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最新高考数学二轮复习讲义【讲通练透】 专题24 等差数列及其前n项和
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这是一份最新高考数学二轮复习讲义【讲通练透】 专题24 等差数列及其前n项和，文件包含专题24等差数列及其前n项和教师版docx、专题24等差数列及其前n项和学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共90页， 欢迎下载使用。
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2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
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专题24 等差数列及其前n项和
【考点预测】
一．等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．
（2）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
二．等差数列的有关公式
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
（2）等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
三．等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
（1）通项公式的推广：．
（2）在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
（3），…仍是等差数列，公差为．
（4），…也成等差数列，公差为．
（5）若，是等差数列，则也是等差数列．
（6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．
（7）若项数为偶数，则；；．
（8）若项数为奇数，则；；．
（9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．
四．等差数列的前n项和公式与函数的关系
．数列是等差数列⇔（为常数）．
五．等差数列的前n项和的最值
公差为递增等差数列，有最小值；
公差为递减等差数列，有最大值；
公差为常数列．
特别地
若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；
若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
六．其他衍生等差数列．
若已知等差数列，公差为，前项和为，则：
①等间距抽取为等差数列，公差为．
②等长度截取为等差数列，公差为．
③算术平均值为等差数列，公差为．
【方法技巧与总结】
（1）等差数列中，若，则．
（2）等差数列中，若，则．
（3）等差数列中，若，则．
（4）若与为等差数列，且前项和为与，则．
【题型归纳目录】
题型一：等差数列的基本运算
题型二：等差数列的判定与证明
题型三：等差数列的性质
题型四：等差数列前n项和的性质
题型五：等差数列前n项和的最值
题型六：求数列的通项题型七：关于奇偶项问题的讨论
题型八：对于含绝对值的数列求和问题
题型九：利用等差、等比数列的单调性求解
题型十：等差数列中的范围与最值问题
【典例例题】
题型一：等差数列的基本运算
例1．（2022·河南开封·高二期末（理））已知数列，都是等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．1D．2
例2．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ）
A．10B．14C．23D．26
例3．（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A．72B．74C．75D．76
例4．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（ ）
A．B．C．D．
例5．（2022·全国·高三专题练习）设是等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
例6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列中，为数列的前项和，则（ ）
A．115B．110C．D．
【方法技巧与总结】
等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．
题型二：等差数列的判定与证明
例7．（2022•安徽月考）设数列，，，，中的每一项都不为0．证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有．
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
例9．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知首项为2的数列满足，记.
(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式；
(2)求数列的前10项和.
例10．（2022·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；
例11．（2022·山东济宁·二模）已知数列满足，
(1)设，证明：数列为等差数列；(2)求数列的前2n项和.
例12．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知数列的前项和，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
例13．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列的前n项和为，满足：
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．
例14．（2022·安徽阜阳·高三期末（文））记数列的前n项和为，满足，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列满足，求的前n项和.
例15．（2022·安徽淮南·一模（文））已知数列满足，．
(1)求的值并证明数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式并证明：．
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，设数列
(1)求证数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
例17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列{an}满足(1)问数列{an}是否为等差数列或等比数列？说明理由；
(2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式.
例18．（2022·内蒙古呼和浩特·高三阶段练习（理））已知正项数列满足，，且对任意的正整数，是和的等差中项.
(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，且，求数列的通项公式.
例19．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，当时，其前n项和满足：.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若对一切正整数n恒成立，求实数k的最大值.
例20．（2022·全国·高三开学考试（理））已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的通项公式.
