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最新高考数学二轮复习讲义【讲通练透】 专题26 数列的通项公式
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这是一份最新高考数学二轮复习讲义【讲通练透】 专题26 数列的通项公式，文件包含专题26数列的通项公式教师版docx、专题26数列的通项公式学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共112页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题26 数列的通项公式
【考点预测】
类型Ⅰ 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
类型Ⅱ 公式法：
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型Ⅲ 累加法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
类型Ⅳ 累乘法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ 构造数列法：
（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
类型Ⅵ 对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
类型Ⅷ 形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
【题型归纳目录】题型一：观察法
题型二：叠加法
题型三：叠乘法
题型四：待定系数法
题型五：同除以指数
题型六：取倒数法
题型七：取对数法
题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
题型九：周期数列
题型十：前n项积型
题型十一：“和”型求通项
题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
题型十三：因式分解型求通项
题型十四：其他几类特殊数列求通项
题型十五：双数列问题
题型十六：通过递推关系求通项
【典例例题】
题型一：观察法
例1．（2022·山东聊城·高三期末）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2；第二行得到数列；第三行得到数列，则第5行从左数起第6个数的值为________.用表示第行所有项的乘积，若数列满足，则数列的通项公式为________.
例2．（2022·河南商丘·高三阶段练习（理））将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则其通项___________.
例3．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，②，③，④，……图形的周长依次记为，，，，…，得到数列．
(1)直接写出，的值；
(2)求数列的通项公式．
例4．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（文））一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数构成的数列记为．
(1)写出，，，的值；
(2)猜想数列的表达式，并写出推导过程；
(3)求证：．
例5．（2022·安徽·合肥市第六中学高二期末）如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴，，设第n个图形需要根火柴．
(1)试写出，并求；(2)记前n个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前n项和．
例6．（2022·全国·高二课时练习）古希腊的毕达哥拉斯学派将1，3，6，10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示.把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列，写出以及.
例7．（2022·全国·高二课时练习）观察数列的特点，在每个空白处填入一个适当的数，并写出每个数列的一个通项公式：
(1)1，3，7，____，31，____，127；
(2)2，5，____，17，26，____，50；
(3)，，____，，，____，；
(4)1，，____，2，，____，．
例8．（2022·广东·广州市培正中学三模）设是集合{且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…．将各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表．
（1）写出该三角形数表的第四行、第五行各数（不必说明理由）；
（2）设是该三角形数表第行的个数之和所构成的数列，写出的通项公式；
（3）求的值.
【方法技巧与总结】
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考虑各项的变化规律与序号的关系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．
题型二：叠加法
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知，，求通项________.
例10．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））已知数列满足则求___________
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.
例12．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，则__________.
例13．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）在数列中，已知，，.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)记，若在数列中，，求实数的取值范围.
【方法技巧与总结】
数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用叠加法求和
题型三：叠乘法
例14．（2022·浙江浙江·二模）已知等差数列的前项和为，满足，．数列满足，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列满足，，记数列的前项和为，若，求的最小值．
例15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列的前n项和为，且满足，.(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
例16．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，(n≥2)，求数列{an}的通项公式.
例17．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
例18．（2022·福建南平·三模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，.设为数列的前项和，求.
例19．（2022·全国·高三专题练习）数列满足：，，则的通项公式为_____________.
例20．（2022·山西太原·二模（理））已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列数列的前n项和______．
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.
例22．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，当时，，则数列的通项公式为______．
例23．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式
题型四：待定系数法
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，设，．则__________．
例25．（2022·四川宜宾·二模（理））在数列中，，，且满足，则___________.
例26．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，若，则数列的前n项和_______.
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式.
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，求的通项.
例30．（2022·全国·高三专题练习）已知，，求的通项公式.
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.
例32．（2022·全国·高三专题练习）(1)已知数列，其中，，且当时，，求通项公式；
(2)数列中，，，，求．
例33．（2022·江苏·高三阶段练习）已知数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和
例34．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，，求的通项公式.
【方法技巧与总结】
形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．
题型五：同除以指数
例35．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知数列的首项，且满足，
（1）设，证明是等差数列；
（2）求数列的前项和.
例36．（2022·天津·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对任意的，.
