高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列课堂检测

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[教材要点]
要点一 随机变量与离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
可能取值为________或可以________的随机变量，我们称为离散型随机变量．用大写英文字母X，Y，Z等表示随机变量，用小写英文字母x，y，z等表示随机变量的取值．
eq \a\vs4\al(状元随笔) (1)随机变量可将随机试验的结果数量化，如设随机变量X表示骰子掷出的点数，则X＝1，2，3，4，5，6，或者说X的取值范围是{1，2，3，4，5，6}．有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但也可以用数来表示．如掷一枚硬币，X＝0表示正面向上，X＝1表示反面向上．
(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量的不同取值对应着试验的不同结果，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数，这些数是预先知道的可能值，但不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．
(3)随机变量与函数既有联系又有区别，联系：它们都是一种映射，都是将一个对象映射为实数，区别：随机变量是把随机试验的结果映为实数，而函数则是把实数映为实数．
要点二 离散型随机变量的分布列
(1)分布列的定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率
P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n
为X的概率分布列，简称分布列，以表格的形式表示如下：
eq \a\vs4\al(状元随笔) 1.离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．
2.离散型随机变量的分布列类似于函数，也有三种表示形式，即解析式、表格和图象，但离散型随机变量的分布列多是用表格或解析式表示．
(2)离散型分布列的性质：
①pi≥________，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝________．
eq \a\vs4\al(状元随笔) 1.由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2.分布列的性质②可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
要点三 两点分布
随机变量X的分布列是：
我们称X服从________分布或________分布．
eq \a\vs4\al(状元随笔) 两点分布的试验结果只有两个可能，且其概率之和为1.
[基础自测]
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )
(2)在离散型随机变量的分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )
(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( )
(4)在离散型随机变量的分布列中，所有概率之和为1.( )
2.(多选题)下列变量中，是离散型随机变量的是( )
A．掷5次硬币正面向上的次数M
B．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T
C．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y
D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X
3.下列表中能成为随机变量X的分布列的是( )
A．
B．
C．
D．
4.已知离散型随机变量X的概率分布列如下：
则常数a的值为________．
题型一 随机变量、离散型随机变量的判断——自主完成
1.(多选题)以下选项中说法正确，且所描述对象是离散型随机变量的是( )
A．某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X是一个随机变量
B．如果以测量仪的最小单位计数，测量的舍入误差X是一个随机变量
C．一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置X是一个随机变量
D．某人射击一次中靶的环数X是一个随机变量
2.写出下列随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；
(2)抛掷两枚骰子各一次，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值Y.
方法归纳
1.判断一个随机变量是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有可能取值是否可以一一列出，具体方法如下：
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量；若不能一一列出，则该随机变量不是离散型随机变量．
2.明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
题型二 离散型随机变量的分布列——微点探究
微点1 两点分布
例1 一个盒子中装有5个黄色玻璃球和4个红色玻璃球，从中摸出两球，记X＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0 两球全红，,1 两球非全红，)) 求X的分布列．
方法归纳
两点分布的两个特点：
(1)两点分布只有两个结果，且是对应的．
(2)P(X＝0)＝1－P(X＝1).
微点2 根据古典概型求分布列
例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的最大点数X的分布列．
微点3 根据排列组合求分布列
例3 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率．
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．
方法归纳
求离散型随机变量的分布列的一般步骤：
(1)确定随机变量的所有可能取值以及每个取值所表示的意义；
(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值时的概率；
(3)按规范形式写出分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验，即检验分布列的概率和是不是
1.跟踪训练1 一个袋子中有5个大小相同的玻璃球，其编号分别为1，2，3，4，5，从中任取两个球，试构造两点分布的模型，求取出的两个球的最大编号大于3的概率，并列出两点分布列．
题型三 离散型随机变量的分布列的性质及其应用——微点探究
微点1 根据分布列求参数的值
例4 已知随机变量X的分布列如下：
□为丢失的数据，则丢失的数据分别为( )
A．2，0 B．2，5
C．3，0 D．3，5
微点2 根据分布列求概率
例5 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ai(i＝1，2，3，4)，求：
(1)P({X＝1}∪{x＝3})；
(2)P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)方法归纳
1.利用分布列的性质检验分布列的正确性：利用性质1和性质2都可以检验分布列的正确性．例如各个概率值都小于或等于1；所有的概率之和必须等于1.
2.因为离散型随机变量在某一范围内的取值，包含有n个随机变量，而它们所对应的事件互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．
跟踪训练2 (1)若随机变量X的分布列为
则当P(XA．(－∞，0] B．[0，1]
C．(0，1] D．(1，2]
(2)某一射手射击所得的环数X的分布列如下：
则此射手“射击一次命中环数≥7”的概率为________．
易错辨析 对离散型随机变量分布列的性质认识
不够致错
例6 设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则常数a的值为( )
A． eq \f(1,3) B．1
C． eq \f(1,3) 或1 D．－ eq \f(1,3) 或－1
解析：由离散型随机变量分布列的性质可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6a2－a＋3－7a＝1，,0≤6a2－a≤1，,0≤3－7a≤1，)) 解得a＝ eq \f(1,3) .故选A.
答案：A
【易错警示】
易错原因
本题易由离散型随机变量分布列的性质得6a2－a＋3－7a＝1，解得a＝ eq \f(1,3) 或a＝1，从而错选C.产生此种错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列满足概率和为1，忽略了0≤pi≤1(i＝1，2).
纠错心得
牢记离散型随机变量分布列的两条性质是解题的关键．
eq \x(温馨提示：请完成课时作业（八）)
7．2 离散型随机变量及其分布列
新知初探·课前预习
要点一
唯一 有限个 一一列举
要点二
0 1
要点三
两点 0－1
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：选项A，C，D均能一一列出，而B不能一一列出，故选ACD.