【方法技巧与总结】
方法
解读
适合题型
定义法
为同一常数 ⇔是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
成立⇔是等差数列
通项公式法
为常数）对任意的正整数都成立
⇔是等差数列
【注意】如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件．
题型三：等差数列的性质
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．74B．81C．162D．148
例22．（2022·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列的前n项和为，若，，，则m等于（ ）
A．8B．7C．6D．5
例23．（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．60B．75C．90D．105
例24．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
例25．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等差数列中，，是方程的两根，则的前21项的和为（ ）
A．6B．30C．63D．126
【方法技巧与总结】
如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值．
题型四：等差数列前n项和的性质选择、填空题中的判定问题
前项和公式法
验证为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列
例26．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知项数为的等差数列的前项和为，最后项和为，所有项和为，则（ ）
A．B．C．D．
例27．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知等差数列，，，…，，，前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则该数列的项数（ ）
A．26B．30C．36D．48
例28．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））设为等差数列{an}的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
例29．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
例30．（2022·四川凉山·三模（理））等差数列满足且，，若，则（ ）
A．B．C．D．
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．20
例32．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
例33．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．
例34．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例35．（2022·全国·模拟预测）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【方法技巧与总结】
在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．
题型五：等差数列前n项和的最值
例36．（2022·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，其前项和为，且．若存在最大值，则满足的的最大值为_______．
例37．（2022·浙江·高三阶段练习）设公差为的等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，的值为_______.
例38．（2022·江西·高三单元测试（文））等差数列中， 是它的前 项之和，且 ， ，则：①数列的
公差； ②一定小于 ； ③ 是各项中最大的一项；④ 一定是 中的最大
值．其中正确的是______________（填入你认为正确的所有序号）．
例39．（2022·全国·高三专题练习）首项为正数的等差数列，前项和为，且，当________时，取到最大值.
例40．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为______．
例41．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，为的前n项和，则的最小值为______．
例42．（2022·江西赣州·二模（文））已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（ ）
A．2022B．2021C．1012D．1011
例43．（2022·全国·高三专题练习（文））设为等差数列的前项和，.若，则（ ）
A．的最大值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最小值是
例44．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最小值
例45．（2022·全国·高三专题练习）等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例46．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为（ ）
A．7B．8C．9D．8或9
例47．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
例48．（2022·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知是等差数列前项和，，，当取得最小值时（ ）．
A．2B．14C．7D．6或7
例49．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知等差数列的公差是d，且，则的最大值为________．
例50．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
例51．（2022·全国·高三专题练习（文））在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．
设等差数列的前n项和为，且,．
(1)求的最小值；
(2)若数列满足____________，求数列的前10项和．
例52．（2022·福建泉州·高三阶段练习（理））已知数列，，，且，是与的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求的最大值．
例53．（2022·辽宁葫芦岛·一模）记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最大值．
【方法技巧与总结】
求等差数列前项和最值的2种方法（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；
②若，则满足的项数使得取得最小值．
题型六：求数列的通项
例54．（2022·河南·模拟预测（理））已知等差数列的各项均为正数，其前n项和满足，则其通项______．
例55．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
例56．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知数列的前项和为，，现有如下三个条件分别为：条件①；条件②；条件③；请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答.
您选择的条件是___________和___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和.
例57．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知非零数列满足．
(1)若数列是公差不为0的等差数列，求它的通项公式；
(2)若，证明：对任意．
例58．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知数列各项都不为，且满足，
(1)求的通项公式；(2)若，的前n项和为，求取得最小值时的n的值．
例59．（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）等差数列的前项和为，已知，为整数，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
题型七：关于奇偶项问题的讨论
例60．（2022·山东聊城·高三期末）已知数列满足：，，.
(1)记，求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
例61．（2022·河南·罗山县教学研究室高三阶段练习（理））已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.
(1)求，；
(2)设，求数列的前8项和.
例62．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，，前n项和满足．
（1）证明：为等差数列；
（2）求．
例63．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
例64．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知数列满足：
(1)求、、；
(2)将数列中下标为奇数的项依次取出，构成新数列，
①证明：是等差数列；
②设数列的前m项和为，求证：．
例65．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））已知数列的通项公式为
(1)求数列的前项和；
(2)设，求数列的前项和．
例66．（2022·天津静海·高三阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，等差数列数列的前n项和，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)设 ，求数列的前2n项和.
(3)设，，的前n项和，求证：.
例67．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）数列满足，则前项的和______．
例68．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.