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式；
例38．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【方法技巧与总结】
形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．
题型六：取倒数法
例39．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列__________
例40．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
例41．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列满足．若，则______；若，则______．
【方法技巧与总结】
对于，取倒数得．
当时，数列是等差数列；
当时，令，则，可用待定系数法求解．
题型七：取对数法例42．已知数列的首项为9，且，若，则数列的前项和 ．
例43．（2022•蚌埠三模）已知数列满足，若，则的最大值为 ．
例44．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则________
【方法技巧与总结】
形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．
题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
例45．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和满足：.求数列的通项公式；
例46．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，满足.求数列的通项公式；
例47．（2022·江西九江·三模（理））已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
例48．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
例49．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
例50．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)若数列的前m项和，求m的值．
例51．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
例52．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前项和．
例53．（2022·福建·三明一中模拟预测）设数列的前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
例54．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
例55．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列的前项和，，，．
(1)计算的值，求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
例56．（2022·福建省福州第一中学三模）设数列的前n项和为，，，.
(1)证明：为等差数列；
(2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和.
（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，令
(1)求证：是等比数列；
(2)记数列的前项和为，求.
例57．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，证明：．
例58．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知首项为1的数列的前项和为，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若数列满足，求证：．
例59．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））设数列前n项和为，若，，则___________.
例60．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知数列满足，则___________.
例61．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列的前项和为．若，，则（ ）
A．B．C．D．
例62．（2022·陕西省神木中学高一期末）已知数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
例63．（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（理））在数列中，，，则的值为( )
A．B．C．D．无法确定
【方法技巧与总结】
对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况．
简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围．
题型九：周期数列
例64．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知数列满足，若的前n项积的最大值为3，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例65．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
例66．（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知数列中，，，，则（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
例67．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）在数列中，，，，则______；的前2022项和为______．
例68．（2022·上海静安·二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
例69．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知数列的前项和为，且，，则______.
例70．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知数列满足：，，则______．
例71．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，则___．
例72．（2021·全国·高三专题练习（文））已知正整数数列满足,则当时，___________.
【方法技巧与总结】
（1）周期数列型一：分式型
（2）周期数列型二：三阶递推型
（3）周期数列型三：乘积型
（4）周期数列型四：反解型
题型十：前n项积型
例73．（2022•徐州模拟）已知数列的前项积为，若对，，都有成立，且，，则数列的前10项和为 ．
例74．（2022•重庆模拟）若数列满足其前项的积为，则 ．
例75．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项积为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求n的最小值.
例76．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，且
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求证：对于任意的正整数是与的等比中项．
例77．（2022·全国·模拟预测）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最小项；若不存在，说明理由．
例78．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
【方法技巧与总结】
类比前项和求通项过程：
（1），得
（2）时，
题型十一：“和”型求通项
例79．（2022秋•河南月考）若数列满足为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则 ．
例80．（2022秋•南明区校级月考）若数列满足，则 ．
例81．（2022·青海西宁·二模（理））已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
例82．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（ ）
A．99B．103C．107D．198
例83．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，若，且，，则的值为
A．－8B．6C．－5D．4
例84．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足 ，定义使为整数的叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数"的和.
例85．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知数列{}满足
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，求数列{}的前n项和，并求的最大值.
【方法技巧与总结】
满足，称为“和”数列，常见如下几种：
（1）“和”常数型
（2）“和”等差型
（3）“和”二次型
（4）“和”换元型题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
例86．数列满足，前16项和为540，则 ．
例87．（2022•夏津县校级开学）数列满足，前16项和为508，则 ．
例88．（2022秋•舒城县校级月考）已知数列满足：，则数列的前40项和 ．
例89．（2022春•漳州期末）已知数列满足，则的前40项和为 ．
例90．（2022秋•普陀区校级期末）已知数列的首项，且满足，则 ．
例91．（2022•鼓楼区校级模拟）已知数列中，，，则 ．
例92．（2022春•东安区校级期中）已知数列满足：，则的前40项的和为
A．860B．1240C．1830D．2420
例93．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，已知，则_________.
