最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第04讲 数列的通项公式（十六大题型）（讲通）

这是一份最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第04讲 数列的通项公式（十六大题型）（讲通），文件包含第04讲数列的通项公式十六大题型讲义原卷版docx、第04讲数列的通项公式十六大题型讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共100页， 欢迎下载使用。

2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第04讲 数列的通项公式
目录
类型Ⅰ 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
类型Ⅱ 公式法：
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型Ⅲ 累加法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
类型Ⅳ 累乘法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ 构造数列法：
（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
类型Ⅵ 对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
类型Ⅷ 形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
题型一：观察法
例1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（ ）个球．

A．12B．20C．55D．110
【答案】C
【解析】由题意知：
，
，
，
，
所以.
故选：C
例2．（2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．17B．37C．107D．128
【答案】C
【解析】∵能被3除余2且被7除余2，∴既是3的倍数，又是7的倍数，
即是21的倍数，且，∴，
即，∴．
故选：C．
例3．（2023·全国·高三专题练习）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图中正六边形的个数记为，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为，其中图中每个正六边形的边长是图中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．存在正数，使得恒成立D．
【答案】D
【解析】A选项，图1中正六边形的个数为1，图2中正六边形的个数为7，
由题意得为公比为7的等比数列，所以，故，A错误；
B选项，由题意知，，，B错误；
C选项，为等比数列，公比为，首项为6，故，
因为，所以单调递增，不存在正数，使得恒成立，C错误；
D选项，分析可得，图n中的小正六边形的个数为个，每个小正六边形的边长为，故每个小正六边形的面积为，
则，D正确.
故选：D
变式1．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为，则（ ）
A．650B．1050C．2550D．5050
【答案】A
【解析】由条件观察可得：，即，所以是以2为首项，2为公差的等差数列.
故，
故选：A
变式2．（2023·吉林·统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22B．24C．25D．26
【答案】B
【解析】设该数列为，
当为奇数时，
所以为奇数；
当为偶数时，
所以为偶数数；
所以，
故选:B.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为数列的前4项分别是，正负项交替出现，分子均为1，分母依次增加1，
所以对照四个选项，正确.
故选：D
变式4．（2023·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1，，，，构成数列，其前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，
则，
所以其前n项和为：
，
则.
故选：B.
变式5．（2023·新疆喀什·高三统考期末）若数列的前6项为，则数列的通项公式可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】通过观察数列的前6项，可以发现有如下规律：
且奇数项为正，偶数项为负，故用表示各项的正负；
各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数，
而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，
故第n项的绝对值是，
所以数列的通项可为，
故选：D
【解题方法总结】
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考虑各项的变化规律与序号的关系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．
题型二：叠加法
例4．（2023·全国·高三对口高考）数列1，3，7，15，……的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意得，，，
所以依此类推得，
所以．
又也符合上式，所以符合题意的一个通项公式是．
故选：C．
例5．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）若，则（ ）
A．55B．56C．45D．46
【答案】D
【解析】由，
得，，
，，，
累加得，
，
当时，上式成立，
则，
所以.
故选：D
例6．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，故可得，，…，，及累加可得，
则，所以，
则．
故选：B．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的通项为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，则当时，，
将个式子相加可得，
因为，则，当时，符合题意，
所以.
故选：D.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，由累加法可得：，
所以（），
又因为，
所以（），
当时，，符合，
所以（），
所以，
所以．
故选：A.
变式8．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知数列 满足：，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，，
∴，，
∴，
又，故，
所以，
所以，
故，
则，
所以.
故选：C．
【解题方法总结】
数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用叠加法求和
题型三：叠乘法
例7．（2023·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023B．2024C．4045D．4047
【答案】C
【解析】，
，
即，
可得，
.
故选：C.
例8．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，（为正整数），则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
故选：A
例9．（2023·天津滨海新·高三校考期中）已知 ， 则 （ ）
A．506B．1011C．2022D．4044
【答案】D
【解析】，
，
，，
，，
显然，当时，满足，
∴，
.
