江苏省苏州市张家港市沙洲中学2023-2024学年高一下学期3月阶段性测试数学试题

这是一份江苏省苏州市张家港市沙洲中学2023-2024学年高一下学期3月阶段性测试数学试题，共15页。

1．式子（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知非零向量的夹角余弦值为，且，则（ ）
A. 2B. C. D. 1
4.在 QUOTE △中，设 QUOTE AB=a ， QUOTE AC=b ， QUOTE BD=2DC ， QUOTE AE=4ED ，则 QUOTE BE= （ ）
A． QUOTE 115a-815b B． QUOTE 23a-815b C． QUOTE -23a+815b D． QUOTE -1115a+815b
5．已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数图象的一条对称轴为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7. 在平行四边形中， ，点E是的中点，点F满足，且，则 （ ）
A．9 B．C．D．
8. 在△中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．函数的最大值为2
B．函数在区间上单调递增
C．函数图像的一个对称中心为
D．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像
10. 设是互相垂直的单位向量， ， ，下列选项正确的是（ ）
A．若点C在线段AB上，则
B．若 ，则
C．当时，与共线的单位向量是
D．当时，在上的投影向量为
11. △中，斜边，为所在平面内一点，
（其中，则
A．的取值范围是 B．点轨迹经过的外心
C．点所在轨迹的长度为2 D．的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点， 则 .
13. 等边△的外接圆的半径为1，M是△的边AC的中点，P是该外接圆上的动点，则的最大值为 .
14. 记函数的最小正周期为T，若，且是图像的一个最高点，则 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15（13分）.已知向量与的夹角为，且，.
（1）若与共线，求k；
（2）求与的夹角的余弦值
16.(本题满分15分)如图，在△中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.
求的值；
判断的值是否为一个常数，并说明理由．
17.（15分）已知向量，，设函数.
（1）求函数的最大值，及取得最大值时取值的集合；
（2）求函数的单调减区间；
（3）设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若，，求的值.
18.（17分） 已知向量，，函数，，.
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
19.（17分）如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心.
(1)若，，，求的值；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，若，求的最大值.
2023-2024学年第二学期3月阶段性检测
高一数学 2024.3
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．式子（ ）【答案】B
A．B．C．D．
【解析】
.
2．已知向量，，若，则（ ） 【答案】C
A． B． C． D．
3．已知非零向量的夹角余弦值为，且，则（ ）A
A. 2B. C. D. 1
解：，即，，
因为故，则.
4.如图，在 QUOTE 中，设 QUOTE AB=a AB=a， QUOTE AC=b AC=b， QUOTE BD=2DC BD=2DC， QUOTE AE=4ED AE=4ED，则 QUOTE BE= BE=（ ）