例94．（2022·辽宁·盘锦市高级中学高三阶段练习）已知数列，满足且，设是数列的前项和，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例95．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答．
若数列满足______，求的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【方法技巧与总结】
（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律
（2）分段数列
（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列
题型十三：因式分解型求通项
例96．（2022秋•安徽月考）已知正项数列满足：，，．
（Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若，设．，求数列的前项和．
例97．（2022•怀化模拟）已知正项数列满足，设．
（1）求，；
（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（3）的通项公式，并求其前项和为．
例98．（2022秋•仓山区校级月考）已知正项数列满足且
（Ⅰ）证明数列为等差数列；
（Ⅱ）若记，求数列的前项和．
例99．已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求．
例100．（2022•四川模拟）已知数列的各项均为正数，且满足．
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和．
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【方法技巧与总结】
利用十字相乘进行因式分解
题型十四：其他几类特殊数列求通项
例101．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））设数列的前n项和为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例102．（2022•辽宁三模）在数列中，已知各项都为正数的数列满足．
（1）证明数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式．
例103．（2022•全国模拟）已知各项都为正数的数列满足．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式．
例104．（2022•虹口区一模）（1）定义：若数列满足，则称为“平方递推数列”．已知：数列中，，．
①求证：数列是“平方递推数列”；
②求证：数列是等比数列；
③求数列的通项公式．
（2）已知：数列中，，，求：数列的通项．
例105．（2022秋•上城区校级月考）已知正项数列满足，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：．
例106．（2022•湖南一模）在数列中，已知，，．（Ⅰ）证明数列 是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，的前项和为，求证．
【方法技巧与总结】
（1）二次型：形如
（2）三阶递推：形如型，多在大题中，有引导型证明要求
（3）“纠缠数列”：两个数列，多为等差和等比数列，通项公式组成“方程组”
（4）数学归纳型：可以通过数学归纳法，猜想，证明（小题省略证的过程）
题型十五：双数列问题
例107．（2022·河北秦皇岛·三模）已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
例108．（2022·全国·高三专题练习）两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________.
例109．（2022·全国·高三专题练习）已知数列和满足，，，.则＝_______.
例110．（2022·全国·高三专题练习）数列,满足,且,.
(1)证明:为等比数列;
(2)求,的通项.
例111．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知数列和满足，，，，则______，______．
例112．（2022·河南洛阳·三模（文））若数列和满足，，，，则（ ）A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
消元法
题型十六：通过递推关系求通项
例113．（2022·青海西宁·一模）如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则
A．220B．216C．212D．208
例114．（2022·全国·高三专题练习）如图，曲线y2＝x（y≥0）上的点P1与x轴的正半轴上的点Qi及原点O构成一系列正三角形，△OP1Q1，△Q1P2Q2，…，△Qn﹣1PnQn…设正三角形Qn﹣1PnQn的边长为an，n∈N*（记Q0为O），Qn（Sn，0）.数列{an}的通项公式an＝_____.
例115．（2022·全国·高三专题练习）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列．如果函数，数列为牛顿数列，设，且，．数列的前项和为，则______．
例116．（2022·山东·日照青山学校高三阶段练习）有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则___________.
例117．（2022·安徽马鞍山·二模（理））为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》.某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点､汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业.政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人.若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训.假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第天选择汽修培训的概率是(，2，3，…，7).
（1）求；
（2）证明：(，2，3，…，7)为等比数列；
（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望(近似看作0).
例118．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，已知.用表示，并求数列的通项公式.
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·山西大同·高三阶段练习）等比数列的前n项和，则（ ）
A．B．2C．1D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，对任意的都有，则（ ）
A．B．C．D．3．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知数列满足，，则（ ）
A．30B．31C．22D．23
4．（2022·新疆喀什·高三期末（文））已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前项积，已知，则= （ ）
A．B．C．D．
6．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，．其中正确的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列第2022项为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·浙江·三模）设数列满足，记数列的前n项的和为，则（ ）
A．B．存在，使
C．D．数列不具有单调性
二、多选题
9．（2022·山东淄博·高三阶段练习）若数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．
10．（2022·辽宁大连·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·全国·高三专题练习）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（ ）
A．an＝－
B．an＝
C．数列为等差数列
D．－5050
12．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知无穷数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论正确的为（ ）
A．和均为数列中的项
B．数列为等差数列
C．仅有有限个整数使得成立
D．记数列的前项和为，则恒成立
三、填空题
13．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列的前n项和，则______．
14．（2022·全国·模拟预测）已知数列的前n项和，数列满足，，，则的通项公式为______．
15．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））若等差数列的前项和分别为，且满足，则________
16．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足且，其前项和为，则满足不等式的最小整数为______．
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，是的前n项和．
（1）求；
（2）若为数列的前n项和，求证：．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求证：数列的前项和．
19．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且．
（1）求的值；
（2）记为数列的前n项和，求．
20．（2022·江西·模拟预测（理））设数列满足，．
（1）求证：为等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21．（2022·湖北·黄冈中学三模）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和满足．数列满足，．
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求证：．
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题26 数列的通项公式
【考点预测】
类型Ⅰ 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
类型Ⅱ 公式法：
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型Ⅲ 累加法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
类型Ⅳ 累乘法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ 构造数列法：
（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
类型Ⅵ 对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
类型Ⅷ 形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
【题型归纳目录】题型一：观察法
题型二：叠加法
题型三：叠乘法
题型四：待定系数法
题型五：同除以指数
题型六：取倒数法
题型七：取对数法
题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
题型九：周期数列
题型十：前n项积型
题型十一：“和”型求通项
题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
题型十三：因式分解型求通项
题型十四：其他几类特殊数列求通项
题型十五：双数列问题
题型十六：通过递推关系求通项
【典例例题】
题型一：观察法
例1．（2022·山东聊城·高三期末）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2；第二行得到数列；第三行得到数列，则第5行从左数起第6个数的值为________.用表示第行所有项的乘积，若数列满足，则数列的通项公式为________.