故选：D.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．C．D．n
【答案】D
【解析】由，得，
即，
则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由①
②，
①②得：，
即：，
所以，
所以
故选：．
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】数列满足，且，
∴，，
∴，，，，
累乘可得：，
可得：．
故选：D﹒
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】数列满足，，
整理得，，，，
所有的项相乘得：，
整理得：，
故选：．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，且，则它的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，，
因此，.
故选：A.
【解题方法总结】
数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式
题型四：待定系数法
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知：，时，，求的通项公式．
【解析】设，所以，
∴ ，解得：，
又 ，∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列，
∴ ，∴ ．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，且对于时恒有，求数列的通项公式．
【解析】因为，所以，又因为，
所以数列是常数列0，所以，所以 ．
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：求.
【解析】因为
所以两边同时加上得：，
所以，当时，
故，故，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
于是
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是首项为.
(1)求通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1），设，
即，即，解得，
，故是首项为，公比为的等比数列.
，故.
（2），则
.
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，a1=2，，求的通项．
【解析】因为的特征函数为：，
由，
∴
∴数列是公比为的等比数列，
∴．
变式16．（2023·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）已知数列中，，满足，设为数列的前项和．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，所以．
（2）因为，
所以
，
若对于恒成立，即，
可得即对于任意正整数恒成立，
所以，令，则，
所以，可得，所以，
所以的取值范围为．
变式17．（2023·四川乐山·统考三模）已知数列满足，，则 ．
【答案】
【解析】由得，又，
所以，即是等比数列，
所以，即．
故答案为：．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】因为，
设，即，
根据对应项系数相等则，解得，故，
所以是为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
故答案为：
变式19．（2023·全国·高三对口高考）已知数列中，，且（，且），则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】由，得，即
由所以，
于是数列是以首项为，公比为的等比数列，
因此，即，
当时，,此式满足，
所以数列的通项公式为.
故答案为：.
【解题方法总结】
形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．
题型五：同除以指数
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
【解析】将两边除以，
得，则，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则，
∴数列的通项公式为．
例14．（2023·全国·高三专题练习）在数列{}中，求通项公式．
【解析】可化为：．
又
则数列是首项为，公比是2的等比数列．
∴，则．
所以数列{}通项公式为
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
【解析】由，可得
又，
则数列是以为首项，2为公比的等比数列，
则，故．
则数列的通项公式为.
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
【解析】解法一：因为，
设，
所以，
则，解得，
即，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法二：因为，两边同时除以得，
所以，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，所以.
变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】解法一：设，整理得，可得，
即，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：，
整理得，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即，
当时，则
，
故，
显然当时，符合上式，故.
故答案为：.
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
【解析】两边除以，得
，则，故
，
，
则数列的通项公式为．
【解题方法总结】
形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．
题型六：取倒数法
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：求通项.
【解析】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2，
，
∴.
例17．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，求．
【解析】由已知关系式得,
所以数列是以为首项，公比为3得等比数列，故，
所以
例18．（2023·全国·高三专题练习）设，数列满足，，求数列的通项公式．
【解析】，，两边取倒数得到，
令，则，
当时，，，，
数列是首项为，公差为的等差数列．
，，．
当时，，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
，
，
，
，
，
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的通项公式．
【解析】，，则，
则，
，所以是以2为首项，2为公比的等比数列．
于是，．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
【解析】为等差数列，
首项，公差为，
.
变式25．（2023·全国·高三对口高考）数列中，，，则 ．
【答案】
【解析】由，，可得，
所以，即(定值)，
故数列以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，所以．
故答案为：．
变式26．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
【解析】（1）因为，，故，
所以，整理得．
又，，，
所以为定值，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，得.
（2）因为，
所以．
【解题方法总结】
对于，取倒数得．
当时，数列是等差数列；
当时，令，则，可用待定系数法求解．
题型七：取对数法
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
【解析】（1）因为，所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以；
（2）由，得，
则，
所以，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以.
例20．（2023·全国·高三专题练习）设正项数列满足，，求数列的通项公式．
【解析】对任意的，，
因为，则，
所以，，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，解得.
例21．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有．
【解析】恒成立，，则，
则，，
当时，，故，即，
取，满足；
当且时，是首项为，公比为的等比数列，
故，即，
故，
故，取，得到恒成立.
