数学第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列导学案

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知识精讲
知识点
1. 随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2．离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z.
【微点拨】离散型随机变量的特征：
(1)可以用数值表示；
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；
(3)试验结果能一一列出．
3. 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
【性质】pi≥0(i＝1，2，…，n)；②eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))pi＝1．
【微点拨】分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
4. 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，eq \x\t(A)表示“失败”，定义X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，A发生，,0，\x\t(A)发生.))如果P(A)＝p，则P(eq \x\t(A))＝1－p，那么X的分布列如表所示．
我们称X服从两点分布或0－1分布．
【微点拨】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是．
【即学即练1】给出下列各量：
①某机场候机室中一天的游客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某同学离开自己学校的距离；
④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；
⑤体积为8的正方体的棱长.
其中是离散型随机变量的是（ ）
A．①②④B．①②③C．③④⑤D．②③④
【答案】A
【解析】
【分析】由离散型随机变量的概念逐个判断即可得解.
【详解】由题意，①②④是离散型随机变量，③是连续型随机变量，
⑤中体积为8的正方体的棱长是一个常量，不是随机变量.
故选：A.
【即学即练2】在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，即可得到得分的可能取值；
【详解】可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，分，分，因此甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值有4个．
故选：B
【即学即练3】已知4支钢笔的单价分别为10元、20元、30元、40元．从中任取2支，若以表示取到的钢笔的较高单价（单位：元），则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】任取2支钢笔的单价（单位：元）的所有可能情况为，，，，，，即可得到答案；
【详解】表示取出的2支钢笔为10元和20元，余类推，则任取2支钢笔的单价（单位：元）的所有可能情况为，，，，，，故取到的钢笔的较高单价为20元、30元、40元，即的取值范围为．故选：D
【即学即练4】若随机变量X的分布列为
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是（ ）A．(－∞，2]B．[1，2]
C．(1，2]D．(1，2)
【答案】C
【解析】
【分析】根据分布列可得P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，即可确定m的取值范围.
【详解】由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]．故选：C
【即学即练5】如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为（ ）
A．X取每一个可能值的概率是正数
B．X取所有可能值的概率和为1
C．X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和
D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
【答案】BC
【解析】
【分析】根据离散型随机变量的知识判断出正确选项.
【详解】对于A选项，X取每一个可能值的概率是非负数，故A选项错误.
对于B选项，X取所有可能值的概率和为1，故B选项正确.
对于C选项，X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和，故C选项正确.
对于D选项，X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D选项错误.
故选：BC
【点睛】本小题主要考查离散型随机变量的有关知识的判断，属于基础题.
【即学即练6】判断下列变量是否是随机变量，若是，是否为离散型随机变量.
（1）某市医院明天接到120急救电话的次数ξ；
（2）公交车司机下周一收取的费用ξ；
（3）某单位下个月的用水量ξ；
（4）某家庭上个月的电话费ξ.
【答案】（1）是随机变量，是离散型随机变量；
（2）是随机变量，是离散型随机变量；
（3）是随机变量，不是离散型随机变量；
（4）不是随机变量.
【解析】
【分析】根据离散型随机变量的定义依次判断即可．
【详解】（1）ξ的取值，随各种原因的变化而变化，可能为0，1，2，…，是随机变量，也是离散型随机变量；
（2）ξ的取值随乘客的数量变化而变化，是随机变量，也是离散型随机变量.
（3）ξ的取值，随各种原因的变化而变化，可能取[0，＋∞)内某一区间上的所有值，无法一一列出，是随机变量，但不是离散型随机变量.
（4）ξ的取值是一个定值，故不是随机变量.
【即学即练7】篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.85，求他一次罚球得分的分布列.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】由两点分布的特征求解.
【详解】由题意，结合两点分布的特征可知，所求分布列为:
【即学即练8】若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据概率之和为1可求出.
【详解】
由题意及分布列满足的条件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，
所以，故.
所以ξ的分布列为
能力拓展
考法01
随机变量及离散型随机变量
【典例1】下列X是离散型随机变量的是（ ）
①某座大桥一天经过的车辆数X；
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；
③一天之内的温度X；
④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.
A．①②③④B．①②④
C．①③④D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据离散型随机变量的定义逐一判断即可.
【详解】①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一个范围.不能一一列举出来，故选：B.
【典例2】一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为（ ）
A．所取球的个数 B．其中含红球的个数
C．所取白球与红球的总数 D．袋中球的总数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据离散型随机变量的定义逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.
【详解】
对于A：所取球的个数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项A不正确；
对于B：从中任取2个其中含红球的个数为是随机变量，故选项B正确；
对于C：所取白球与红球的总数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项C不正确；
对于D：袋中球的总数为7个，是定值，故不是随机变量，故选项D不正确；
故选：B.
【典例3】将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ ）
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机变量为一个变量判断.
【详解】因为随机变量为一个变量，
而A中两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数，
所以不能作为随机变量，故选A.
【典例4】(多选)下面是离散型随机变量的是（ ）
A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X
B．某人射击2次，击中目标的环数之和记为X
C．测量一批电阻，在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X
D．一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X
【答案】AB
【解析】
【分析】AB中的值是整数值，是可以列举的，是离散型随机变量，CD中的值是连续的实数值，是不能一一列举的，是连续型随机变量.
