，

即＝－，

因为kPM·kPN＝·＝－，

所以－＝－，

又a2＝b2＋c2，则有a2＝4c2，a＝2c，

因此椭圆C的离心率e＝＝．

(2)由(1)可知a＝2c，b＝＝c，

则椭圆的方程为＋＝1．

根据条件知直线AB的斜率一定存在且不为零，

设直线AB的方程为y＝k(x＋c)，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(xD，0)，

联立消去y并整理得

(4k2＋3)x2＋8ck2x＋4k2c2－12c2＝0，

从而有x1＋x2＝－，

y1＋y2＝k(x1＋x2＋2c)＝，

所以G－，．

因为DG⊥AB，所以·k＝－1，

解得xD＝－．

由Rt△FGD与Rt△EOD相似，

所以＝＝＝9＋>9，

令＝t，则t>9，从而＝<＝，

即的取值范围是0，．

12．(2018·合肥质检二)已知点A(1，0)和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2＋y2＝4．

(1)求动点B的轨迹方程；

(2)已知点P(2，0)，Q(2，－1)，经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值．

解　(1)如图，设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取A′(－1，0)．

依题意，圆C内切于圆O，

设切点为D，则O，C，D三点共线．

∵O为AA′的中点，C为AB的中点，

∴|A′B|＝2|OC|．

∴|BA′|＋|BA|

＝2|OC|＋2|AC|＝2|OC|＋2|CD|

＝2|OD|＝4>|AA′|＝2．

依椭圆的定义可知，动点B的轨迹为椭圆，

设为＋＝1(a>b>0)，其中|BA′|＋|BA|＝2a＝4，|AA′|＝2c＝2，

∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，

∴动点B的轨迹方程为＋＝1．

(2)证明：当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与椭圆＋＝1相切，与题意不符；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)．

由

得(4k2＋3)x2－(16k2＋8k)x＋16k2＋16k－8＝0．

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则

由Δ＝96(1－2k)>0⇒k<．

∴kPM＋kPN＝＋

＝＋＝2k－＋

＝2k－

＝2k－

＝2k－

＝2k＋3－2k＝3，为定值．

13．(2018·石家庄二中模拟)已知F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆长轴上一点M(m，0)(不含端点)作一条直线l，交椭圆于A，B两点．

(1)若直线AF2，AB，BF2的斜率依次成等差数列(公差不为0)，求实数m的取值范围；

(2)若过点P0，－的直线交椭圆C于E，F两点，则以EF为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

解　(1)由题意知F1(－1，0)，F2(1，0)，

直线l的斜率存在且不为0，

设直线l的方程为y＝k(x－m)(k≠0)，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＝k(x1－m)，y2＝k(x2－m)，

因为＋＝2k，

即＋＝2k，

整理得(x1＋x2)(1－m)＝2(1－m)，且公差不为0，

所以x1＋x2＝2，

由

得(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，

由x1＋x2＝＝2，得k2＝>0，

所以m>1．

又点M(m，0)在椭圆长轴上(不含端点)，

所以1<m<，即实数m的取值范围为(1，)．

(2)假设以EF为直径的圆恒过定点．

当EF⊥x轴时，以EF为直径的圆的方程为x2＋y2＝1；

当EF⊥y轴时，以EF为直径的圆的方程为x2＋y＋2＝，则两圆的交点为Q(0，1)．

下证当直线EF的斜率存在且不为0时，点Q(0，1)在以EF为直径的圆上．

设直线EF的方程为y＝k0x－(k0≠0)，

代入＋y2＝1，整理得(2k＋1)x2－k0x－＝0，

设E(x3，y3)，F(x4，y4)，

则x3＋x4＝，x3x4＝，

又＝(x3，y3－1)，＝(x4，y4－1)，

所以·＝x3x4＋(y3－1)(y4－1)

＝x3x4＋k0x3－k0x4－

＝(1＋k)x3x4－k0(x3＋x4)＋

＝(1＋k)·－k0·＋＝0，

所以点Q(0，1)在以EF为直径的圆上．

综上，以EF为直径的圆恒过定点Q(0，1)．