第11章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第7节 正态分布 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量
1.正态分布的定义及表示若随机变量X的概率分布密度函数为 ,x∈R,则称随机变量X服从正态分布,记为__________. 
(2)正态曲线特点①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.②曲线与x轴之间的区域的面积为1.③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.④曲线在x=μ处达到峰值(最大值) .⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.⑥当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中,如图1所示;σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图2所示.
3.3σ原则假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈__________. (2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈__________. (3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈__________. 
常用结论正态分布的均值与方差若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为E(X)=μ,D(X)=σ2.
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.正态曲线是一条“钟”形曲线.(　　)2.服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.(　　)3.正态曲线落在区间[μ-3σ,μ+3σ]之外的部分对应事件的概率很小,接近于0.(　　)
题组二 回源教材4.(人教A版选择性必修第三册习题7.5第2题改编)某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,52),随机选择一名该市高二年级的男生,则其身高落在区间(175,180)内的概率约为(　　)(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5) 6 8 4
5.(人教A版选择性必修第三册7.5节练习第1题)设随机变量X~N(0,1),则X的密度函数为__________,P(X≤0)=__________,P(|X|≤1)=__________,P(X≤1)=__________,P(X>1)=__________.(精确到0.000 1) 
题组三 连线高考6.(2015·山东,理8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　)(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5) 6 9 8 4
7.(2022·新高考Ⅱ,13)随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(22.5)=__________. 
解析 由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2