高考数学导数专题-5.三次函数图象与应用

这是一份高考数学导数专题-5.三次函数图象与应用，共8页。试卷主要包含了根的个数，极值情况，对称中心，三次方程根与系数得关系等内容，欢迎下载使用。
基本命题原理
对于三次函数而言，其导函数为一个二次函数，那么根据其导函数的基本性质，可将三次函数的图象和性质梳理如下：
1.根的个数（）.
对于三次函数，其导函数为二次函数:
，
二次函数的判别式化简为：△=，
（1）若，则恰有一个实根；
（2）若,且，则恰有一个实根；
（3）若,且，则有两个不相等的实根；
（4）若,且，则有三个不相等的实根.
注：由图像可知：①含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，
即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且
）.
②有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一
为切点，所以，且.
③有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即
有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故且.
2.极值情况：
三次函数（）,导函数为二次函数
，
二次函数的判别式化简为：△=，
（1） 若，则在上为增函数；
（2）若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.
证明：, △=，
（1） 当 即时，在 R上恒成立， 即在为
增函数.
（2） 当 即时，解方程，得
由得或，在和上为增函数.由得
，在上为减函数.
总结以上得到结论:三次函数（）
（1）若，则在上无极值；
（2）若，则在上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.
3.对称中心：
三次函数的对称中心为点，该点是三
次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导数的零点.
4.三次方程根与系数得关系
（1）已知实系数多项式有三个根,设为
（2）由三次方程根与系数的关系：
5.（重根个数定理）已知三次函数，过点做图象的切线，则方程：
①
必有重根. 进一步，若切点为三次函数的对称中心，则方程①的根为三重根，若切点不是三次函数的对称中心，则方程①必有一根为二重根.
证明：设三次函数，则过点做三次函数的切线方程为：. 联立上述两式，即：
可得：，进一步整理可得：
②
显然，必为方程②的一个根.
另一方面，注意到：，则必为下面方程的一个根，
于是，方程②的一个二重根.
进一步，当为三次函数的对称中心时，即，易得方程①的根为三重根.
注：可以看到，切点的横坐标恰好便是方程①的二重根.
二．典例分析
手法1.三次函数图象与性质
例1．（2019全国3卷）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
解析：（1）对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
（2）若在区间有最大值1和最小值-1，所以
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.
若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 .
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，即，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，解得，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为
即解得. 综上得或.
手法2.三次函数切线问题
例2. 已知函数在处取得极小值.
（1）求实数的值；
（2）过点是否可以做曲线的三条切线，并说明理由.
解析：（1）.
（2）设过点切线的切点为,则切线的斜率,
所以切线的方程为.
若切线过点,则方程为①,将代入①,则,则，即,故,可得,,所以切点有3个,所以过点可作曲线的三条切线.
小结：
1.过三次函数图象上一点做该函数图象的切线.
（1）过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；
（2）过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条.
上述结论在前两节已经证明，此处不再赘述.
2.过三次函数图象所在平面区域上一点做该函数图象的切线.
如图，设三次函数图像在其对称中心处的切线为，是三次函数图像所在平面上的一点，则
（1）过点在区域（II）（IV）能且仅能作的两条切线.
（2）若点在区域（I）（III）能且仅能作的三条切线.
手法3.三次函数的零点问题
下面这道题目是2020年三卷的导数压轴题，其实质考察了三次函数的零点分布.但其却
具有非常丰厚的数学背景，即三次方程根的三角形式，也是此题的命题原理.为此，此题
先用函数思想求解，再给出其命题背景.
例3.（2020全国3卷）设函数，曲线在点处的切线与轴垂直.
（1）求；
（2）若有一个绝对值不大于的零点，证明:所有的零点的绝对值都不大于.
解析：（1）因为，由题意，，即,则.
（2）由（1）可得，故，令，得或；令，得，所以在上单调递减，在，上单调递增，且，若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，即或.
当时，，
又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当时，，
又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，所有零点的绝对值都不大于1.
手法4.三次方程韦达定理
同样是2020年全国三卷23题，不等式选做题，依然以三次方程根与系数的关系命制而
成，下面予以分析，希望各位读者在高三备考时重视对三次方程根与系数关系的认识程度，
有备无患！
例4.（2020全国3卷）设.
证明：；
用表示中的最大值，证明：.
解析：由三次方程根与系数的关系：
即方程有三个根，假设，则，当时，函数在上单调，不会有三个根，故.
（2）略.