【详解】根据离散型随机变量的定义知，A，B是离散型随机变量．
故选：AB.
【点睛】本题考查离散型随机变量的概念：它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个.
【典例5】写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
在含有8件次品的50件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数是随机变量．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】由题设知的可能值为，结合题设描述写出对应值所表示的含义即可.
【详解】随机变量可能的取值为0，1，2，3，4．
表示“抽取0件次品”；
表示“抽取1件次品”；
表示“抽取2件次品”；
表示“抽取3件次品”；
表示“抽取的全是次品”．
考法02
离散型随机变量的分布列
【典例6】下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】利用及概率和为1，检验各个选项即可得到结果.
【详解】对于ABD，满足，且概率和为0，符合；
对于C，不符合，也不符合，所以C项不是随机变量的分布列．故选：C
【典例7】设离散型随机变量的分布列为
求：（1）的分布列；
（2）求的值.
【答案】（1）见解析；（2）0.7
【解析】
【分析】
根据概率和为列方程，求得的值.
（1）根据分布列的知识，求得对应的分布列.
（2）利用求得的值.
【详解】由分布列的性质知：，解得
（1）由题意可知
，，
，
所以的分布列为：
（2）
【点睛】本小题主要考查分布列的计算，属于基础题.
【典例8】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
（1）求当天商店不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求解即可；
（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求出概率，即可求解
【详解】
（1）记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，
则；
（2）由题意知，X的可能取值为2，3.
P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)
＝，
故X的分布列为：
考法03
离散型随机变量的分布列的性质
【典例9】已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A．B．
C．[－3，3]D．[0，1]
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质和分布列的性质可求解.
【详解】
解：由题意得：
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得
(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故，
由，解得.
所以公差的取值范围是.故选：B
【典例10】设是离散型随机变量，则下列不一定能成为的概率分布列的一组概率的是（ ）
A．0.1，0.2，0.2，0.3，0.3 B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．，（为实数） D．，，，，（，）
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分布列的性质判断.
【详解】对于A，概率和不为1，一定不符合；
显然B满足，故一定符合；
对于D，有，
又且，，所以它满足分布列的性质，
对于C，由于为实数，不妨取，显然，不满足概率的非负性，
而当时，满足分布列的性质，所以C不一定符合，
故选：C．
【典例11】已知随机变量X的概率分布为，则实数______．
【答案】
【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.
【解析】依题意，，
由分布列的性质得，解得，
所以实数.故答案为：
考法04
两点分布
【典例12】下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两点分布的概念结合题意即可求解.
【详解】
对于选项A，抛掷一枚骰子，所得点数的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A中的随机变量不服从两点分布；
对于选项B，射击手射击一次，有击中或者不击中目标两种可能的结果，B中的随机变量服从两点分布；
对于选项C，袋中只有红球和白球，取出1个球，可能取到红球或者白球，C中的随机变量服从两点分布；
对于选项D，医生做一次手术，手术可能成功，也可能失败，D中的随机变量服从两点分布.
故选A.
【典例13】下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球､3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由两点分布的定义依次判断，即得解
【详解】
由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，
而抛掷一枚骰子，所得点数的取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布.
故选:BCD
【典例14】若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.
【答案】0.8
【解析】
【分析】
由Y＝－2，根据Y＝3X－2，求得X＝0，即可求解.
【详解】由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，∴P(Y＝－2)＝0.8.故答案为：0.8
【典例15】某运动员命中10环的概率为0.9，求一次射击中命中10环的次数的分布列．
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】
由题意可知射击一次命中10环的次数X可能取0或1，然后由题意求出对应的概率，从而可列出其分布列
【详解】
解：设射击一次命中10环的次数为X，则P(X＝1)＝0.9，P(X＝0)＝1－0.9＝0.1，
故其分布列为
分层提分
题组A 基础过关练
1．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（ ）
A．6B．5C．4D．2
【答案】B
【解析】
【分析】根据逐次试验可得正确的选项.
【详解】由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，
故选：B.
2. 随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为（ ）
A．B．C．110D．55
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机变量的概率和为1,列出方程即可求解
【详解】∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，
且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，
∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，
∴55a＝1，∴a＝ ，故选：B.
3. 抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为（ ）
A．0≤X≤5，X∈NB．－5≤X≤0，X∈Z
C．1≤X≤6，X∈ND．－5≤X≤5，X∈Z
【答案】D
【解析】
【分析】根据第一枚的最小值和第二枚的最大值的差求得的最小值，根据第一枚的最大值和第二枚的最小值的差求得的最大值，从而得出正确选项.
【详解】第一枚的最小值为，第二枚的最大值为，差为
第一枚的最大值为，第二枚的最小值为，差为，故的取值范围是，故选：D.
4. 若实数x∈R，记随机变量ξ＝，则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为（ ）
A．1 B．0 C．－1 D．1或0
【答案】A
【分析】先解不等式≥1，再根据随机变量ξ求解.
【解析】不等式≥1，可化为不等式，即，
解得0