【方法技巧与总结】
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
题型八：对于含绝对值的数列求和问题
例69．（2022·全国·高三专题练习（文））记为等差数列的前n项和，．(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
例70．（2022·山西大附中三模（文））已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：； 条件②：； 条件③：.）
选择条件 和 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，并求数列的前项的和
例71．（2022·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，，，.
(1)证明数列为等差数列，并求通项公式；
(2)记，求.
例72．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列的前n项和.
(1)求的通项公式．
(2)的前多少项和最大？
(3)设，求数列的前n项和.
【方法技巧与总结】
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
题型九：利用等差、等比数列的单调性求解
例73．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为___________.
例74．（2022·全国·高三专题练习（理））已知递增数列的前项和为，且满足（），则首项的取值范围为__________．
例75．（2022·上海徐汇·高三阶段练习）已知等差数列的公差，表示的前项和，若数列是递增数列，则的取值范围是________.
例76．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例77．（2022·辽宁丹东·高二期末）已知等差数列的公差为，若为递增数列，则（ ）
A．B．C．D．
例78．（2022•江西二模）已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是 .
例79．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例80．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”．
（2）数列的单调性与，的单调性不完全一致．
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”．题型十：等差数列中的范围与最值问题
例81．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）
A．B．C．D．
例82．（2022·青海·模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，满足，，若数列满足，则m＝（ ）
A．9B．10C．19D．20
例83．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））数列为等差数列，前项的和为，若，，则当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例84．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n是（ ）
A．2021B．4044C．4043D．4042
例85．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例86．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则使得的正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例87．（2022·江西·二模（文））己知等差数列的前n项和是，若公差，则（ ）
A．B．
C．D．
例88．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例89．（2022·河南·模拟预测（文））记为等差数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
例90．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知为等差数列的前项和，且满足，，，若对任意的正整数，恒有，则正整数的值是（ ）
A．1B．4C．7D．10
例91．（2022·北京丰台·二模）设等差数列的前n项和为．若，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例92．（2022·全国·高三专题练习）已知公差非零的等差数列 满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
例93．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（ ）
A．B．C．D．
例94．（2022·浙江省杭州第二中学模拟预测）已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A．B．C．D．
例95．（2022·广东广州·模拟预测（理））首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）A．d>3B．dC．3≤dD．3例96．（2022·湖南师大附中高三阶段练习（理））设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，，则使成立的最大自然数的值为（ ）
A．9B．10
C．18D．19
例97．（2022·全国·高三专题练习）已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题：①公差；②；③；④数列中的最大项为；⑤
其中正确命题的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
例98．（2022·湖北武汉·高三期末（理））若是等差数列的前项和，其首项，， ，则使成立的最大自然数是（ ）
A．198B．199C．200D．201
例99．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是（ ）
A．B．C．D．
例100．（2022·全国·高二课时练习）等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（ ）．
A．第5项B．第6项C．第7项D．无法确定
例101．（2022·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．2
【过关测试】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知等差数列满足，，则的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列中，其前5项的和，等比数列中，则（ ）
A．或B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列中，前4项为1，3，5，7，则数列前10项的和（ ）
A．100B．23C．21D．17
4．（2022·全国·高三专题练习）在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（ ）
A．B．C．D．10
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A．B．1C．2D．4
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，，则（ ）
A．2021B．C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（ ）
A．351B．353C．531D．533
8．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列的前n项和满足，若数列满足，则（ ）
A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2022·全国·高三专题练习）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全国·高三专题练习）公差为d的等差数列满足，，则下面结论正确的有（ ）
A．d＝2B．
C．D．的前n项和为
11．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且，则（ ）
A．d＜0B．a10＝0C．S18＜0D．S8＜S9
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，记的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列__________
14．（2022·上海虹口·二模）已知等比数列的前项和为，公比，且为与的等差中项，.若数列满足，其前项和为，则_________.
15．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））设数列前n项和为，若，，则___________.
16．（2022·全国·高三专题练习）设函数，，．则数列的前n项和______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，．证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
18．（12分）
（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前3项.
(1)求；
(2)设，求的前n项和.
19．（12分）
（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)判断数列中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．
20．（12分）
（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，求证：.
