最新中考几何专项复习专题22 平行四边形存在性问题巩固练习（基础）

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总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
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几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
平行四边形存在性问题巩固练习
1．已知Rt△OAB的两条直角边在坐标轴上，点A，点B的坐标分别为(0，2)，(3，0)．
(1)写出以点O，A，B为其中三个顶点的平行四边形的第四个顶点C的坐标；
(2)直线l的解析式为y＝﹣2x+2，设点M为直线l上一点，过点M作AB的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M，N，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)先由点的坐标求出线段OA，OB的长度，再分情况进行求解，即可解得C点的坐标为(﹣3，2)或(3，2)或(3，﹣2)；
(2)根据平行四边形的性质先求得M的横坐标，代入直线的解析式即可求得纵坐标．
【解答】解：(1)设C点的坐标为(x，y)，如图1，
∵以点O，A，B，C顶点的四边形是平行四边形，
①当BC＝AO时，
∵O(0，0)，B(3，0)，A(0，2)
∴AO＝2，
∴BC＝2，
∴C点坐标为C2(3，2)或C3(3，﹣2)
②BO＝AC时，
∵BO＝3，
∴AC＝3，
∴C点坐标为C1(﹣3，2)，
综上，第四个顶点C的坐标为(﹣3，2)或(3，2)或(3，﹣2)；
(2)存在，
如图2，过M1作CM1⊥y轴于C，过M1作M1E⊥x轴于E，
∵B的横坐标是3，
∴M1的横坐标是﹣3，代入直线y＝﹣2x+2得：
y＝﹣2×(﹣3)+2＝8，
∴M1(﹣3，8)，
过M2作DM2⊥y轴于D，
∵B的横坐标是3，
∴M2的横坐标是3，代入直线y＝﹣2x+2得：
y＝﹣2×3+2＝﹣4，
∴M2(3，﹣4)，
∴M点的坐标是：(﹣3，8)和(3，﹣4)．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论思想的运用是解题的关键．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A(﹣1，0)，B(4，0)，C(﹣2，﹣3)三点，与y轴相交于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上是否存在点P，使△BDP与△ABC相似，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
(3)若点E是题中抛物线对称轴l上的动点，点F是抛物线上的动点，则是否存在以B，D，E，F为顶点的平行四边形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】(1)将A(﹣1，0)，B(4，0)，C(﹣2，﹣3)三点坐标代入抛物线解析式即可得出结论；
(2)由三角函数正切值可得出∠ABC＝∠ABD，再去分两种情况讨论相似，由相似三角形的性质即可得出结论；
(3)设出E点坐标(32，n)，分BD为对角线以及BD为边讨论，由平行四边形的性质，用含n的代数式表示出F点坐标，代入抛物线解析式即可得出结论．
【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A(﹣1，0)，B(4，0)，C(﹣2，﹣3)三点，
∴有0=a−b+c0=16a+4b+c−3=4a−2b+c，解得a=−12b=32c=2．
故抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2．
(2)假设存在，且点P坐标为(m，0)，令BC与y轴交点为M．
抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2，令x＝0，则y＝2，
即点D坐标为(0，2)．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则有0=4k+b−3=−2k+b，解得k=12b=−2，
即直线BC的解析式为y=12x﹣2．
令x＝0，则y＝﹣2，
即点M(0，﹣2)．
∵tan∠ABC=OMOB=ODOB=tan∠ABD，
∴∠ABC＝∠ABD．
①当∠DPB＝∠CAB时，如图1，
