【导数大题】题型刷题突破 第16讲 公切线与公切点的高级应用

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1、多加总结。这是非常重要的一点，当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第16讲 公切线与公切点的高级应用
一．解答题（共12小题）
1．（2021春•武汉期中）已知函数，．
（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；
（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间，上的最大值．
2．（2021•渝中区校级模拟）函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设，与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，求实数的最大值．
3．（2021秋•和平区校级月考）设函数．
（1）若在区间，上存在极值，求实数的取值范围；
（2）①设，求的最小值；
②定义：对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数、，使得和都成立，则称直线为函数与的“隔离直线”．设，试探究与是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由．
4．（2021秋•桐乡市期中）设函数，．
（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；
（2）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
5．（2021春•文昌校级期末）设函数，．
（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；（2）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
6．（2021•安阳一模）已知函数，，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性．
（Ⅱ）是否存在实数，，使对任意恒成立？若存在，试求出，的值；若不存在，请说明理由．
7．（2021•江苏模拟）已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）证明：；
（3）是否存在常数，，使得对任意的恒成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
8．（2021•庐阳区校级模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有2个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
9．（2019•新课标Ⅱ）已知函数．
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
10．（2019秋•上城区校级月考）已知函数．
（1）证明：恰有两个零点，且；
（2）设是的一个零点，证明：是曲线和曲线的公切线．
11．（2021•江苏）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；（2）若函数与存在“点”，求实数的值；
（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．