21．（12分）
（2022·山东潍坊·模拟预测）已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．
(1)求的通项公式；
(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
22．（12分）
（2022·福建省福州第一中学三模）设数列的前n项和为，，，.
(1)证明：为等差数列；
(2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和.
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题24 等差数列及其前n项和
【考点预测】
一．等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．
（2）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
二．等差数列的有关公式
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
（2）等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
三．等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
（1）通项公式的推广：．
（2）在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
（3），…仍是等差数列，公差为．
（4），…也成等差数列，公差为．
（5）若，是等差数列，则也是等差数列．
（6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．
（7）若项数为偶数，则；；．
（8）若项数为奇数，则；；．
（9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．
四．等差数列的前n项和公式与函数的关系
．数列是等差数列⇔（为常数）．
五．等差数列的前n项和的最值
公差为递增等差数列，有最小值；
公差为递减等差数列，有最大值；
公差为常数列．
特别地
若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；
若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
六．其他衍生等差数列．
若已知等差数列，公差为，前项和为，则：
①等间距抽取为等差数列，公差为．
②等长度截取为等差数列，公差为．
③算术平均值为等差数列，公差为．
【方法技巧与总结】
（1）等差数列中，若，则．
（2）等差数列中，若，则．
（3）等差数列中，若，则．
（4）若与为等差数列，且前项和为与，则．
【题型归纳目录】
题型一：等差数列的基本运算
题型二：等差数列的判定与证明
题型三：等差数列的性质
题型四：等差数列前n项和的性质
题型五：等差数列前n项和的最值
题型六：求数列的通项题型七：关于奇偶项问题的讨论
题型八：对于含绝对值的数列求和问题
题型九：利用等差、等比数列的单调性求解
题型十：等差数列中的范围与最值问题
【典例例题】
题型一：等差数列的基本运算
例1．（2022·河南开封·高二期末（理））已知数列，都是等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．1D．2
例2．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ）
A．10B．14C．23D．26
例3．（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A．72B．74C．75D．76
例4．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（ ）
A．B．C．D．
例5．（2022·全国·高三专题练习）设是等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
例6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列中，为数列的前项和，则（ ）
A．115B．110C．D．
【方法技巧与总结】
等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．
题型二：等差数列的判定与证明
例7．（2022•安徽月考）设数列，，，，中的每一项都不为0．证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有．
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
例9．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知首项为2的数列满足，记.
(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式；
(2)求数列的前10项和.
例10．（2022·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；
例11．（2022·山东济宁·二模）已知数列满足，
(1)设，证明：数列为等差数列；(2)求数列的前2n项和.
例12．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知数列的前项和，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
例13．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列的前n项和为，满足：
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．
例14．（2022·安徽阜阳·高三期末（文））记数列的前n项和为，满足，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列满足，求的前n项和.
例15．（2022·安徽淮南·一模（文））已知数列满足，．
(1)求的值并证明数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式并证明：．
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，设数列
(1)求证数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
例17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列{an}满足(1)问数列{an}是否为等差数列或等比数列？说明理由；
(2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式.
例18．（2022·内蒙古呼和浩特·高三阶段练习（理））已知正项数列满足，，且对任意的正整数，是和的等差中项.
(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，且，求数列的通项公式.
例19．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，当时，其前n项和满足：.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若对一切正整数n恒成立，求实数k的最大值.
例20．（2022·全国·高三开学考试（理））已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的通项公式.
