（备战24高考数学）3.（回归教材） 泰勒展开式 及应用

3.泰勒展开式及应用 本讲主要研究以泰勒展开式为背景的导数命题模式. 泰勒展开式应该是高中导数命题中最常用的高等背景，以其为背景的一阶导数（切线）放缩，二阶放缩等活跃于高考试题和各地模考试题中. 本节，我们将通过一些典型例题来展示其中的泰勒身影，探析其中常见的命题手法.一．基本命题原理泰勒展开式（泰勒级数）：多项式：公式：泰勒公式时的麦克劳林公式：几个重要的不等式由泰勒公式，我们可以得到几个重要的不等式：3.1 ；3.2 ；3.3 .二．命题手法展示3.泰勒展开式相加命题例3.（2021八省新高考适应考试）已知函数，.（1）略；（2）若，求.命题手法分析：由泰勒展开：将上述三个式子相加，甩掉二次以上的项，就可以得到不等关系：因此，此题的背景就出来了，结果就是.无独有偶，2021武汉高三毕业班二诊考试的压轴题手法和上面这道高考题目如出一辙，仍在的邻域内做泰勒展开，甩掉高次项从而逼近原函数的形态. 下面我们来做简要分析 例11.（2021武汉高三毕业班二诊）．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若存在实数，使得当时，有能成立，求的值．命题手法分析：由于在处，与的泰勒展开为：这样我们可得函数在处的泰勒展开式为：显然，在的邻域上，的性态由其低次项决定，欲使得；，那么该函数展开式中就不能有2次项，即：，此时，，很明显满足；，于是这个题目就命制出来了，练习2.（2021山东模拟）已知函数.（1）证明：时，；（2）设，若对任意实数，都有，求的值.解析：（2）记，注意到时，. 由于恒成立，故即为函数的极小值点（最小值点）.下面我们将与进行泰勒展开：，，代入的表达式，于是可得：，故在处的泰勒展开：.可以看到，若，则存在实数使得在的邻域满足，这与为函数的极小值点（最小值点）矛盾，故得到.例1.（2022全国甲卷）已知，试比较三个数的大小.解析：根据题意，构造函数.则可以看到：，由于较小，所以对上述三个函数在处进行四阶泰勒展开：；，.显然，在时，，故.例2.（2022新高考1卷）设，试比较三个数的大小.解析：根据题意，构造函数.则可以看到：，由于较小，所以对上述三个函数在处进行二阶泰勒展开：；；.在处，显然，故.当然，这类题目不是第一次出现，2021年全国乙卷就以压轴题的形式出现，解法与今年的大同小异！3.（2021全国乙卷）设，则（ ） B. C. D.解析：显然，故，只需比较大小即可.考虑函数，考虑到两者均是比较在附近的数的大小：与，所以对两个函数在处进行泰勒展开.由上式可得：，，显然，在附近，，故，故选B.点评：此题把握住与的大小比较，在考虑用函数解决时想到泰勒展开应该是很好的一个方法.至于直接讨论的性质，此处不再赘述.