河南省驻马店市确山县2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟．
2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上．
3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6B. 1.5，2，2.5C. 2，3，4D. 1，， 3
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；
C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
D、，不可以构成直角三角形，故本选项错误．
故选：B
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选D．
3. 如图，分别以直角三角形的三边向外作正方形A，B，C，已知，那么正方形C的边长是( )

A. 15B. 16C. 17D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】首先设正方形C的面积为SC，根据勾股定理得出SC，即可得出正方形C的边长.
【详解】设正方形C的面积为SC
根据题意，得
=64+225=289
∴正方形C的边长为
故答案为C.
【点睛】此题主要考查勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类二次根式的法则和二次根式的乘除法逐一进行计算进行判断即可．
【详解】解：A． 与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B． ，原选项错误，不符合题意；
C． ，原选项错误，不符合题意；
D． ，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
5. 若，则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可得，即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
6. 下列命题的逆命题成立的是（ ）
A. 全等三角形对应角相等
B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C. 如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，那么
D. 如果两个角都是，那么这两个角相等
【答案】C
【解析】
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，是假命题，故A选项不符合题意；
B．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”，是假命题，故B选项不符合题意；
C．“如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，那么”的逆命题是“如果三角形三条边满足，那么这个三角形是直角三角形”，是真命题，故C选项符合题意；
D．“如果两个角都是，那么这两个角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角都是”，是假命题，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
7. 如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）
A. 24米2B. 36米2C. 48米2D. 72米2
【答案】B
【解析】
【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积．
【详解】连接AC，则由勾股定理得AC=5米，
∵52+122=132
即AC2+DC2=AD2，
∴∠ACD=90°．
这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AC•DC=（3×4+5×12）=36米2．
故选B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．
8. 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【详解】解：在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得，故A选项可以证明勾股定理，
在B选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故B选项可以证明勾股定理，
在C选项中，整个图形面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
，
整理得，故C选项可以证明勾股定理，
在D选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，
，
以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理，
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（－3，2），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A. －5和－4之间B. －4和－3之间
C. 3和4之间D. 4和5之间
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求得的长度，即可得到的长度，根据点在负半轴，即可求得点的横坐标的范围．
【详解】解：∵点P坐标为（－3，2），
∴
根据题意
故选B
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，无理数估算，掌握勾股定理与无理数的估算是解题的关键．
10. 如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 化简：____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
12. 如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长为______．

【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理等知识点．三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积，再根据正方形面积计算公式即可求出边长．
【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方，一条直角边的平方，
由勾股定理可知：斜边的平方，即A所代表的正方形的面积为25．
∴所代表的正方形的边长为5．
故答案为：5．
13. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列式计算即可．
【详解】由勾股定理知，．
故答案为:
14. 把 中根号外面的因式移到根号内的结果是___．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
15. 如图，中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】以为边作等边，以为边作等边，通过全等即可将、进行转换，再分析当、、、四点共线时，值最小，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，以为边作等边，以为边作等边，连接，作，作，交的延长线于．
和是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
当、、、四点共线时，值最小，
，
，
，
，
，
，
最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了构造等边三角形，利用手拉手模型求解线段和最小值问题，能够熟练利用等边三角形的性质是解决本题的关键．
三、解答题（共8题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）10 （3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，
（1）根据二次根式的性质化简，再进行加减法运算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（3）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（4）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
；
【小问4详解】
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）将字母的值代入，利用平方差公式，进行计算即可求解；
（2）将字母的值代入，根据完全平方公式变形进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴
；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
由（1）可知，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则，乘法公式是解题的关键．
19. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）依题知 米，用含有x的式子表示为 米；
（2）请你求出旗杆的高度．
【答案】（1）5；
（2）12米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
（1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空；
（2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【小问1详解】
解：根据题意知：米，米．
故答案为：5；；
【小问2详解】
解：在直角中，由勾股定理得：
，
即．
解得．
答：旗杆的高度为12米．
20. 如图，在中，于．

（1）求的长．
（2）求的面积．
【答案】（1）4.8 （2）24
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形面积计算：
（1）先利用勾股定理的逆定理证明，再利用等面积法求出的长即可；
（2）根据直角三角形面积计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
是直角三角形，
，
，
的面积，
，
，
，
长为4.8；
【小问2详解】
解：，
的面积，
的面积为24．
21. 如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）的面积为6．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质以及折叠的性质证明，再根据等角对等边即可证明；
（2）由折叠的性质得，设，在中，建立方程，进一步计算即可求解．
【小问1详解】
证明：∵长方形中，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由折叠的性质得，设，
∵，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，根据折叠的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
22. 我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．
（1）下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）；
（2）写出根分式中x的取值范围______；
（3）已知两个根分式．
①若，求的值；
②若是一个整数，且为整数，请直接写出的值：______．
【答案】（1）③ （2）且
（3）①；②或
【解析】
【分析】（1）根据定义进行判断即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件进行计算即可求解；
（3）①根据题意列出方程，解方程即可求解，最后要检验；
②先计算，根据是一个整数，为整数，求得的值，最后检验即可求解．
【小问1详解】
解：①分子不是二次根式，不是根分式，
②的分母不是整式，不是根分式，
③是根分式，
故答案为：③；
【小问2详解】
由题意得：，，
解得：，，
故x的取值范围是：且；
故答案为：且；
【小问3详解】
当，时，
①，
，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解；
②
，
是一个整数，且x为整数，
是一个整数，
，
解得：或1，
经检验，或1符合题意，
故答案为：3或1．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解分式方程，正确的计算是解题的关键．
23. 已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒．
（1）出发2秒后，求的长．
（2）当点Q在边上运动时，t为何值时，的面积是面积的．
（3）当点Q在边上运动时，t为何值时，将周长分为23：25两部分．
【答案】（1）cm；
（2）2 （3）4或6
【解析】
【分析】（1）求出BP=6，利用勾股定理求出PQ的长；
（2）先求出CQ=6-2t，根据的面积是面积的得，计算即可；
（3）根据勾股定理求出AC，当点Q在AC上时，计算出CQ的长，分别计算PQ分△ABC的周长中BP+BC+CQ的长及AP+AQ的长，列比例式计算即可．
【小问1详解】
解：当出发2秒后，AP=2，BQ=4，
∴BP=AB-AP=8-2=6，
∵∠B=90°，
∴（cm）
【小问2详解】
解：∵BQ=2t，BC=6，
∴CQ=6-2t，
∴，
得t=2；
【小问3详解】
解：在中，，
∴10，
当点Q在AC上时，，
∵BC=6，BP=8-t，
∴PQ分△ABC的周长中BP+BC+CQ=，AP+AQ=，
当时，得t=4；
当时，得t=6；
检验可得t值均符合题意，
∴t为4或6时，将周长分为23：25两部分．
【点睛】此题考查了勾股定理，三角形与动点问题，实际问题与一元一次方程，列比例求解，解题中运用分类思想，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．