【方法技巧与总结】
方法
解读
适合题型
定义法
为同一常数 ⇔是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
成立⇔是等差数列
通项公式法
为常数）对任意的正整数都成立
⇔是等差数列
【注意】如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件．
题型三：等差数列的性质
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．74B．81C．162D．148
例22．（2022·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列的前n项和为，若，，，则m等于（ ）
A．8B．7C．6D．5
例23．（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．60B．75C．90D．105
例24．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
例25．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等差数列中，，是方程的两根，则的前21项的和为（ ）
A．6B．30C．63D．126
【方法技巧与总结】
如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值．
题型四：等差数列前n项和的性质选择、填空题中的判定问题
前项和公式法
验证为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列
例26．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知项数为的等差数列的前项和为，最后项和为，所有项和为，则（ ）
A．B．C．D．
例27．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知等差数列，，，…，，，前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则该数列的项数（ ）
A．26B．30C．36D．48
例28．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））设为等差数列{an}的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
例29．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
例30．（2022·四川凉山·三模（理））等差数列满足且，，若，则（ ）
A．B．C．D．
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．20
例32．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
例33．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．
例34．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例35．（2022·全国·模拟预测）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【方法技巧与总结】
在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．
题型五：等差数列前n项和的最值
例36．（2022·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，其前项和为，且．若存在最大值，则满足的的最大值为_______．
例37．（2022·浙江·高三阶段练习）设公差为的等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，的值为_______.
例38．（2022·江西·高三单元测试（文））等差数列中， 是它的前 项之和，且 ， ，则：①数列的
公差； ②一定小于 ； ③ 是各项中最大的一项；④ 一定是 中的最大
值．其中正确的是______________（填入你认为正确的所有序号）．
例39．（2022·全国·高三专题练习）首项为正数的等差数列，前项和为，且，当________时，取到最大值.
例40．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为______．
例41．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，为的前n项和，则的最小值为______．
例42．（2022·江西赣州·二模（文））已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（ ）
A．2022B．2021C．1012D．1011
例43．（2022·全国·高三专题练习（文））设为等差数列的前项和，.若，则（ ）
A．的最大值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最小值是
例44．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最小值
例45．（2022·全国·高三专题练习）等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例46．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为（ ）
A．7B．8C．9D．8或9
例47．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
例48．（2022·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知是等差数列前项和，，，当取得最小值时（ ）．
A．2B．14C．7D．6或7
例49．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知等差数列的公差是d，且，则的最大值为________．
例50．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
例51．（2022·全国·高三专题练习（文））在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．
设等差数列的前n项和为，且,．
(1)求的最小值；
(2)若数列满足____________，求数列的前10项和．
例52．（2022·福建泉州·高三阶段练习（理））已知数列，，，且，是与的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求的最大值．
例53．（2022·辽宁葫芦岛·一模）记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最大值．
【方法技巧与总结】
求等差数列前项和最值的2种方法（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；
②若，则满足的项数使得取得最小值．
题型六：求数列的通项
例54．（2022·河南·模拟预测（理））已知等差数列的各项均为正数，其前n项和满足，则其通项______．
例55．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
例56．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知数列的前项和为，，现有如下三个条件分别为：条件①；条件②；条件③；请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答.
您选择的条件是___________和___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和.
例57．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知非零数列满足．
(1)若数列是公差不为0的等差数列，求它的通项公式；
(2)若，证明：对任意．
例58．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知数列各项都不为，且满足，
(1)求的通项公式；(2)若，的前n项和为，求取得最小值时的n的值．
例59．（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）等差数列的前项和为，已知，为整数，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
题型七：关于奇偶项问题的讨论
例60．（2022·山东聊城·高三期末）已知数列满足：，，.
(1)记，求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
例61．（2022·河南·罗山县教学研究室高三阶段练习（理））已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.
(1)求，；
(2)设，求数列的前8项和.
例62．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，，前n项和满足．
（1）证明：为等差数列；
（2）求．
例63．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
例64．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知数列满足：
(1)求、、；
(2)将数列中下标为奇数的项依次取出，构成新数列，
①证明：是等差数列；
②设数列的前m项和为，求证：．
例65．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））已知数列的通项公式为
(1)求数列的前项和；
(2)设，求数列的前项和．
例66．（2022·天津静海·高三阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，等差数列数列的前n项和，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)设 ，求数列的前2n项和.
(3)设，，的前n项和，求证：.
例67．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）数列满足，则前项的和______．
例68．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.
【方法技巧与总结】
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
题型八：对于含绝对值的数列求和问题
例69．（2022·全国·高三专题练习（文））记为等差数列的前n项和，．(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
例70．（2022·山西大附中三模（文））已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：； 条件②：； 条件③：.）
选择条件 和 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，并求数列的前项的和
例71．（2022·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，，，.