∵△BPD∽△BAC，
∴BPBA=BDBC，
∵A(﹣1，0)，B(4，0)，C(﹣2，﹣3)，D(0，2)，P(m，0)，
∴BD＝25，BC＝35，BA＝5，BP＝4﹣m，
∴4−m5=2535，即3m＝2，解得m=23．
此时P点的坐标为(23，0)．
②当∠BAD＝∠BCA时，如图2，
∵△ABC∽△DBP，
∴BPBC=BDBA，
∴4−m35=255，即4﹣m＝6，解得m＝﹣2．
此时P点的坐标为(﹣2，0)．
综上知：在x轴上存在点P，使△BDP与△ABC相似，点P的坐标为(23，0)或(﹣2，0)．
(3)假设存在以B，D，E，F为顶点的平行四边形，有两种情况，一种BD为对角线，另一种BD为一条边．
抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2，对称轴为x=−322×(−12)=32．
设点E的坐标为(32，n)．
①当BD为对角线时，如图3，
∵四边形DEBF为平行四边形，所以EF和BD互相平分，令中点为Q．
∴Q点的坐标为(2，1)，
∴F点坐标为(52，2﹣n)．
∵点F在抛物线上，
∴2﹣n=−12×(52)2+32×52+2，
解得n=−58，
即E点坐标为(32，−58)．
②当BD为一条边时，如图4，此时点F在点E的左侧，
过E作EG∥x轴，过F作FG∥y轴，二者交于点G．
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴BD＝EF，且BD∥EF，
∵EG∥x轴，
∴∠DBO＝∠FEG．
在△BDO和△EFG中，有∠DBO=∠FEG∠BOD=∠EGFBD=EF，
∴△BDO≌△EFG(AAS)．
∴F点坐标为(−52，n+2)，
∴有n+2=−12×(−52)2+32×(−52)+2，解得n=−558，
即E点的坐标为(32，−558)．
由抛物线的对称性可知，还存在F点在E的右侧情况，
此时F点坐标为(112，n﹣2)，
∴有n﹣2=−12×(112)2+32×112+2，解得n=−238．
即E点的坐标为(32，−238)．
综合①②可得：存在以B，D，E，F为顶点的平行四边形，点E的坐标为(32，−58)、(32，−558)和(32，−238)．
【点评】本题考查了二次函数综合运用、全等三角形的判定以及性质和平行四边形的性质，解题的关键：(1)将已知点坐标代入解析式；(2)设出P点坐标，利用相似三角形的对应边之比等于相似比，找出含m的方程；(3)设出E点坐标，由平行四边形的性质可得出关于n的方程．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线W的解析式为y=−12x2﹣x+4，抛物线W与x轴交于A，B两点(点B在A的右侧)，与y轴交于点C，一次函数y＝kx+b的图象经过点B并且与y轴交于点D(0，3)，与抛物线的另一个交点为E．
(1)求B、C两点的坐标及一次函数的解析式；
(2)若P为抛物线的对称轴上一动点，当△BCP的周长最小时，求点P的坐标；
(3)若点M是直线BE上一动点，过．M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)由抛物线解析式可求得A、B、C的坐标，再利用待定系数法可求得一次函数的解析式；
(2)由A、B关于对称轴对称，则连接AC与对称轴的交点即为所求的点P，利用待定系数法可求得直线AC的解析式，则可求得P点坐标；
(3)由MN∥CD可知MN为平行四边形的边，设M(x，−12x2﹣x+4)，则可表示出N点坐标，从而可用t表示出MN，利用平行四边形的性质可得MN＝CD，可得到关于x的方程，可求得M点的坐标．
【解答】解：
(1)在y=−12x2﹣x+4中，令y＝0可得0=−12x2﹣x+4，解得x＝2或x＝﹣4，
令x＝0可得y＝4，
∴A(﹣4，0)，B(2，0)，C(0，4)，
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点B并且与y轴交于点D(0，3)，
∴2k+b=0b=3，解得k=−1.5b=3，
∴一次函数解析式为y＝﹣1.5x+3；
(2)∵y=−12x2﹣x+4=−12(x+1)2+3.5，
∴抛物线对称轴为x＝﹣1，
如图1，连接AC交对称轴于点P，
∵A、B关于对称轴对称，
∴PA＝PB，
∵A、P、C三点在一条线上，
∴BP+PC最小，
∴此时△PCB的周长最小，
∵A(﹣4，0)，C(0，4)，
∴直线AC解析式为y＝x+4，
当x＝﹣1时，y＝﹣1+4＝3，
∴P(﹣1，3)；
(3)∵点M是直线BE上一动点，
∴可设M(x，﹣1.5x+3)，
∵MN∥y轴交抛物线于点N，