答案：ACD
3．解析：选项A，D不满足分布列的基本性质p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1，选项B不满足分布列的基本性质pi≥0.故选C.
答案：C
4．解析：由分布列的性质可得 eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,6) ＋a＋ eq \f(1,4) ＝1，解得a＝ eq \f(1,4) .
答案： eq \f(1,4)
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：A，B，C，D中所描述的对象都是随机变量．根据离散型随机变量的定义可知，A，D中的X的所有可能取值可以一一列举出来，因此是离散型随机变量，而B，C中的X可以取某一区间内的一切值，不能一一列举出来，因此不是离散型随机变量．故选AD.
答案：AD
2．解析：(1)X的所有可能取值为0，1，2.
{X＝0}表示所取的3个球是3个黑球；
{X＝1}表示所取的3个球是1个白球，2个黑球；
{X＝2}表示所取的3个球是2个白球，1个黑球．
(2)Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.用(a，b)表示一个基本事件，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为第二枚骰子掷出的点数．
{Y＝0}表示掷出的两枚骰子的点数相同，其包含的基本事件有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).
{Y＝1}表示掷出的两枚骰子的点数相差1，其包含的基本事件有(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，(4，5)，(5，4)，(5，6)，(6，5)．
{Y＝2}表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的基本事件有(1，3)，(3，1)，(2，4)，(4，2)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4).
{Y＝3}表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的基本事件有(1，4)，(4，1)，(2，5)，(5，2)，(3，6)，(6，3).
{Y＝4}表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的基本事件有(1，5)，(5，1)，(2，6)，(6，2).
{Y＝5}表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的基本事件有(1，6)，(6，1).
题型二
例1 解析：因为X服从两点分布，
所以P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(9)) ) ＝ eq \f(1,6) ，
P(X＝1)＝1－ eq \f(1,6) ＝ eq \f(5,6) .
所以X的分布列为
例2 解析：同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，X的可能取值为1，2，3，4，5，6，如下表：
由古典概型可知X的分布列为
例3 解析：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝10(种)情况．
(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，P(A)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,10) ＝ eq \f(3,5) .即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为 eq \f(3,5) .
(2)X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,10) ＝ eq \f(1,10) ，P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,10) ＝ eq \f(3,5) ，P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,10) ＝ eq \f(3,10) .故X的分布列为：
跟踪训练1 解析：设取出两球的较大编号是否大于3用X表示，
令X＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0（取出的两个球的最大编号不大于3），,1（取出的两个球的最大编号大于3）.)) 事实上，X服从两点分布．
从5个大小相同的玻璃球中任取两个球的不同结果有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝10种，其中，最大的编号为2的概率为 eq \f(1,10) ，最大的编号为3的概率为 eq \f(2,10) .
∴P(X＝0)＝ eq \f(1,10) ＋ eq \f(2,10) ＝ eq \f(3,10) ，
∴取出的两个球的最大编号大于3的概率P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝ eq \f(7,10) .
∴两点分布列为
题型三
例4 解析：由离散型随机变量分布列的性质，得0.10＋0.□0＋0.15＋0.4□＝1，即0.□0＋0.4□＝0.75，比较十分位和百分位的数字可知，
0．4□的□为5，0.□0的□为3.故选D.
答案：D
例5 解析：题目中所给的X的分布列为
由离散型随机变量的分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＝1，解得a＝ eq \f(1,10) .
(1)P({X＝1}∪{X＝3})＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝ eq \f(1,10) ＋ eq \f(3,10) ＝ eq \f(2,5) .
(2)P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)跟踪训练2 解析：(1)由随机变量X的分布列，可得P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X≤0)＝0.5，P(X<1)＝0.5，则当P(X(2)根据射手射击所得的环数X的分布列，有P(X＝7)＝0.09，P(X＝8)＝0.28，P(X＝9)＝0.29，P(X＝10)＝0.22.
所求的概率为P(X≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
答案：(1)C (2)0.88
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
0
1
P
1－p
p
X
－1
0
4
P
0.1
0.3
0.5
X
2 017
2 018
2 019
P
0.4
0.7
－0.1
X
2 017
2 018
2 019
P
0.3
0.4
0.3
X
1
－2
3
P
0.3
0.4
0.5
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
a
eq \f(1,4)
X
0
1
2
3
P
0.10
0.□0
0.15
0.4□
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
X
0
1
P
6a2－a
3－7a
X
1
0
P
eq \f(5,6)
eq \f(1,6)
X
出现的点数
情况数
1
(1，1)
1
2
(2，2)，(2，1)，(1，2)
3
3
(3，3)，(3，2)，(3，1)，(2，3)，(1，3)
5
4
(4，4)，(4，3)，(4，2)，(4，1)，(3，4)，(2，4)，(1，4)
7
5
(5，5)，(5，4)，(5，3)，(5，2)，(5，1)，(4，5)，(3，5)，(2，5)，(1，5)
9
6
(6，6)，(6，5)，(6，4)，(6，3)，(6，2)，(6，1)，(5，6)，(4，6)，(3，6)，(2，6)，(1，6)
11
X
1
2
3
4
5
6
P
eq \f(1,36)
eq \f(1,12)
eq \f(5,36)
eq \f(7,36)
eq \f(1,4)
eq \f(11,36)
X
0
1
2
P
eq \f(1,10)
eq \f(3,5)
eq \f(3,10)
X
0
1
P
eq \f(3,10)
eq \f(7,10)
X
1
2
3
4
P
a
2a
3a
4a