(1)证明数列为等差数列，并求通项公式；
(2)记，求.
例72．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列的前n项和.
(1)求的通项公式．
(2)的前多少项和最大？
(3)设，求数列的前n项和.
【方法技巧与总结】
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
题型九：利用等差、等比数列的单调性求解
例73．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为___________.
例74．（2022·全国·高三专题练习（理））已知递增数列的前项和为，且满足（），则首项的取值范围为__________．
例75．（2022·上海徐汇·高三阶段练习）已知等差数列的公差，表示的前项和，若数列是递增数列，则的取值范围是________.
例76．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例77．（2022·辽宁丹东·高二期末）已知等差数列的公差为，若为递增数列，则（ ）
A．B．C．D．
例78．（2022•江西二模）已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是 .
例79．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例80．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”．
（2）数列的单调性与，的单调性不完全一致．
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”．题型十：等差数列中的范围与最值问题
例81．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）
A．B．C．D．
例82．（2022·青海·模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，满足，，若数列满足，则m＝（ ）
A．9B．10C．19D．20
例83．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））数列为等差数列，前项的和为，若，，则当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例84．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n是（ ）
A．2021B．4044C．4043D．4042
例85．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例86．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则使得的正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例87．（2022·江西·二模（文））己知等差数列的前n项和是，若公差，则（ ）
A．B．
C．D．
例88．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例89．（2022·河南·模拟预测（文））记为等差数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
例90．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知为等差数列的前项和，且满足，，，若对任意的正整数，恒有，则正整数的值是（ ）
A．1B．4C．7D．10
例91．（2022·北京丰台·二模）设等差数列的前n项和为．若，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例92．（2022·全国·高三专题练习）已知公差非零的等差数列 满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
例93．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（ ）
A．B．C．D．
例94．（2022·浙江省杭州第二中学模拟预测）已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A．B．C．D．
例95．（2022·广东广州·模拟预测（理））首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）A．d>3B．dC．3≤dD．3
A．9B．10
C．18D．19
例97．（2022·全国·高三专题练习）已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题：①公差；②；③；④数列中的最大项为；⑤
其中正确命题的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
例98．（2022·湖北武汉·高三期末（理））若是等差数列的前项和，其首项，， ，则使成立的最大自然数是（ ）
A．198B．199C．200D．201
例99．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是（ ）
A．B．C．D．
例100．（2022·全国·高二课时练习）等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（ ）．
A．第5项B．第6项C．第7项D．无法确定
例101．（2022·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．2
【过关测试】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知等差数列满足，，则的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列中，其前5项的和，等比数列中，则（ ）
A．或B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列中，前4项为1，3，5，7，则数列前10项的和（ ）
A．100B．23C．21D．17
4．（2022·全国·高三专题练习）在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（ ）
A．B．C．D．10
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A．B．1C．2D．4
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，，则（ ）
A．2021B．C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（ ）
A．351B．353C．531D．533
8．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列的前n项和满足，若数列满足，则（ ）
A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2022·全国·高三专题练习）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全国·高三专题练习）公差为d的等差数列满足，，则下面结论正确的有（ ）
A．d＝2B．
C．D．的前n项和为
11．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且，则（ ）
A．d＜0B．a10＝0C．S18＜0D．S8＜S9
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，记的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列__________
14．（2022·上海虹口·二模）已知等比数列的前项和为，公比，且为与的等差中项，.若数列满足，其前项和为，则_________.
15．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））设数列前n项和为，若，，则___________.
16．（2022·全国·高三专题练习）设函数，，．则数列的前n项和______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，．证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
18．（12分）
（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前3项.
(1)求；
(2)设，求的前n项和.
19．（12分）
（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)判断数列中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．
20．（12分）
（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，求证：.
21．（12分）
（2022·山东潍坊·模拟预测）已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．
(1)求的通项公式；
(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
22．（12分）
（2022·福建省福州第一中学三模）设数列的前n项和为，，，.
(1)证明：为等差数列；
(2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和.
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