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    2022高考数学选填经典题型汇编 题型15 跨阶同构

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    2022高考数学选填经典题型汇编 题型15 跨阶同构

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    题型15   跨阶同构【方法点拨】跨阶同构的几个关键环节:1.指对各一边,参数是关键,凑形是难点.2.凑形的常用方法:为了实现不等式两边结构相同的目的,需时时对指对式进行改头换面,常用的方法有:,有时也需要对两边同时加、乘某式等.3.常见同构式:1型:2型:. 【典型题示例】1    已知函数,若,则的取值范围是         .【解析】移项得:(说明:将变量移至一边的原则进行变形),两边同时加(x1)得(说明:系数升指数、按左右结构相同的原则进行变形),则,所以单增所以,即,则所以单减,在单增,所以,所以.点评:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数、系数升指数等,把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据相同结构构造辅助函数.2   设实数,若对任意的,不等式恒成立,则的取值范围是                【解法一,即对任意的恒成立.,则恒成立,时,单调递减;当时,单调递增.画出图象为时,此时函数单调递增,,即所以恒成立,恒成立.则当时,单调递增;时,单调递减,时,,结合函数的图象可得恒成立.综上可得实数的取值范围是【解析二】,即对任意的恒成立.时,总有.只需考虑的情形,亦即.(>0),则上为增函数.得,,即,故【解析三】对任意的恒成立.时,总有.只需考虑的情形,亦即.(>1),则上为增函数.得,,即,故【解析四】对任意的恒成立.时,总有.只需考虑的情形,得.(>1),则上为增函数.得,,即,故3   对于任意实数,不等式恒成立,则的取值范围是     .【解析一】变形为(说明:将参数移至一边)两边同时乘x(说明:目的是凑右边的结构)(说明:目的是凑左右两边的结构相同)(#,则单增故由(#)得再令,则,易知当所以,即.【解析二】变形为,易知单增(以下同解法一,从略).点评:1          为了实现不等式两边结构相同的目的,需时时对指对式进行改头换面,常用的恒等变形的方法有:.. .. .有时也需要对两边同时加、乘某式等.2          为常见同构式:为常见同构式:.
    【巩固训练】1.设实数,若对任意的,不等式成立,则实数m的取值范围是(    A B C D2. 设实数,若对任意的,不等式恒成立,则的最大值是(                                                  3.已知函数,(其中a为参数),若对任意x(0),不等式成立,则正实数a的取值范围是          4. 对于任意实数,不等式恒成立,则的最大值是_____.5. 关于的不等式对任意(其中)恒成立,则的取值范围是_____.6. 关于的不等式对任意恒成立,则的取值范围是_____.7.已知函数若对任意的,不等式恒成立,则的取值范围是               
    【答案与提示】1.【分析】把不等式成立,转化为恒成立,设函数,进而转化为恒成立,得出恒成立,构造函数,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.【解析】因为,不等式成立,成立,即进而转化为恒成立,构造函数,可得单调递增,则不等式恒成立等价于恒成立,恒成立,进而转化为恒成立,,可得时,单调递增;时,单调递减,所以当,函数取得最大值,最大值为所以,即实数m的取值范围是.  故选:D.   2. 【提示】变形为构造函数,等价转化为,只需,答案为.3【解析】(构建同构式处理不等式) ,即两边同时加, 为单调增函数 ,即,上单调递减,在上单调递增,,解得4.【答案】e【提示】变形为.5.【答案】【提示】变形为.6.【答案】【提示】变形为,利用.7.【答案】【解析】转化为,则恒成立,单调递增所以,易求得实数的取值范围是 

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