∴N(x，−12x2﹣x+4)，
∴MN＝|﹣1.5x+3﹣(−12x2﹣x+4)|＝|0.5x2﹣0.5x﹣1|
∵C(0，4)，D(0，3)，
∴CD＝1，
∵MN∥CD，
∴当以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，则有MN＝CD，
∴|0.5x2﹣0.5x﹣1|＝1，即0.5x2﹣0.5x﹣1＝1或0.5x2﹣0.5x﹣1＝﹣1，
当0.5x2﹣0.5x﹣1＝1时，解得x=1±172，此时M点的坐标为(1+172，9+3174)或(1−172，9−3174)，
当0.5x2﹣0.5x﹣1＝﹣1时，解得x＝0(M与D重合，舍去)或x＝1，此时M点坐标为(1，1.5)，
综上可知存在满足条件的M点，坐标为(1+172，9−3174)或(1−172，9+3174)或(1，1.5)．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的应用、平行四这形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在(1)中注意函数图象与坐标轴交点的求法，在(2)中确定出P点的位置是解题的关键，在(3)中利用平行四边形的性质得到关于M点坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
4．如图所示的平面直角坐标系，在△ABC中，∠A＝60°，边AB在x轴上，AC交y轴于点E，AC、BC的长是关于x的方程x2﹣16x+64＝0的两个根，且OA：OB＝1：3．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线EB的解析式；
(3)在平面内是否存在点P，使得以E、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)解方程x2﹣16x+64＝0，可得到AC＝BC＝8，进而证得△ABC是等边三角形，得到AB＝8，再由OA：OB＝1：3，得到OA、OB的长，从而求得A、B的坐标即可求得C的坐标；
(2)应用待定系数法即可求得直线AC的解析式，从而求得E的坐标，然后再根据待定系数法即可求得；
(3)分别以E、B、C为顶点的三角形的三条边为对角线作出三个平行四边形，根据四边形的性质即可得到P的坐标．
【解答】解：(1)解方程x2﹣16x+64＝0得x1＝8，x2＝8，
∴AC＝BC＝8
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝8，
∵OA：OB＝1：3，
∴AO=14×8＝2，OB=34×8＝6，
∴C(2，43)；
(2)∵A(﹣2，0)，C(2，43)，
∴直线AC的解析式为y=3x+23，
∴E(0，23)，
∵B(6，0)，
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∴6k+b=0b=23解得k=−33b=23，
∴直线BE的解析式为y=−33x+23．
(3)存在．如图，
P点的坐标分别为：(﹣4，63)，(4，﹣23)，(8，23)．
【点评】本题考查了利用待定系数法求直线的解析式：设直线P为：y＝kx+b，然后把两个点的坐标代入确定k，b．也考查了一元二次方程的解和勾股定理以及平行四边形的性质．
5．如图，点A是反比例函数y1=2x(x＞0)图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数y2=kx(k＜0，x＜0)的图象于B点．若不论点A在何处，反比例函数y2=kx(k＜0，x＜0)图象上总存在一点D，使得四边形AOBD为平行四边形，求k的值．
【分析】假设y2=kx上有一点D，使四边形AOBD为平行四边形，过D作DE⊥AB，过A作AC⊥x轴，由四边形AOBD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，利用AAS得到三角形AOC与三角形DBE全等，利用全等三角形对应边相等得到BE＝OC，DE＝AC，设A(a，2a)(a＞0)，即OC＝a，AC=2a，得出D与B纵坐标，进而表示出D与B横坐标，两横坐标之差的绝对值即为BE的长，利用等式，即可求出k的值．
【解答】解：假设y2=kx上有一点D，使四边形AOBD为平行四边形，
过D作DE⊥AB，过A作AC⊥x轴，
∵四边形AOBD为平行四边形，
∴BD＝OA，BD∥OA，
∴∠DBA＝∠OAB＝∠AOC，
在△AOC和△DBE中，
∠DBE=∠AOC∠DEB=∠ACO=90°DB=AO，
∴△AOC≌△DBE(AAS)，
设A(a，2a)(a＞0)，即OC＝a，AC=2a，