综上所述：存在常数，使得对于任意的，都有．
【解题方法总结】
形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．
题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
例22．（2023·全国·高三专题练习）数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是 ．
【答案】
【解析】，，且，
，是以为首项，为公比的等比数列．
，．
时，，
且不满足上式，所以．
故答案为：.
例23．（2023·陕西渭南·统考二模）已知数列中，，前n项和为.若，则数列的前2023项和为 .
【答案】
【解析】在数列中，又，且，
两式相除得，，
∴数列 是以1为首项，公差为1的等差数列，则，∴ ，
当，，
当时，，也满足上式，
∴数列的通项公式为，
则，
数列的前2023项和为.
故答案为：
例24．（2023·河南南阳·高二统考期末）已知数列的前项和为，且（），
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）当时，，
当时，，
故，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
故；
（2）由（1）得，
故，
则，
故
，
则
变式27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和满足．
(1)写出数列的前3项；
(2)求数列的通项公式．
【解析】（1）由，得．
由，得，
，得．
（2）当时，有，即 ①
令，则，与①比较得，，
是以为首项，以2为公比的等比数列．
，故．
变式28．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
【解析】（1）由，得．
所以，
即，整理得，
上式两边同时除以，得．
又，所以，即，
所以是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知，．
所以．
所以．
变式29．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）∵，∴
当时，，解得.
当时，，
即，
∵，∴，
∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴.
（2）因为，所以
∴当时， ，
∴
，
∴，
∴实数的取值范围为.
变式30．（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)已知，，求数列的前20项和.
【解析】（1）当时，可得，
当时，，
，
上述两式作差可得，
因为满足，所以的通项公式为.
（2），，
所以，
.
所以数列的前20项和为.
变式31．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，.证明：是等比数列.
【解析】由，当n1时，可得14；
当时，anSnSn15an5an11，
即，即，
记，令，求出不动点，
故，又1 15 ≠0，
∴数列{an1}是以为首项，以为公比的等比数列．
变式32．（2023·全国·高三专题练习）已知是各项都为正数的数列，为其前n项和，且，，
(1)求数列的通项；
(2)证明：.
【解析】（1）法一：
因为，
所以当时，，
所以，，
两式相减可得，又，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，即，
故当时，，
经检验，当时，满足上式，
所以.
法二：
因为，
所以当时，，
故，等号两边平方得，
设，则，又，，
所以是首项为，公差为的等差数列，
故，即，则，
故，则，解得或，
当时，，则，而，矛盾，舍去，
当时，经检验，满足题意，故.
（2）由法一易知，
由法二易得，
故由（1）得，
，
所以，命题得证.
变式33．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意，，在数列中，当时，成等差数列，所以，即，
所以时，，又由知时，成立，
即对任意正整数均有，
所以，从而，
即数列的通项公式为：.
（2）由题意及（1）得，，在数列中，，所以.
假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则，
即，化简得，
因为成等差数列，所以，所以，化简得，
又，所以，即，所以，所以，这与题设矛盾，所以假设不成立，
所以在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.
变式34．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
【解析】（1）当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴是以、公比为2的等比数列，
∴.
（2）由（1）知，，
当时，.
当时，，①
∴，②
①-②得，，
∴，当时，也适合，
∴.
变式35．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）对任意的，
当时，，两式相减．
整理得，
当时，，
也满足，从而．
（2）证明：证法一：因为，
所以，
．
从而；
证法二：因为，
所以，
，证毕.
变式36．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1），
当时，，两式子作差可得
，
又，所以，
可得数列为公差为2 的等差数列，
当时，，
所以，数列的通项公式为.
（2），
，
所以，数列的前项和.
变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知各项为正数的数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
【解析】（1），
两式相减得：，
由于，则，
当时，，得，
，则，
所以是首项和公差均为2的等差数列，故．
（2）①
所以②
由得：，
所以
．
变式38．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前项和．已知．证明：是等差数列；
【解析】证明：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，
所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
【解题方法总结】
对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况．
简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围．
题型九：周期数列
例25．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵，，∴，故A错误；
，，
∴数列是以3为周期的周期数列，∴，故B错误；
∵，，
∴，故C正确；
，故D错误．
故选：C．
例26．（2023·广西防城港·高三统考阶段练习）已知数列满足，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，则，，，……，
故为周期为3的数列，
因为，所以.
