河南省驻马店市汝南县2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．
【详解】A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B.，与不是同类二次根式；
C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；
D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，乘法，除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
依次利用二次根式的加法，减法，乘法，除法的运算法则化简计算即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意，
故选：D．
3. 将一副直角三角板和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则的长是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论．
【详解】解：如图，在中，，

∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
4. 如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质可得，则，进而即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形
∴，
∴，
∵，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键．
5. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，
，
故选：D．
【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键．
6. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
【详解】解：如图：
根据题意可得图形：
在中：，
所以．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
7. 如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大矩形面积正方形面积，本题得以解决．
【详解】由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴题图中阴影部分的面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
8. 如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O的（ ）
A. 北偏东B. 北偏东C. 东偏北D. 东偏北
【答案】B
【解析】
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出的余角即可解答．
【详解】解：，，，
，
是直角三角形，
，
由题意得：，
点在点的北偏东方向，
故选：B．
【点睛】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
9. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，则（ ）
A. 2.5B. 3C. 3.5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，勾股定理，根据矩形的性质得到，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，再根据勾股定理求出的长度．
【详解】解：由题意得，
在矩形中，，
∵F为的中点，，
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则（ ）

A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证四边形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，由“”可证，可得．
【详解】解：如图：

连接，
四边形是正方形，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是_______．
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当时，没有意义，解不等式，即可解答．
【详解】解：当时，没有意义，
解得，
为正整数，
可取1，2，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关键．
12. 计算：＝____________.
【答案】
【解析】
【分析】分子、分母同时乘以，即可求解.
【详解】
故答案为
【点睛】本题考查二次根式的化简，关键是找到分母的有理化因式，利用分数的基本性质即可解答.
13. 如图，货车车高，卸货时后面挡板折落在地面处．已知点A、B、C在一条直线上，，经过测量，则______．

【答案】
【解析】
【分析】设，则，在中利用勾股定理列出方程，进而解答即可．
【详解】解：由题意得，，，
设，则，
在中，，
即：，
解得：．
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
14. 如图所示，在平行四边形中，，，的平分线交线段于点E，则________．

【答案】2
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，则，再由角平分线的定义可得，从而求得，则，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形；
，．
，
的平分线交于点，
，
，
，
，，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，其中掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15. 在矩形中，，点P在边上，．若点E是矩形边上一点，且是以为底边的等腰三角形，则的长是_________________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
分点E在和上两种情况，分别根据等腰三角形的性质可得，然后根据矩形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：∵矩形中，，
∴，
①如图1：当点E在边上时，此时是等腰直角三角形，即，
底边；
②当点E边上时，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，，
在中，，
在中，，
综上，的长为或．
故答案为：或．
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
17. 已知，，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】先将代数式因式分解，再代入求值．
【详解】解：∵，，
∴
．
【点睛】本题考查因式分解、二次根式混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算．
18. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风等线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）风筝的高度为米
（2）他应该往回收线8米
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用：
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）由题意得，米，则米，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：在中，由勾股定理得，，
∴米或米 （负值舍去），
∴（米），
答：风筝的高度为米；
【小问2详解】
解：由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线8米．
19. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
（1）如图是著名的“赵爽弦图”， 由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；
（2）若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）的值为25．
【解析】
【分析】（1）大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证；
（2）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
；；；
，整理得；
【小问2详解】
解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示：
∴，，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，即的值为25．
【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键．
20. 如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，，
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据平行四边形得出结合勾股定理的逆定理，得证即可作答．
（2）运用菱形性质列式求面积，即可作答．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，，
∴
∵
∴
∴是直角三角形，且，
∴
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：由（1）知四边形是菱形 ，
∴
21. 如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．

（1）求证：四边形为平行四边形
（2），求线段的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理得到，，得到，即可证明四边形为平行四边形；
（2）由四边形为平行四边形得到，由得到，由勾股定理即可得到线段的长度．
【小问1详解】
解：∵点D、E分别为的中点，
∴，
∵点G、F分别为、中点．
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键．
22. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．

（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明：，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
23. 如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．

（1）试判断四边形形状，并说明理由；
（2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
【答案】（1）平行四边形，见解析
（2）且
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可．
【小问1详解】
四边形是平行四边形．理由如下：
∵的对角线交于点，
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
∴
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴且时，四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．