例2．（2022·河南商丘·高三阶段练习（理））将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则其通项___________.
例3．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，②，③，④，……图形的周长依次记为，，，，…，得到数列．
(1)直接写出，的值；
(2)求数列的通项公式．
例4．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（文））一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数构成的数列记为．
(1)写出，，，的值；
(2)猜想数列的表达式，并写出推导过程；
(3)求证：．
例5．（2022·安徽·合肥市第六中学高二期末）如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴，，设第n个图形需要根火柴．
(1)试写出，并求；(2)记前n个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前n项和．
例6．（2022·全国·高二课时练习）古希腊的毕达哥拉斯学派将1，3，6，10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示.把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列，写出以及.
例7．（2022·全国·高二课时练习）观察数列的特点，在每个空白处填入一个适当的数，并写出每个数列的一个通项公式：
(1)1，3，7，____，31，____，127；
(2)2，5，____，17，26，____，50；
(3)，，____，，，____，；
(4)1，，____，2，，____，．
例8．（2022·广东·广州市培正中学三模）设是集合{且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…．将各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表．
（1）写出该三角形数表的第四行、第五行各数（不必说明理由）；
（2）设是该三角形数表第行的个数之和所构成的数列，写出的通项公式；
（3）求的值.
【方法技巧与总结】
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考虑各项的变化规律与序号的关系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．
题型二：叠加法
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知，，求通项________.
例10．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））已知数列满足则求___________
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.
例12．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，则__________.
例13．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）在数列中，已知，，.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)记，若在数列中，，求实数的取值范围.
【方法技巧与总结】
数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用叠加法求和
题型三：叠乘法
例14．（2022·浙江浙江·二模）已知等差数列的前项和为，满足，．数列满足，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列满足，，记数列的前项和为，若，求的最小值．
例15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列的前n项和为，且满足，.(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
例16．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，(n≥2)，求数列{an}的通项公式.
例17．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
例18．（2022·福建南平·三模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，.设为数列的前项和，求.
例19．（2022·全国·高三专题练习）数列满足：，，则的通项公式为_____________.
例20．（2022·山西太原·二模（理））已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列数列的前n项和______．
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.
例22．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，当时，，则数列的通项公式为______．
例23．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式
题型四：待定系数法
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，设，．则__________．
例25．（2022·四川宜宾·二模（理））在数列中，，，且满足，则___________.
例26．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，若，则数列的前n项和_______.
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式.
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，求的通项.
例30．（2022·全国·高三专题练习）已知，，求的通项公式.
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.
例32．（2022·全国·高三专题练习）(1)已知数列，其中，，且当时，，求通项公式；
(2)数列中，，，，求．
例33．（2022·江苏·高三阶段练习）已知数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和
例34．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，，求的通项公式.
【方法技巧与总结】
形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．
题型五：同除以指数
例35．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知数列的首项，且满足，
（1）设，证明是等差数列；
（2）求数列的前项和.
例36．（2022·天津·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对任意的，.