故选：D
例27．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知数列满足：，，，，则（ ）.
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】
即
又
是以为周期的周期数列.
故选：C
变式39．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
，，，，，
数列是以为周期的周期数列．
又，
．
故选：B．
变式40．（2023·江苏淮安·高三校考阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（ ）
A．壬午年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
【答案】A
【解析】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于，余数为0，故100年后天干为壬，
由于，余数为4，故100年后地支为午，
综上：100年后的2122年为壬午年.
故选：A
变式41．（2023·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知数列满足，则（ ）
A．B．1C．4043D．4044
【答案】A
【解析】由得，
两式相加得，即，故，
所以.
故选：A．
变式42．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】由得
，
所以数列的周期为3，所以．
故选：B
【解题方法总结】
（1）周期数列型一：分式型
（2）周期数列型二：三阶递推型
（3）周期数列型三：乘积型
（4）周期数列型四：反解型
题型十：前n项积型
例28．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
【解析】（1）当时,,
∴,
当时,,
化简得,
∵,∴,
∴数列是首项为,公差为的等差数列,
∴.
当时,,
当时,，当时也满足，
所以.
（2）,
设①,
则②,
①-②得,
∴.
例29．（2023·全国·高三专题练习）设为数列的前n项积．已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则，
即，当时，有，两式相除得，，
显然，即，因此当时，，即，
所以数列的通项公式.
（2）设的前项和为，由（1）得，，于是，
因此，
则，
所以数列前项和为.
例30．（2023·全国·高三专题练习）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)求，；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)求数列的通项公式．
【解析】（1）由，且，
当时，，得，
当时，，得；
（2）对于①，
当时，②，
①②得，
即，，
又，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
（3）由（2）得，
，
当时，，
又时，，不符合，
.
变式43．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）为数列的前n项积，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的通项公式．
【解析】（1）证明： 由已知条件知 ①,
于是． ②,
由①②得． ③ ，
又 ④，
由③④得，所以 ，
令，由，得，，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列．
，
法1：时，，
又符合上式，所以；
法2：将代回得：．
变式44．（2023·江苏无锡·高三无锡市第一中学校考阶段练习）已知数列的前n项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的最大值．
【解析】（1）∵①，∴②，
由①②可得，由①也满足上式，∴③，
∴④，由③④可得，
即，∴，∴．
（2）由（1）可知，则，
记，
∴，
∴，
∴，即单调递减，
∴的最大值为．
变式45．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项积.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前n项为，求的最小值.
【解析】（1）.
当时，；
当时，，也符合.
故的通项公式为.
（2），
，
是以为首项，2为公差的等差数列，
，
当时，的最小值为.
变式46．（2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的通项公式.
【解析】（1）证明：，.
，
是等差数列.
（2）由（1）可得，.
时，；
时，.
而，，，均不满足上式.
（）.
变式47．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的通项公式．
【解析】解析：（1）将代入，得，
整理得．
当时，得，所以数列是以为首项，为公差等差数列．
所以．
（2）由（1）得，代入，可得．
当时，；
当时，
所以．
【解题方法总结】
类比前项和求通项过程：
（1），得
（2）时，
题型十一：“和”型求通项
例31．（2023•河南月考）若数列满足为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则 ．
【解析】解：由，，
，即，
，，，即，
，，，．
，
由此可知．
故答案为：．
例32．（2023•南明区校级月考）若数列满足，则 ．
【解析】解：，
则
．
故答案为：．
例33．（2023·青海西宁·二模（理））已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
【答案】C
【解析】当时， ，
当时，由得，
两式相减可得
，即，
所以，可得，
所以.
故选：C.
变式48．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（ ）
A．99B．103C．107D．198
【答案】B
【解析】由得，
∴为等比数列，∴，
∴，，
∴，
①为奇数时，，；
②为偶数时，，，
∵，只能为奇数，∴为偶数时，无解，
综上所述，.
故选：B.
变式49．（2023·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，若，且，，则的值为
A．－8B．6C．－5D．4
【答案】C
【解析】对于，
当时有，即
，
，
两式相减得：
，
由可得
即从第二项起是等比数列，
所以，
即，
则，故，
由可得，
故选C.