∴BE＝OC＝a，DE＝AC=2a，
∴D纵坐标为4a，B纵坐标为2a，
∴D横坐标为ak4，B横坐标为ak2，
∴BE＝|ak4−ak2|＝a，即−ak4=a，
∴k＝﹣4．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，坐标与图形性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
6．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求三角形ACE面积的最大值；
(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】(1)因为抛物线与x轴相交，所以可令y＝0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；
(2)根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp﹣yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；
(3)此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标．
【解答】解：(1)令y＝0，解得x1＝﹣1或x2＝3，
∴A(﹣1，0)B(3，0)，
将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，
∴C(2，﹣3)，
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1；
(2)设P点的横坐标为x(﹣1≤x≤2)，
则P、E的坐标分别为：P(x，﹣x﹣1)，
E(x，x2﹣2x﹣3)，
∵P点在E点的上方，PE＝(﹣x﹣1)﹣(x2﹣2x﹣3)＝﹣x2+x+2＝﹣(x−12)2+94，
∴当x=12时，PE的最大值=94，
则△ACE的面积的最大值是：12×【2﹣(﹣1)】×94=278；
(3)存在4个这样的点F，分别是F1(1，0)，F2(﹣3，0)，F3(4+7，0)，F4(4−7，0)，
①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF＝CG＝2，因此F点的坐标是(﹣3，0)；
②如图，AF＝CG＝2，A点的坐标为(﹣1，0)，因此F点的坐标为(1，0)；
③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+7，3)，由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y＝﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y＝﹣x+4+7，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+7，0)；
④如图，同③可求出F的坐标为(4−7，0)．
总之，符合条件的F点共有4个．
【点评】本题是二次函数和一次函数以及平行四边形个的判定的综合应用，重点考查了数形结合以及分类讨论的思想方法．
7．如图，已知抛物线E：y＝x2﹣4的图象与直线l：y＝﹣2交于A、C两点，B为抛物线y＝x2﹣4的顶点，抛物线F与E关于x轴对称．
(1)求抛物线F的关系式；
(2)x轴下方的F上是否存在一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)将抛物线E的关系式改为y＝ax2+c(a＞0，c≠0)，直线l的关系式改为y=−c2，试探索问题(2)．
【分析】(1)利用关于x轴对称的两点横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可；
(2)先由抛物线E的解析式为y＝x2﹣4，求出A，C，B三点的坐标，得到AC＝22，再根据平行四边形的性质，得出当D点在x轴下方时，D点坐标为(﹣22，﹣4)或(22，﹣4)，再把这两个点代入抛物线F的解析式中，发现这两个点满足F的解析式，从而得出所求点D的坐标；
(3)把E的解析式系数用a代替，借助参数a来求证这两个点．方法跟前面一样．
【解答】解：(1)∵抛物线F与E关于x轴对称，抛物线E的解析式为y＝x2﹣4，
∴抛物线F的解析式为﹣y＝x2﹣4，即y＝﹣x2+4；
(2)存在点D，而且还是两个．
将y＝﹣2代入y＝x2﹣4，得x2﹣4＝﹣2，
解得x＝±2，
所以A点坐标为(−2，﹣2)，C点坐标为(2，﹣2)，