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式；
例38．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【方法技巧与总结】
形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．
题型六：取倒数法
例39．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列__________
例40．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
例41．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列满足．若，则______；若，则______．
【方法技巧与总结】
对于，取倒数得．
当时，数列是等差数列；
当时，令，则，可用待定系数法求解．
题型七：取对数法例42．已知数列的首项为9，且，若，则数列的前项和 ．
例43．（2022•蚌埠三模）已知数列满足，若，则的最大值为 ．
例44．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则________
【方法技巧与总结】
形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．
题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
例45．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和满足：.求数列的通项公式；
例46．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，满足.求数列的通项公式；
例47．（2022·江西九江·三模（理））已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
例48．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
例49．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
例50．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)若数列的前m项和，求m的值．
例51．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
例52．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前项和．
例53．（2022·福建·三明一中模拟预测）设数列的前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
例54．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
例55．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列的前项和，，，．
(1)计算的值，求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
例56．（2022·福建省福州第一中学三模）设数列的前n项和为，，，.
(1)证明：为等差数列；
(2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和.
（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，令
(1)求证：是等比数列；
(2)记数列的前项和为，求.
例57．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，证明：．
例58．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知首项为1的数列的前项和为，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若数列满足，求证：．
例59．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））设数列前n项和为，若，，则___________.
例60．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知数列满足，则___________.
例61．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列的前项和为．若，，则（ ）
A．B．C．D．
例62．（2022·陕西省神木中学高一期末）已知数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
例63．（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（理））在数列中，，，则的值为( )
A．B．C．D．无法确定
【方法技巧与总结】
对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况．
简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围．
题型九：周期数列
例64．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知数列满足，若的前n项积的最大值为3，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例65．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
例66．（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知数列中，，，，则（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
例67．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）在数列中，，，，则______；的前2022项和为______．
例68．（2022·上海静安·二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
例69．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知数列的前项和为，且，，则______.
例70．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知数列满足：，，则______．
例71．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，则___．
例72．（2021·全国·高三专题练习（文））已知正整数数列满足,则当时，___________.
【方法技巧与总结】
（1）周期数列型一：分式型
（2）周期数列型二：三阶递推型
（3）周期数列型三：乘积型
（4）周期数列型四：反解型
题型十：前n项积型
例73．（2022•徐州模拟）已知数列的前项积为，若对，，都有成立，且，，则数列的前10项和为 ．
例74．（2022•重庆模拟）若数列满足其前项的积为，则 ．
例75．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项积为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求n的最小值.
例76．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，且
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求证：对于任意的正整数是与的等比中项．
例77．（2022·全国·模拟预测）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最小项；若不存在，说明理由．
例78．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
【方法技巧与总结】
类比前项和求通项过程：
（1），得
（2）时，
题型十一：“和”型求通项
例79．（2022秋•河南月考）若数列满足为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则 ．
例80．（2022秋•南明区校级月考）若数列满足，则 ．
例81．（2022·青海西宁·二模（理））已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
例82．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（ ）
A．99B．103C．107D．198
例83．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，若，且，，则的值为
A．－8B．6C．－5D．4
例84．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足 ，定义使为整数的叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数"的和.
例85．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知数列{}满足
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，求数列{}的前n项和，并求的最大值.
【方法技巧与总结】
满足，称为“和”数列，常见如下几种：
（1）“和”常数型
（2）“和”等差型
（3）“和”二次型
（4）“和”换元型题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
例86．数列满足，前16项和为540，则 ．
例87．（2022•夏津县校级开学）数列满足，前16项和为508，则 ．
例88．（2022秋•舒城县校级月考）已知数列满足：，则数列的前40项和 ．
例89．（2022春•漳州期末）已知数列满足，则的前40项和为 ．
例90．（2022秋•普陀区校级期末）已知数列的首项，且满足，则 ．
例91．（2022•鼓楼区校级模拟）已知数列中，，，则 ．
例92．（2022春•东安区校级期中）已知数列满足：，则的前40项的和为
A．860B．1240C．1830D．2420
例93．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，已知，则_________.