变式50．（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，求通项.
【解析】因为，
所以当时，，
当时，，
两式相减得：，
构成以为首项，2为公差的等差数列；
构成以为首项，2为公差的等差数列，
，
，
变式51．（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，求通项.
【解析】由已知当时，可得，
当时，，
与已知式联立，两式相减，
得，
，
，
，
即奇数项构成的数列是每项都等于的常数列，
偶数项构成的数列是每项都等于的常数列，
.
【解题方法总结】
满足，称为“和”数列，常见如下几种：
（1）“和”常数型
（2）“和”等差型
（3）“和”二次型
（4）“和”换元型
题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
例34．数列满足，前16项和为540，则 ．
【答案】
【解析】解：因为数列满足，
当为奇数时，，
所以，，，，
则，
当为偶数时，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因为前16项和为540，
所以，
所以，解得．
故答案为：．
例35．（2023•夏津县校级开学）数列满足，前16项和为508，则 ．
【答案】3
【解析】解：由，
当为奇数时，有，
可得，
，
累加可得；
当为偶数时，，
可得，，，．
可得．
．
，
，即．
故答案为：3．
例36．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，求此数列的通项公式.
【解析】在数列中，由，得，当时，，
两式相除得：，因此数列构成以为首项，为公比的等比数列；
数列构成以为首项，为公比的等比数列，于是，
所以数列的通项公式是.
变式52．（2023·山东·校联考模拟预测）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且，求的最小值．
【解析】（1）由题意知当时，．
设，则，所以，即．
又．
所以是首项为4，公比为2的等比数列．
所以．即．
（2）当为偶数时，，即
，
令．则可解得．即．
又因为
故的最小值为95．
变式53．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知数列满足，且
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．
【解析】（1）因为
所以，，，所以．
又因为，所以，所以．
因为，所以，
又因为，所以，所以，所以，
即，
所以，
又因为，所以，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
（2）由（1）可知，所以，
所以，
又因为，所以，
即，所以，
所以，
因为，
，
所以是一个增数列，
因为，，
所以满足题意的n的最小值是20．
变式54．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项积为，求和.
【解析】（1）由题意可得：，
是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以
是以1为首项，1为公差的等差数列；
（2）由上可得：，
同理.
【解题方法总结】
（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律
（2）分段数列
（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列
题型十三：因式分解型求通项
例37．（2023•安徽月考）已知正项数列满足：，，．
（Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若，设．，求数列的前项和．
【解析】解：（Ⅰ），，
又数列为正项数列，
，
①当时，数列不是等比数列；
②当时，，此时数列是首项为，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，
，
．
例38．（2023•怀化模拟）已知正项数列满足，设．
（1）求，；
（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（3）的通项公式，并求其前项和为．
【解析】解：（1），，，
可得，
则，
数列为首项为1，公比为2的等比数列，
可得；
，
，；
（2）数列为等差数列，理由：，
则数列为首项为0，公差为1的等差数列；
（3），
前项和为．
例39．（2023•仓山区校级月考）已知正项数列满足且
（Ⅰ）证明数列为等差数列；
（Ⅱ）若记，求数列的前项和．
【解析】证明：由，
变形得：，
由于为正项数列，，
利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，
从而．
变式55．已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求．
【解析】解：（1），
当时，，，
解得．
又，，
，
当时，，
当时上式也成立，
．
（2）数列满足，且．
．
，
当为偶数时，数列的前项和为
．
当为奇数时，数列的前项和为
．
当时也成立，
．
变式56．（2023•四川模拟）已知数列的各项均为正数，且满足．
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】解：（1）当时，，
；
当时，，
；
由已知可得，且，
．
（2）设，
，
是公比为4的等比数列，
．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/10 10:14:40；用户：18316341968；邮箱：18316341968；学号：32362679
【解题方法总结】
利用十字相乘进行因式分解
题型十四：其他几类特殊数列求通项
例40．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的通项公式为 ．
【答案】
【解析】，①．②
由得．
又因为，所以是公比为，首项为的等比数列，从而，即．
故答案为：
例41．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则 ．
【答案】
【解析】设，令得：，解得：；
，化简得，，
所以，从而，
故，
又，所以是首项和公差均为的等差数列，
从而，故．
故答案为：
例42．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则 ．
【答案】
【解析】设，令得：，解得：；
，化简得：，
所以，从而，又，
所以是首项为，公差为1的等差数列，故，
所以．
故答案为：
变式57．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，设，求数列的通项公式.