抛物线y＝x2﹣4的顶点B的坐标为(0，﹣4)，
所以AC＝22，
所以在x轴下方，当D点坐标为(﹣22，﹣4)或(22，﹣4)时，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
将(﹣22，﹣4)代入抛物线F的解析式y＝﹣x2+4，得左边＝﹣4，右边＝﹣(﹣22)2+4＝﹣4，左边＝右边，点(﹣22，﹣4)在抛物线F上，
同理，将(22，﹣4)代入抛物线F的解析式y＝﹣x2+4，得左边＝﹣4，右边＝﹣(22)2+4＝﹣4，左边＝右边，点(22，﹣4)在抛物线F上．
综上所述，所求点D的坐标为(﹣22，﹣4)或(22，﹣4)；
(3)不存在点D，理由如下：
如图，将y=−c2代入y＝ax2+c，得ax2+c=−c2，
整理，得x2=−3c2a，
∵a＞0，c≠0，
∴c＞0时原方程无解，点D不存在；
c＜0时，解得x＝±−6ac2a，此时A点坐标为(−−6ac2a，−c2)，C点坐标为(−6ac2a，−c2)，A，C两点均在x轴上方．
抛物线E：y＝ax2+c的顶点B的坐标为(0，c)，B在x轴下方，抛物线F的解析式为y＝﹣ax2﹣c．
∵AC=−6aca，
∴在x轴下方，当D点坐标为(−−6aca，c)或(−6aca，c)时，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
将(−−6aca，c)代入抛物线F的解析式y＝﹣ax2﹣c，得左边＝c，右边＝﹣a(−−6aca)2﹣c＝5c，左边≠右边，点(−−6aca，c)不在抛物线F上，
同理，将(−6aca，c)代入抛物线F的解析式y＝﹣ax2﹣c，得左边＝c，右边＝﹣a(−6aca)2﹣c＝5c，左边≠右边，点(−6aca，c)不在抛物线F上．
综上所述，所求点D的坐标不存在．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合是解题的关键．
8．如图，已知二次函数y＝(x+2)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点A、B的坐标；
(2)求S△AOB；
(3)求对称轴方程；
(4)在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？
【分析】(1)根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值；
(2)根据三角形的面积公式，可得答案；
(3)根据y＝(x+2)2，可得函数图象的对称轴；
(4)分类讨论：P点在顶点的上方，P点在顶点的下方，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边，可得答案．
【解答】解：(1)当x＝0时，y＝22＝4，即B点坐标是 (0，4)，
当y＝0时，(x+2)2＝0，解得x＝﹣2，即A点坐标是(﹣2，0)；
(2)如图，连接AB，
S△AOB=12|AO|•|BO|=12×|﹣2|×|4|＝4；
(3)y＝(x+2)2的对称轴是x＝﹣2；
(4)对称轴上存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
当P点坐标是(﹣2，4)时，AP∥OB，AP＝OB，四边形PAOB是平行四边形；
当P点坐标是(﹣2，﹣4)时，AP∥OB，AP＝0B，四边形PABO是平行四边形．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用了自变量与函数值的关系，平行四边形的判定，分类讨论是解题关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，且OA和OC的长分别是方程x2+bx+c＝0的两个根
(1)求b，c的值
(2)过点B作另一条直线交x轴于点D，使BD平分∠ABC，求直线BD的解析式；
(3)在直线BD上是否存在一点M，过点M作MN∥BC交y轴于点N，使以M，N，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)根据自变量与函数的对应关系，可得A、B点坐标，根据互相垂直的两直线中一次项系数的乘积为﹣1，可得BC的解析式，根据函数值为零，可得C点坐标，根据根与系数的关系，可得答案；
(2)根据角平分线分对边所得的线段与三角形的另外两边成比例，可得D点坐标，根据待定系数法，可得答案；
(3)分类讨论：①M1N1CB是平行四边形，根据平行线的一次项系数相等，可得CN的解析式，MN的解析式，根据M点的坐标满足MN的解析式，可得M点的坐标；②当M2N2BC是平行四边形，根据MB∥y轴，可得M点的横坐标，把M点的横坐标代入BD的解析式，可得答案．
