高中数学高教版（中职）基础模块下册7.1.2 平面向量的加法学案设计

这是一份高中数学高教版（中职）基础模块下册7.1.2 平面向量的加法学案设计，文件包含第二讲平面向量的加法运算原卷版docx、第二讲平面向量的加法运算解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共23页， 欢迎下载使用。

1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．
【自主学习】
知识点1 向量的加法法则
(1)三角形法则
如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则．21·世纪*
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.
(2)平行四边形法则
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则O、A、B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线上的向量eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则．
知识点2 向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
【合作探究】
探究一 向量的加法法则
【例1】如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.
解 在平面内任取一点O(如下图)，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，以OA、OB为邻边做▱OACB，连接OC，则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b.2
归纳总结：已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据平行四边形法则作图．
【练习1】(1)如图①所示，求作向量和a＋b.
(2)如图②所示，求作向量和a＋b＋c.
[解] (1)首先作向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，然后作向量eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b.如图③所示．
(2)方法一(三角形法则)：如图④所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，再作向量eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则得向量eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，然后作向量eq \(BC,\s\up6(→))＝c，则向量eq \(OC,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
方法二(平行四边形法则)：如图⑤所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c即为所求．
探究二 向量的加法运算
【例2-1】如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝________；
(2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))＝________；
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝________；
(4)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝________.
答案 (1)eq \(AC,\s\up6(→)) (2)eq \(AO,\s\up6(→)) (3)eq \(AD,\s\up6(→)) (4)0
【例2-2】化简：
(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))； (2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))； (3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
(2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))
＝(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝0.
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝0.
归纳总结：在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度.
【练习2-1】(1)化简：①eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))；②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)).
(2)如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
①eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))； ②eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))； ③eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)).
[分析] 根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．
[解] (1)①eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))；
②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝0.
(2)①由题图知，OAFE为平行四边形，∴eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))；
②由题图知，OABC为平行四边形，∴eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))；
③由题图知，AEDB为平行四边形，∴eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
【练习2-1】化简：(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)). (2)(eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→)))＋(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))． (3)eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＋eq \(DC,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
(2)(eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→)))＋(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝(eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→)))
＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→)).
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0.
探究三 向量加法的应用
【例3】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．
[证明] 如图，根据向量加法的三角形法则有eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)).
又∵eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)).
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)).
∴AB∥DC且AB＝DC，即AB与DC平行且相等．
∴四边形ABCD是平行四边形．
归纳总结：要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可.此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述.
【练习3】在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，分别取点F，E，使BE＝DF(如图)，用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形．
证明：eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(FD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(FD,\s\up6(→))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))，即AE，FC平行且相等．
故四边形AECF是平行四边形．
探究四 向量加法的实际应用
【例4】长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5eq \r(3) km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度方向间的夹角表示)．
[解] (1)如图所示，eq \(AD,\s\up6(→))表示船速，eq \(AB,\s\up6(→))表示江水速度．易知AD⊥AB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则eq \(AC,\s\up6(→))表示船实际航行速度．
(2)在Rt△ABC中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝5，
|eq \(BC,\s\up6(→))|＝5eq \r(3)，
所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(\(\s\up11( ),\s\d4(|\(AB,\s\up6(→))|2＋|\(BC,\s\up6(→))|2)))
＝eq \r(52＋5\r(3)2)＝eq \r(100)＝10.
因为tan∠CAB＝eq \f(|\(BC,\s\up11(→))|,\(\s\up5( ),\s\d4(|\(AB,\s\up6(→))|)))＝eq \r(3)，所以∠CAB＝60°.
因此，船实际航行的速度大小为10 km/h，
方向与江水速度方向间的夹角为60°.
归纳总结：向量应用题要首先画出图形.解决的步骤是：1将应用问题中的量抽象成向量；2化归为向量问题，进行向量运算；3将向量问题还原为实际问题.
【练习4】某人在静水中游泳，速度为4eq \r(3)千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
解：如图，设此人的实际速度为eq \(OD,\s\up6(→))，水流速度为eq \(OA,\s\up6(→))，游速为eq \(OB,\s\up6(→))，则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))，在Rt△AOD中，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝4eq \r(3)，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4，则|eq \(OD,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，cs∠DAO＝eq \f(\r(3),3).
故此人沿向量eq \(OB,\s\up6(→))的方向游(即逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为eq \f(\r(3),3))，实际前进的速度大小为4eq \r(2)千米/小时．
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．在四边形ABCD中，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，则( )
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
答案D
解析：由eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形．
2．下列等式不成立的是( )
A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋a
C.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝2eq \(BA,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))
答案C
解析：对于C，∵eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))方向相反，∴eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0.
3．已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”，则a＋b表示( )
A．向东南航行eq \r(2) km B．向东南航行2 km
C．向东北航行eq \r(2) km D．向东北航行2 km
答案 A
4．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))
B.eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))
C.eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))
D.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))
答案 C
5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同 B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b D．a，b无论什么关系均可
答案 A
6.如图所示，在平行四边形ABCD中，eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(BD,\s\up6(→)) B.eq \(DB,\s\up6(→)) C.eq \(BC,\s\up6(→)) D.eq \(CB,\s\up6(→))
答案 C
解析 eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋(eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋0＝eq \(BC,\s\up6(→)).