【解析】依题，
记，令，求出不动点；
由定理2知：
，
；
两式相除得到，
∴是以为公比，为首项的等比数列，
∴，
从而．
变式58．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，且，求其通项公式．
【解析】因为，
所以特征方程为，解得,
令，代入原递推式得,
因为，所以，
故,
因此，，从而,
又因为，所以．
变式59．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．
【解析】令．先求出数列的不动点，解得．
将不动点代入递推公式，得，
整理得，，
∴．
令，则，．
∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列．
∴的通项公式为．
将代入，得．
∴．
变式60．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，求的通项公式．
【解析】化为，即，
，可得或，（所得两组数值代入上式等价），
不妨令，，
所以是以1为首项，为公比的等比数列，则，
累加法可得：，
又符合上式，故.
变式61．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足递推关系：，且，，求数列的通项公式.
【解析】由于且，，故数列发生函数为
于是数列的通项为：，.
变式62．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，求
【解析】法1：已知，所以，
则是首项为，公比为3的等比数列，
故，则，
得，
当n为奇数时，，，，，，
累加可得，，
所以，
当n为偶数时，，
综上，；
法2：由特征根方程得，，，
所以，其中，解得，，
.
变式63．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．
【解析】（1）由已知，，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）∵，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，①，
又∵由第（1）问，，②，
∴②①得，，
∴存在，，两个等比数列，， 使得成立．
变式64．（2023·全国·高三专题练习）已知，，求的通项公式．
【解析】由题意，
，
所以，则，而，
故是以为首项，3为公比的等比数列．
于是．
变式65．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
【解析】令，整理得，故或，
由可得，令并将代入，可得，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
故，整理得.
【解题方法总结】
（1）二次型：形如
（2）三阶递推：形如型，多在大题中，有引导型证明要求
（3）“纠缠数列”：两个数列，多为等差和等比数列，通项公式组成“方程组”
（4）数学归纳型：可以通过数学归纳法，猜想，证明（小题省略证的过程）
题型十五：双数列问题
例43．（2023·河北秦皇岛·三模）已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
【解析】(1)证明：因为，
所以，即，
所以是公比为的等比数列．
将方程左右两边分别相减，
得，化简得，
所以是公差为2的等差数列．
(2)由（1）知，
，
上式两边相加并化简，得，
所以．
例44．（2023·全国·高三专题练习）两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________.
【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
所以，即，所以的特征方程为，解得特征根或，
所以可设数列的通项公式为，因为，，
所以，所以，解得，
所以，所以；
故答案为：
例45．（2023·全国·高三专题练习）已知数列和满足，，，.则＝_______.
【答案】
【解析】，，且，，则，
由可得，代入可得，
，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
在等式两边同时除以可得，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
所以，，，
则，
因此，.
故答案为：.
变式66．（2023·全国·高三专题练习）数列,满足,且,.
(1)证明:为等比数列;
(2)求,的通项.
【解析】（1）证明：由，可得：，
，代入，
可得：，
化为：，
，
为等比数列，首项为-14，公比为3.
（2）由（1）可得：，
化为：，
数列是等比数列，首项为16，公比为2.
，
可得：，
.
变式67．（2023·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足，，，，则______，______．
【答案】
【解析】由题设，，则，而，
所以是首项、公比均为2的等比数列，故，
，则，
令，则，
故，而，
所以是常数列，且，则.
故答案为：，.
