2020-2021学年江苏省苏州市张家港市高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省苏州市张家港市高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知函数的最小正周期为，则实数　　

A．2 B． C． D．

2．（5分）复数与分别表示向量，，则表示向量的复数在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）若，，且与的夹角为，则　　

A．4 B． C． D．5

4．（5分）已知，，，，若，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）函数在区间，上的最小值是　　

A． B．3 C．5 D．6

6．（5分）在中，为边上的中线，为的中点，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则　　

A．0 B．6 C．0或 D．0或6

8．（5分）在中，，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，．设，，复数，当取到最小值时，实数的值为　　

A． B． C．2 D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）下列关于复数的四个命题，真命题的为　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则的最大值为2 D．若，则

10．（5分）在内角，，所对的边分别为，，，，边上的高等于，则以下四个结论正确的是　　

A． B． C． D．

11．（5分）已知函数，则　　

A．为偶函数 B．的最小正周期为 

C．的值域为， D．在，上单调递减

12．（5分）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则　　

A．为的垂心 

B． 

C． 

D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知，，且，则实数　　．

14．（5分）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角度得到向量，叫做把点绕着沿逆时针方向旋转角得到点，沿顺时针方向旋转得到的向量　　．

15．（5分）已知复数，为实数），并且，则实数　　．

16．（5分）如图，已知直线，是，之间的一个定点，并且点到，的距离都为2．是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点．设，则面积的最小值是　　，周长的最小值是　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）（1）已知复数是关于的方程的一个根，求的值；

（2）已知复数，，，求．

18．（12分）已知是圆的一条直径，且，，是直径同侧的半圆弧上两个三等分点，其中是靠近的三等分点．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．（12分）圣索非亚教堂是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，如图1．某校高一数学兴趣小组打算根据所学知识估算索菲亚教堂的高度，他们在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，测得建筑物的高度为，在它们之间的地面上的点，，三点共线）处可以测得楼顶和教堂顶的仰角分别为和，在楼顶处可测得塔顶的仰角为，且与都垂直地面，如图2，那么请你根据他们测得的数据估算索菲亚教堂的高度为多少？（结果用，，，表示）

20．（12分）已知，都是锐角，，．

（1）求；

（2）求．

21．（12分）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，请在①；②；③；这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：

（1）若，求．

（2）若且，求的面积．

22．（12分）（1）对于平面向量，，求证：，并说明等号成立的条件；

（2）我们知道求的最大值可化为求的最大值，也可以利用向量的知识，将构造为两个向量的数量积形式，即：令，，则转化为，求出最大值．

利用以上向量的知识，完成下列问题：

①对于任意的，，，，求证：；

②求的最值．

2020-2021学年江苏省苏州市张家港市高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【解答】解：函数的最小正周期为，

故，

解得．

故选：．

2．【解答】解：复数与分别表示向量，，

，

则表示向量的复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．

故选：．

3．【解答】解：，，且与的夹角为，

则．

故选：．

4．【解答】解：，

，且，

或（舍去），

．

故选：．

5．【解答】解：函数，

由于，

所以，

所以，

故，

当时，函数的最小值为3．

故选：．

6．【解答】解：因为为边上的中线，为的中点，

所以

，

故选：．

7．【解答】解：①当两两夹角为0时，，

②当两两夹角为时，

，

，

综上：或6．

故选：．

8．【解答】解：如图，

，

，，，

为中点，，，

，， 三点共线，，，，

，

当 时，的最小值为，

又，

当 时，有最小值．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【解答】解：，若，即，则，所以正确；

取复数，满足，但，故错误；

，的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，则的最大值为2，所以正确；

取复数，，故错误；

故选：．

10．【解答】解：过作，垂足为，

因为，边上的高，

中，，

所以，

，，正确；

由勾股定理得，

由正弦定理得，，

所以，正确；

中，，

由余弦定理得，，

故，错误；

，正确．

故选：．

11．【解答】解：函数，

对于：函数故函数为偶函数，故正确；

对于：由于函数，所以函数的最小正周期为，故正确；

对于：由于函数的最小正周期为，

当时，，

当时，，

所以．

对于：函数在，上单调性先增后减，故错误；

故选：．

12．【解答】解：如图，

，，，，同理，

为外心，正确，

在四边形中，，，

，即，正确，

，

同理，，

，

，错误，

，

，

由奔驰定理得，正确，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【解答】解：已知，，且，，

则实数，

故答案为：．

14．【解答】解：设，把绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量，，

即，，，

，解得．

．

故答案为：，．

15．【解答】解：复数，为实数），并且，

，

实数．

故答案为：．

16．【解答】解：①由题意知，，，，

所以，，

所以，；

所以，，

所以的面积为．

当，即时，的面积取得最小值为4．

②的周长为

，；

设，其中，

所以，，所以，，

所以，解得，

所以可化为，当时取得最小值；

所以周长的最小值是．

故答案为：4，．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解答】解：（1）是关于的方程的一个根，

是关于的方程的另一个根，

，解得，，则；

（2），，，

．

18．【解答】解：（1）以为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，

则，，，，，，

，，，

；

（2），，

．

19．【解答】解：解法1、由题意可知，在中，，设，则，

在中，，，则，

在中，，，

所以，

由正弦定理知，

，

即，

解得，

所以估算索菲亚教堂的高度为．

解法2、过点作，垂足为，如图所示：

则，

设，在中，，，则，

在中，，，则，

所以，

在，，解得，

所以，

解得，

所以估算索菲亚教堂的高度为．

20．【解答】解：（1）已知，都是锐角，，，

所以，①

由于②，

由①②解得：，

由于是锐角，

所以，，

由于，

，

．

（2），都是锐角，

所以，

所以，

，

所以，

所以，

故，

故．

21．【解答】解：（1）若选①，因为，可得，

由正弦定理可得，

在中，，

所以，又，所以，

所以，又，所以，，所以，可得．

若选②，因为，

由正弦定理可得，所以，

又，所以，又，所以．

若选③，因为，

由余弦定理可得，

又，且，所以，又，所以．

因为，由正弦定理可得，

所以，所以，

又，所以，

所以，

又，所以，，可得．

（2）由，，由正弦定理可得，

由，所以，

又由余弦定理可得，可得，

所以．

22．【解答】（1）证明：设，，

当且仅当，即或时，等号成立；

解：（2）①证明：设，，，，

，，

则，

两边平方可得：；

②解：，，，，，

，

在以原点为圆心，以1为半径的圆上，即第一象限及，；

当时，在上的投影最小，即的最小值为3；

当，共线同向时取最大值，即的最大值为5，当且仅当时取最大值．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2021/8/3 15:56:35；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394