【解答】解：(1)当y＝0时，12x+6＝0，解得x＝﹣12，即A(﹣12，0)，
当x＝0时，y＝6，即B(0，6)．
过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，得
BC的解析式为y＝﹣2x+6，
当y＝0时，﹣2x+6＝0，解得x＝3，即C(3，0)，
OA的长为12，OB的长为3．
OA和OC的长分别是方程x2+bx+c＝0的两个根，得
﹣b＝12+3，b＝﹣15，c＝12×3＝36，
b＝﹣15，c＝36；
(2)设D(a，0)，由线段的和差，得
AD＝(a+12)，BD＝(3﹣a)，
由勾股定理，得
AB=(−12)2+62=65，BC=62+32=35，
由BD平分∠ABC，得
ADBD=ACBC，即a+123−a=6535=2，
解得a＝2，即D(﹣2，0)，
设BD的解析式为y＝kx+b，
将B、D点坐标代入解析式，得
b=6−2k+b=0，
解得k=3b=6，
BD的解析式为y＝3x+6；
(3)设M(a，3a+6)，如图1：
①当M1N1CB是平行四边形时，N1C∥BD，M1N1∥BC，设CN1的解析式为y＝3x+b，
将C(3，0)代入函数解析式，得3×3+b＝0，解得b＝﹣9，即N1(0，﹣9)，
M1N1的解析式为y＝﹣2x﹣9，将M(a，3a+6)代入函数解析式，得
﹣2a﹣9＝3a+6，
解得a＝﹣3，3a+6＝﹣3，即M1(﹣3，﹣3)；
如图2：
②当M2N2BC是平行四边形时，M2C∥y轴，
M2的横坐标与C点的横坐标相等，
把x＝3代入BD的解析式，得y＝3×3+6＝15，
即M2(3，15)．
综上所述：在直线BD上存在一点M，过点M作MN∥BC交y轴于点N，使以M，N，B，C为顶点的四边形是平行四边形，M1(﹣3，﹣3)，M2(3，15)．
【点评】本题考查了一次函数综合题，利用了函数与自变量的对应关系，得出A、B、C的坐标，利用了根与系数的关系，角平分线的性质，平行线的性质：平行线的一次项的系数相等，运用知识点较多，综合性较强，题目有一定难度．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=−12x2+32x+2的图象与x轴交于点A，B(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C．若点N是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点M，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？
【分析】求出求出A、B、C三点坐标，画出图形即可解决问题．
【解答】解：存在．理由如下，
对于抛物线y=−12x2+32x+2，令y＝0得−12x2+32x+2＝0，解得x＝﹣1或4；令x＝0，得y＝2，
∴B(﹣1.0)，A(4，0)，C(0，2)．对称轴x=32．
如图所示，
①当以AC为边时，易知点M的横坐标为112或−52，此时M1(112，−398)，M2(−52，−398)．
②当以AC为对角线时，易知点M的横坐标为52，此时M3(52，218)，
综上所述，当点M的坐标为(112，−398)或(−52，−398)或(52，218)时，存在以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查二次函数的应用、平行四边形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
11．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1，0)，直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，与对称轴交于D(m，2)，其中B点在y轴上
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P点作x轴的垂线与这个一次函数的图象交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)若点P为直线AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P点作x轴的垂线与这个二次函数的图象仍交于E点，在直线AB上是否存在一点P，使得以D，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)把D(m，2)代入y＝x+m，得到2＝m+m，得m＝1，所以直线解析式为y＝x+1，得点B坐标(0，1)，因为二次函数图象的顶点坐标为C(1，0)，所以可以假设二次函数解析式为y＝a(x﹣1)2，把B(0，1)代入即可解决问题．