【解题方法总结】
消元法
题型十六：通过递推关系求通项
例46．（2023·全国·高三专题练习）某电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第一次播放了1条以及余下的条的，第2次播放了2条以及余下的，第3次播放了3条以及余下的，以后每次按此规律插播广告，在第次播放了余下的x条．
(1)设第次播放后余下条，这里，，求与的递推关系式．
(2)求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y．
【解析】（1）依题意，第次播放了，
因此，整理得．
（2）∵
，
又∵，
∴．
∴，
∴
∴．
∵当时，，与互质，，
∴，则
即．
例47．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，．
(1)试用，表示，．
(2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项．
【解析】（1）由题意，经次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为，
所以，．
（2）由（1）知，，，
可得，
所以数列是等比数列，
因为％，所以 ①，
又因为 ②．
联立①②得，．
例48．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第（）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为，在丙手中的方法数为.
(1)求证：数列为等比数列，并求出的通项；
(2)求证：当n为偶数时，.
【解析】（1）由题意知：第n次抛沙包后的抛沙包方法数为，
第次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为，若第n次抛沙包后沙包在甲手中，则第次抛沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次抛沙包后沙包在乙或丙手中，
故，且
故，
，
所以数列为等比数列，
由，得，
，
，
，
……………，
以上各式相加，
可得；
（2）由题意知：第n次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等均为，
则，
∵当n为偶数时，，
∴.
变式68．（2023·全国·高三专题练习）如图，的在个顶点坐标分别为，，，设为线段BC的中点，为线段的中点，为线段的中点，对于每一个正整数，为线段的中点，令的坐标为，．

(1)求及；
(2)证明；
(3)若记，证明是等比数列．
【解析】（1）因为，
所以，，，
， ，
，
因为为线段的中点，所以，
所以，
所以为常数列，
所以；
（2）由（1），
所以；
（3），
又，
所以是公比为，首项为的等比数列．
变式69．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图，已知曲线及曲线．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点，点的横坐标构成数列．
(1)试求与之间的关系，并证明：；
(2)若，求的通项公式．
【解析】（1），从而有，在上，故，
故，
由及，知，下证：，
，故与异号，
，故，故，即；
（2），则，，
两式相除得，，
故是以为首项，以为公比的等比数列，
则，解得．
变式70．（2023·江西·校联考二模）小刚在闲暇之时设计了如下一个“数列”满足：，当为偶数时，，当为奇数时，有的几率为，有的几率为.
(1)求的分布列和数学期望.
(2)求的前n项和的数学期望.
【解析】（1）由题意，，
则有的几率为2，有的几率为3；
则有的几率为1，有的几率为4，有的几率为5；
则有的几率为2，有的几率为3，有的几率为1，有的几率为6，有的几率为7；
则有的几率为1，有的几率为2，有的几率为3，有的几率为4，有的几率为5，有的几率为8，有的几率为9，；
所以的分布列为：
数学期望为.
（2）当时，；
当时，；
当时，由题意可得
，
则，
所以，
又成立，则，
所以 ，
令，则，
即，
令，则，
即，，
数列是以4为首项，公差为10的等差数列，
则，即，
所以，
则，
令，，，
所以，
所以，
即，
所以，
所以，
经检验时均成立，
所以.
变式71．（2023·安徽黄山·统考二模）数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响．
(1)用表示，并求实数，使是等比数列；
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据：）
【解析】（1）由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品的占比分别为．
易知经过次技术更新后，
则，即，
由题意，可设，
所以，
又，
从而当时，是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，，
又，则，
所以经过次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比．
由题意，令，得，
则，
故，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上．
【解题方法总结】
通过相邻两项的关系递推
1．（2023•新课标Ⅰ）数列满足，前16项和为540，则 ．1
【答案】7
【解析】由，
当为奇数时，有，
可得，
，
累加可得
；
当为偶数时，，
可得，，，．
可得．
．
，
，即．
故答案为：7．
2．（2023•乙卷）记为等差数列的前项和，已知，．求的通项公式；
【解析】在等差数列中，，．
，即，
得，，
则．
3．（2023•甲卷）已知数列中，，设为前项和，．求的通项公式；
【解析】当时，，解得，
当时，，
，，
当时，可得，
，
当或时，，适合上式，
的通项公式为；
考点要求
考题统计
考情分析
（1）掌握数列通项的几种常见方法．
2023年 乙卷（文）第18题，12分
2023年甲卷第17题，12分
2023年II卷第18题，12分
高考对数列通项的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列通项问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查.
1
2
3
4
5
8
9