7．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，那么( )
A.eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→)) B.eq \(AO,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→))
C.eq \(AO,\s\up6(→))＝3eq \(OD,\s\up6(→)) D．2eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))
答案 A
解析 ∵eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→))，
∴2eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OD,\s\up6(→))＝0.∴eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→)).
8．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是( )
A.eq \(FD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝0
B.eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝0
C.eq \(FD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))
D.eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(FD,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))
答案 D
解析 eq \(FD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝0，
eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝0，
eq \(FD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(FD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋0＝eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))≠eq \(BD,\s\up6(→)).
故选D.
9．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))等于( )21
A.eq \(OM,\s\up6(→)) B．2eq \(OM,\s\up6(→)) C．3eq \(OM,\s\up6(→)) D．4eq \(OM,\s\up6(→))
答案 D
解析 因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OM,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝2eq \(OM,\s\up6(→))，故eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝4eq \(OM,\s\up6(→)).
二、填空题
10．在平行四边形ABCD中，eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝________.
答案 0
解析 注意eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0，eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0.
11．设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：
(1)eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＝________；
(2)eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＝______；
(3)eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))＝________；
(4)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝________.
答案 (1)eq \(DA,\s\up6(→)) (2)0 (3)eq \(DB,\s\up6(→)) (4)eq \(DC,\s\up6(→))
12．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．
答案 20,4
解析 当a与b共线同向时，|a＋b|max＝20；当a与b共线反向时，|a＋b|min＝4.
三、解答题
13.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.
求证：eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→)).
证明 ∵eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))，eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→)).
又∵BP＝QC且eq \(BP,\s\up6(→))与eq \(CQ,\s\up6(→))方向相反，∴eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，即eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→)).
14．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．
解
如图所示，eq \(OA,\s\up6(→))表示水流速度，eq \(OB,\s\up6(→))表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，eq \(OC,\s\up6(→))表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝5..
∵四边形OACB为矩形，
∴|eq \(OA,\s\up6(→))|＝eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,tan 30°)＝5eq \r(3)，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(|\(OB,\s\up6(→))|,sin 30°)＝10，
∴水流速度大小为5eq \r(3) km/h，船实际速度为10 km/h.
B组 能力提升
一、选择题
1.如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|AB+FE+CD|=( )
A.1B.2C.3D.23
解析由题,可知FE=BC,所以|AB+FE+CD|=|AB+BC+CD|=|AD|=2.故选B.
答案B
2.如图所示,点O是正六边形的中心,则( )
A.B.0C.D.
答案：A
解析：∵,∴,故选A.
3.若在中,,且,则的形状是( )
A.等边三角形B.锐角三角形
C.斜三角形D.等腰直角三角形
答案：D
解析：如图,∵,,∴为等腰直角三角形.
二、填空题
4.化简:(AB+MB)+(BO+BC)+OM= .
答案AC
解析：(AB+MB)+(BO+BC)+OM=(AB+BC)+MB+(BO+OM)
=AC+MB+BM=AC+(MB+BM)=AC+0=AC.
5.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填一个向量):
(1)AB+DF= ;
(2)AD+FC= ;
(3)AD+BC+FC= .
答案AC AB AC
解析：如图,因为四边形DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则得:
(1)AB+DF=AB+BC=AC.
(2)AD+FC=AD+DB=AB.
(3)AD+BC+FC=AD+DF+FC=AC.
6．已知点G是△ABC的重心，则eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝___________________.
答案 0
解析 如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，
则eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝eq \(GD,\s\up6(→))，eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(GA,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0.
7.已知向量的夹角为,,则___________.
答案：
解析：,所以.
三、解答题
8.已知|OA|=|a|=3,|OB|=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.
解如图所示,因为|OA|=|OB|=3,∠AOB=60°,所以四边形OACB为菱形,连接OC,AB,则OC⊥AB,设垂足为D.因为∠AOB=60°,所以AB=|OA|=3.
所以在Rt△AOD中,OD=332.
所以|a+b|=|OC|=332×2=33.
9.设O是△ABC内任一点，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．证明：eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OF,\s\up6(→)).
证明
如图所示，因为eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))，
eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))，
所以eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→)).
因为D，E，F分别为各边的中点，
所以eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0.
所以eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OF,\s\up6(→)).
10.在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
解
如图所示，设eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(BC,\s\up6(→))分别是直升飞机两次位移，则eq \(AC,\s\up6(→))表示两次位移的合位移，即eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，
在Rt△ABD中，|eq \(DB,\s\up6(→))|＝20 km，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝20eq \r(3) km，
在Rt△ACD中，
|eq \(AC,\s\up6(→))|＝ eq \r(|\(AD,\s\up6(→))|2＋|\(DC,\s\up6(→))|2)＝40eq \r(3) km，
∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40eq \r(3) km处．