【导数大题】题型刷题突破 第13讲 双变量不等式：主元法

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2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第13讲 双变量不等式:主元法
参考答案与试题解析
一．解答题（共9小题）
1．（2021春•哈密市校级月考）已知函数．
（1）求函数的单调区间和最小值；
（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；
（3）若，求证：（b）．
【解答】解：（1） （1分）
令得：，
，；
令得：；（2分）
在，上为增函数；在，上为减函数．（4分）
（2）由（1）知：当时，有（b），（6分）
，即：，．（8分）
（3）将（a）（b）变形为：
（a）（b）（7分）
即只证：（a）
设函数（8分）
，
令，得：．
在，上单调递增；在，上单调递减；
的最小值为：，即总有：．（12分）
，即：，（13分）令，，则
（a）（b），
（a）（b）成立．（14分）
2．（2021秋•广东月考）已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，．
（Ⅰ）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为，
其导数为．
由或，
设，，
当时，；当时，．
即在区间上递增，在区间上递减，
，
又当时，，当时，且恒成立．
当或时，方程无根，函数只有一个极值点．
当时，方程的根也为，此时的因式恒成立，
故函数只有一个极值点．
当时，方程有两个根、且，，
函数在区间单调递减；，单调递增；单调递减；，单调递增，此时函数有、1、三个极值点．
综上所述，当或时，函数只有一个极值点．
（Ⅱ）依题意得，令，则对，都有成立．
，当时，函数在上单调递增，
注意到，若，，有成立，这与恒成立矛盾；
当时，因为在上为减函数，且，
函数在区间上单调递增，在上单调递减，
，
若对，都有成立，则只需成立，
，
当时，则的最小值，
，
函数在上递增，在上递减，
，即的最小值的最大值为；
综上所述，的最小值的最大值为．
3．（2021•微山县校级二模）设函数．
（Ⅰ） 求的极值；
（Ⅱ）设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，证明：．
【解答】（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）函数，则，
令，解得：，且当时，，时，
因此：的极小值为
（Ⅱ）
令，则
注意到：，若要，必须要求，即，亦即
另一方面：当时，恒成立；
故实数的取值范围为：
构造函数，，，，，，在上是单调递增的；
故（b）（a），即：
另一方面，构造函数，
，
在上是单调递减的
故（b）（a）即：
综上，．
4．（2021•泉州二模）已知函数，．
（1）若，，求实数的值．
（2）若，，（a）（b），求正实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数，．
，，
由，，得，
令，则，
，在单调递增，
又，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
当且仅当时等号成立，
方程有且仅有唯一解，实数的值为0．
（2）令（b），，
则，
当时，，单调递增．
当时，，单调递减，
故（b），，
令，，
则，
若时，，在单调递增，
，满足题意；
若时，，满足题意；
若时，，在单调递减，
，不满足题意．
综上，正实数的取值范围是，．
5．（2021•浙江）已知实数，设函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围．
注：为自然对数的底数．
【解答】解：（1）当时，，，
，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由（1），得，
当时，，等价于，
令，则，
设，，
则，当，时，，
则，
记，，
则
，
列表讨论：
（1），
．
当时，，
令，，，
则，
故在，上单调递增，，
由得（1），，
1
0
单调递减
极小值（1）
单调递增
，，
由知对任意，，，，，
即对任意，，均有，
综上所述，所求的的取值范围是，．
6．（2021•江苏）设函数，，，，为的导函数．
（1）若，（4），求的值；
（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；
（3）若，，，且的极大值为，求证：．
【解答】解：（1），，
（4），，
，解得．
（2），，设．
令，解得，或．
．
令，解得，或．
和的零点均在集合，1，中，
若：，，则，舍去．
，，则，舍去．
，，则，舍去．．
，，则，舍去．，，则，舍去．
，，则，
因此，，，
可得：．
．
可得时，函数取得极小值，（1）．
（3）证明：，，，
．
．
△．
令．
解得：，．，
，，
可得时，取得极大值为，
，令，
可得：．
，
．
令，
，
函数在上单调递减，．
．．函数在上单调递增，
．
7．（2021春•湖南期中）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）函数，证明：当时，恒成立．
【解答】解：（1），（1分）
当时，，的单调递增区间为，（2分）
当时，令，令，（3分）
的单调递增区间为，单调递减区间为．（4分）
（2）．
方法一：直接求导，令，（5分）
，令，令，
，（6分）
，，（7分）
令，（8分）
下面证明，
即证，令，（9分）
则，在递减，
，，（11分）
当时，恒成立．（12分）
方法二：，要证，只需证，（5分）
令，（6分）令，（7分）
，，（8分）
证明方式，，，，（9分）
，（10分），
，（11分）
当时，恒成立．（12分）
证明方式下面只需证明，令，
（a）在递减，（10分）
（a）（1），，（11分）
当时，恒成立．（12分）
8．（2021•天津）已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（ⅱ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，，，且，有．
【解答】解：当时，，
故，
（1），
（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，即．
，，
，
令，解得，
当，，当，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
是极小值点，极小值为（1），无极大值
（Ⅱ）证明：由，则，
对任意的，，，且，令，，
则，
，
，①
令，，
当时，，
在单调递增，
当，（1），即，
，，，
，②，
由（Ⅰ）可知当时，（1）
即，③，
由①②③可得，
当时，对任意的，，，且，有．
9．（2021•新课标模拟）设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明当时，；
（3）设，证明当时，．
【解答】解：（1）函数的导数为，，由，可得；由，可得．
即有的增区间为；减区间为；
（2）证明：当时，，即为．
由（1）可得在递减，
可得（1），即有；
设，，，
当时，，可得递增，即有（1），
即有，则原不等式成立；
（3）证明：设，
则需要证明：当时，；
，，
在单调递减，而，（1），
由（1）中的单调性，可得，由（2）可得（1），
，使得，即时，，时，；
即在递增，在递减；
又因为：（1），
时成立，不等式得证；
即，当时，．