高考数学导数专题-6.参数分离

这是一份高考数学导数专题-6.参数分离，共7页。试卷主要包含了参变办分离，已知在上恒成立，求的取值范围等内容，欢迎下载使用。
一．基本原理
1.零比零（）型，即趋向于某数时，分子、分母趋向于零.
若函数和满足下列条件：
（1）；
（2）在点的某去心邻域内两者都可导，且；
（3）且(可为实数，也可为)，那么：
.
2.无穷比无穷（）型，即趋向于某数时，分子、分母趋向于无穷.
若函数和满足下列条件：
（1）；
（2）在点的某去心邻域内两者都可导，且；
（3）且(可为实数，也可为)，那么：
.
二．典例分析
1.分离参数法解决恒成立问题
例1.（2020全国1卷）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
解析（2）当时，恒成立，当时，恒成立分离参数之后等价于，求导可得：，一方面由于（易证，略），故，代入得：.
习题1.已知函数，，若，且对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B（公众号：凌晨讲数学）
解析：，即.由于对任意恒成立，
所以，即.令，，.令，，
所以在上单调递增，所以，可得，所以在上单调递增.所以. 又，所以.
故选：B.
2.分离参数法解决零点问题
例2.（2022乙卷）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围.
注：这道题目分参过后就引入了洛必达法则，其难度很大！
习题2．（2018全国2卷改编）已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
解析：令，显然，所以，
令（），则问题转化为“若图象与图象有三个交点，求的取值范围”.，令，解得，当或时，，在，单调递增，当时，，在单调递减，
在处取极小值，作出的简图，由图可知，要使直线与曲线有三个交点，则，故实数的取值范围是.故选：C.
3.参变办分离（分离直线）
在利用分离参数时，我们可以使用参变半分，即分离直线的形式来处理.
例3．设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解析：设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
三．习题演练
习题1．已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，若点，分别在，的图象上，则当取最大值时，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
解析：由题可知，曲线与有公共点，即方程有实数解，即有实数解，令，则，所以当时，；当时，，故时，取得极大值，也是最大值，所以，所以，即的最大值为，
此时，设直线与函数的图象相切于点，如图，因为，所以，所以，解得，所以切线方程为，易求得平行线与
之间的距离为，即的最小值为.
习题2. 已知函数.，若方程在有且只有两个解，求实数的取值范围.
解析：.
在上有两个零点，即关于方程在上有两个不相等的实数根.
令，，则.
令，，则，
显然在上恒成立，故在上单调递增.
因为，所以当时，有，即，所以单调递减；
当时，有，即，所以单调递增.
因为，，，
所以的取值范围是.
习题3. 已知函数若当时，不等式恒成立，求的取值范围
解析：由题意可知当时，恒成立，此时
当时，，设，
设，此时
，此时
恒成立，恒成立
在上单调递增
但是当时，型，用洛必达法则；
根据洛必达法则可知
所以的取值范围是
习题4.已知在上恒成立，求的取值范围
解析：当时，恒成立，此时，当时，
设
设，此时单调递增，且
在上恒增又时，型，所以使用洛必达法则
根据洛必达法则，可得所以的取值范围是