例94．（2022·辽宁·盘锦市高级中学高三阶段练习）已知数列，满足且，设是数列的前项和，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例95．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答．
若数列满足______，求的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【方法技巧与总结】
（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律
（2）分段数列
（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列
题型十三：因式分解型求通项
例96．（2022秋•安徽月考）已知正项数列满足：，，．
（Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若，设．，求数列的前项和．
例97．（2022•怀化模拟）已知正项数列满足，设．
（1）求，；
（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（3）的通项公式，并求其前项和为．
例98．（2022秋•仓山区校级月考）已知正项数列满足且
（Ⅰ）证明数列为等差数列；
（Ⅱ）若记，求数列的前项和．
例99．已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求．
例100．（2022•四川模拟）已知数列的各项均为正数，且满足．
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和．
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【方法技巧与总结】
利用十字相乘进行因式分解
题型十四：其他几类特殊数列求通项
例101．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））设数列的前n项和为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例102．（2022•辽宁三模）在数列中，已知各项都为正数的数列满足．
（1）证明数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式．
例103．（2022•全国模拟）已知各项都为正数的数列满足．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式．
例104．（2022•虹口区一模）（1）定义：若数列满足，则称为“平方递推数列”．已知：数列中，，．
①求证：数列是“平方递推数列”；
②求证：数列是等比数列；
③求数列的通项公式．
（2）已知：数列中，，，求：数列的通项．
例105．（2022秋•上城区校级月考）已知正项数列满足，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：．
例106．（2022•湖南一模）在数列中，已知，，．（Ⅰ）证明数列 是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，的前项和为，求证．
【方法技巧与总结】
（1）二次型：形如
（2）三阶递推：形如型，多在大题中，有引导型证明要求
（3）“纠缠数列”：两个数列，多为等差和等比数列，通项公式组成“方程组”
（4）数学归纳型：可以通过数学归纳法，猜想，证明（小题省略证的过程）
题型十五：双数列问题
例107．（2022·河北秦皇岛·三模）已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
例108．（2022·全国·高三专题练习）两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________.
例109．（2022·全国·高三专题练习）已知数列和满足，，，.则＝_______.
例110．（2022·全国·高三专题练习）数列,满足,且,.
(1)证明:为等比数列;
(2)求,的通项.
例111．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知数列和满足，，，，则______，______．
例112．（2022·河南洛阳·三模（文））若数列和满足，，，，则（ ）A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
消元法
题型十六：通过递推关系求通项
例113．（2022·青海西宁·一模）如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则
A．220B．216C．212D．208
例114．（2022·全国·高三专题练习）如图，曲线y2＝x（y≥0）上的点P1与x轴的正半轴上的点Qi及原点O构成一系列正三角形，△OP1Q1，△Q1P2Q2，…，△Qn﹣1PnQn…设正三角形Qn﹣1PnQn的边长为an，n∈N*（记Q0为O），Qn（Sn，0）.数列{an}的通项公式an＝_____.
例115．（2022·全国·高三专题练习）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列．如果函数，数列为牛顿数列，设，且，．数列的前项和为，则______．
例116．（2022·山东·日照青山学校高三阶段练习）有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则___________.
例117．（2022·安徽马鞍山·二模（理））为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》.某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点､汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业.政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人.若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训.假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第天选择汽修培训的概率是(，2，3，…，7).
（1）求；
（2）证明：(，2，3，…，7)为等比数列；
（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望(近似看作0).
例118．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，已知.用表示，并求数列的通项公式.
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·山西大同·高三阶段练习）等比数列的前n项和，则（ ）
A．B．2C．1D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，对任意的都有，则（ ）
A．B．C．D．3．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知数列满足，，则（ ）
A．30B．31C．22D．23
4．（2022·新疆喀什·高三期末（文））已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前项积，已知，则= （ ）
A．B．C．D．
6．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，．其中正确的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列第2022项为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·浙江·三模）设数列满足，记数列的前n项的和为，则（ ）
A．B．存在，使
C．D．数列不具有单调性
二、多选题
9．（2022·山东淄博·高三阶段练习）若数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．
10．（2022·辽宁大连·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·全国·高三专题练习）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（ ）
A．an＝－
B．an＝
C．数列为等差数列
D．－5050
12．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知无穷数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论正确的为（ ）
A．和均为数列中的项
B．数列为等差数列
C．仅有有限个整数使得成立
D．记数列的前项和为，则恒成立
三、填空题
13．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列的前n项和，则______．
14．（2022·全国·模拟预测）已知数列的前n项和，数列满足，，，则的通项公式为______．
15．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））若等差数列的前项和分别为，且满足，则________
16．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足且，其前项和为，则满足不等式的最小整数为______．
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，是的前n项和．
（1）求；
（2）若为数列的前n项和，求证：．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求证：数列的前项和．
19．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且．
（1）求的值；
（2）记为数列的前n项和，求．
20．（2022·江西·模拟预测（理））设数列满足，．
（1）求证：为等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21．（2022·湖北·黄冈中学三模）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和满足．数列满足，．
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求证：．
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