A． QUOTE 115a-815b 115a-815bB． QUOTE 23a-815b 23a-815b
C． QUOTE -23a+815b -23a+815bD． QUOTE -1115a+815b -1115a+815b
【解题思路】根据向量的线性运算法则求解.
【解答过程】由题意 QUOTE BE=AE-AB=45AD-a=45(AB+BD)-a=45BD-15a BE=AE-AB=45AD-a=45(AB+BD)-a=45BD-15a QUOTE ,
故选：D．
5．已知，则（ ） B
A. B. C. D.
【详解】，解得，故，其中，故
6. 已知函数图象的一条对称轴为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值是（ ）【答案】C
A．B．C．D．
【解】，其中，
函数图象的一条对称轴为，则，解得：，则，，即，故，
，且函数在区间上具有单调性，
与关于对称中心对称，
，解得，
则时，
7.如图，在平行四边形中， ，点E是的中点，点F满足，且，则 （ ）【答案】A
A．9 B．C．D．
解： QUOTE DF=DC+CF=AB-13AD DF=DC+CF=AB-13AD，所以 QUOTE DF2=AB-13AD2=AB2-23AB?AD+19AD2 DF2=AB-13AD2=AB2-23AB?AD+19AD2，
即 QUOTE 13=16-23AB?AD+1 13=16-23AB?AD+1，解得 QUOTE AB?AD=6 AB?AD=6，又 QUOTE EF=EB+BF=12AB+23AD EF=EB+BF=12AB+23AD，
所以 QUOTE EF?DF=AB-13AD?12AB+23AD=12AB2+12AB?AD-29AD2 EF?DF=AB-13AD?12AB+23AD=12AB2+12AB?AD-29AD2 QUOTE ，故选：A．
8.如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由条件可得，
∵，
∴，
因为三点共线，∴，∴，
∵，
∴，则；
当且仅当，即时取等号，
故的最小值是；故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．函数的最大值为2
B．函数在区间上单调递增
C．函数图像的一个对称中心为
D．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像
【答案】AD
【解析】，
所以函数的最大值为2，所以A选项正确．
因为函数在区间上单调递增，所以函数在上单调递减，所以B选项不正确．
当时，，所以为对称轴，所以C选项不正确．
函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，所以D选项正确．
故选：AD．
10.设是互相垂直的单位向量， ， ，下列选项正确的是（ ）ABD
A．若点C在线段AB上，则
B．若 ，则
C．当时，与共线的单位向量是
D．当时，在上的投影向量为
【解析】由题意可得： QUOTE a2=b2=1,a?b=0 a2=b2=1,a?b=0，
对A：若点C在线段AB上，则 QUOTE ，则 QUOTE ，可得 QUOTE ，解得 QUOTE 或 QUOTE （舍去），故A正确；
对B：由 QUOTE ，可得 QUOTE ，解得 QUOTE ，故B正确；
对C：当 QUOTE 时，则 QUOTE AB=a+2b=a+2b2=a2+4a?b+4b2=5 AB=a+2b=a+2b2=a2+4a?b+4b2=5，
与 QUOTE AB AB共线的单位向量是 QUOTE ，故C错误；
对D：当 QUOTE 时，可得 QUOTE a?AC=a?a-2b=a2-2a?b=1,AC2=a-2b2=a2-4a?b+4b2=5 a?AC=a?a-2b=a2-2a?b=1,AC2=a-2b2=a2-4a?b+4b2=5，
则 QUOTE a a在 QUOTE AC AC上的投影向量为 QUOTE acsACAC=aa?ACaACACAC=a?ACAC2AC=15AC=15a-25b acsACAC=aa?ACaACACAC=a?ACAC2AC=15AC=15a-25b，故D正确.
11.直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中，则
A．的取值范围是 B．点轨迹经过的外心
C．点所在轨迹的长度为2 D．的取值范围是
解：由，又斜边，则，则，正确；
若为中点，则，故，又，
所以，，共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，正确，错误；
由上，则，
A
B
C
D
E
F
又，则，当且仅当等号成立，所以，正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
13．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中
点， 则 .
14.等边的外接圆的半径为1，M是的边AC的中点，P是该外接圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】A
【解析】如图，设等边的外心为，又半径为1，且是的边的中点，
、、三点共线，且，
，
又，
当时，的最大值为．故选：A．
13.记函数的最小正周期为T，若，且是图像的一个最高点，则
【详解】函数的最小正周期为，
则，由，得，，
因为是图像的一个最高点，则
且，则
，取，可得，
所以，则
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15（13分）.已知向量与的夹角为，且，.
（1）若与共线，求k；
（2）求与的夹角的余弦值
【解】（1）若与共线，则存在，使得
即，又因为向量与不共线，
所以，解得，所以.
（2）， ，
.
16.(本题满分15分)如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.
求的值；
判断的值是否为一个常数，并说明理由．
解：法1：由已知可得，，

的值为一个常数为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点， ，
故：。
解法2：以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为 y轴建立直角坐标系，可求，
此时，，
设E点坐标为，，
常数．
17.（15分）已知向量，，设函数.
（1）求函数的最大值，及取得最大值时取值的集合；
（2）求函数的单调减区间；
（3）设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若，，求的值.
解：（1）
，
函数的最大值为
此时，所以，
所以当取得最大值时取值的集合为，
（2）
（3）因为A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，
所以，
由，得，
因为所以，解得，
所以
所以.
18.（17分） 已知向量，，函数，，.
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
解：（1）
当时，，则；
（2）∵，∴则，
令，则，则，对称轴，
① 当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，
② 当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得，
③ 当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，
综上若的最小值为，则实数；
（3）令，得或，
∴方程或在上有四个不同的实根，
则，得，则，
即实数的取值范围是.
19.如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心.
(1)若，，，求的值；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，若，求的最大值.
【解析】（1）以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系.，，
所以.
（2）设，，
则，.
，
由于，根据对勾函数的性质可知.
（3）；
.
设，，则这两个式子为，
化简得
解得
所以，
设，，
令，
所以由对勾函数的性质得，
所以当时，即点与点重合时，取到最大值.