(2)PE的长实际是直线AB的解析式与抛物线的差．由此可得出h，x的函数关系式，自变量的取值范围由图象即可解决．
(3)先求出D点的坐标和CD的长，由于四边形PDCE是平行四边形，因此CD＝PE，将CD的长代入(2)的函数关系式中，可得出一个关于x的方程，如果方程无解，则说明不存在这样的P点，如果有解，那么求出的x就是P的横坐标，进而可根据直线AB的解析式求出P点的坐标．
【解答】解：(1)把D(m，2)代入y＝x+m，得到2＝m+m，
∴m＝1，
∴直线解析式为y＝x+1，
∴点B坐标(0，1)，
∵二次函数图象的顶点坐标为C(1，0)，
∴可以假设二次函数解析式为y＝a(x﹣1)2，把B(0，1)代入得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝(x﹣1)2
即y＝x2﹣2x+1；
(2)由y=x+1y=x2−2x+1解得x=0y=1或x=3y=4，
∴点A坐标(3，4)．
h＝(x+1)﹣(x2﹣2x+1)＝﹣x2+3x(0＜x＜3)；
(3)要使四边形DCEP是平行四边形，必须有PE＝DC，
∵y＝x+1经过点D，
∴D(1，2)，
∴|﹣x2+3x|＝2，
∴x2﹣3x+2＝0或﹣x2+3x＝﹣2，
解得x＝2或x＝1或3±172，
∵当x＝1时，y＝2，
∴P(1，2)与D点重合，故舍去，
∴当点P的坐标为(2，3)或(3+172，5+172)或(3−172，5−172)时，四边形DCEP是平行四边形；
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为(1，3)，A、B两点关于直线y＝x对称，反比例函数y=kx(x＞0)图象经过点A，点P是直线y＝x上一动点．
(1)B点的坐标为 (3，1) ；
(2)若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点Q是线段OP上一点(Q不与O、P重合)，当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE+QF+QB的值最小时，求出Q点坐标．
【分析】(1)根据点(a，b)关于y＝x对称的点的坐标为(b，a)直接写出答案即可；
(2)首先求得反比例函数的解析式，然后设P(m，m)，分若PC为平行四边形的边和若PC为平行四边形的对角线两种情况分类讨论即可确定点C的坐标；
(3)连接AQ，设AB与PO的交点为D，利用四边形AOBP是菱形，得到S△AOP＝S△AOQ+S△APQ，从而得到12PO•AD=12AO⋅QE+12AP⋅QF，确定QE+QF=PO⋅ADAO为定值，从而求解．
【解答】解：(1)B点的坐标为(3，1)；
(2)∵反比例函数y=kx(x＞0)图象经过点A(1，3)，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y=3x，
∵点P在直线y＝x上，
∴设P(m，m)
①若PC为平行四边形的边，
∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2，
∴点C在点P的下方，则点C的坐标为(m+2，m﹣2)如图1，
若点C在点P的上方，则点C的坐标为(m﹣2，m+2)如图2，
把C(m+2，m﹣2)代入反比例函数的解析式得：m＝±7，
∵m＞0，
∴m=7，＞
∴C1(7+2，7−2)，
同理可得另一点C2(7−2，7+2)；
②若PC为平行四边形的对角线，如图3，
∵A、B关于y＝x对称，
∴OP⊥AB
此时点C在直线y＝x上，且为直线y＝x与双曲线y=3x的交点，
由y=xy=3x
解得x1=3y1=3，x2=−3y2=−3(舍去)
∴C3(3，3)
综上所述，满足条件的点C有三个，坐标分别为：C1(7+2，7−2)，C2(7−2，7+2)，C3(3，3)；
(3)连接AQ，设AB与PO的交点为D，如图4，
∵四边形AOBP是菱形，
∴AO＝AP
∵S△AOP＝S△AOQ+S△APQ，
∴12PO•AD=12AO⋅QE+12AP⋅QF
∴QE+QF=PO⋅ADAO为定值，
∴要使QE+QF+QB的值最小，只需QB的值最小，当QB⊥PO时，QB最小，
所以D点即为所求的点，
∵A(1，3)，B(3，1)
∴D(2，2)，
∴当QE+QF+QB的值最小时，Q点坐标为(2，2)．
【点评】本题考查了反比例函数的综合知识，本题中涉及了分类讨论的数学思想，难度较大，这也是中考的热点题型之一．