第8章 立体几何与空间向量 第6节 第1课时　线线角与线面角 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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2.利用空间向量求角(1)异面直线所成的角两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说,若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则
异面直线所成角只能是锐角或直角,所以加“绝对值”
(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则 
线面角与两个向量所成的锐角是互余的关系
(3)平面与平面的夹角平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则
误区警示利用公式求二面角的平面角时,要注意与二面角大小的关系是相等还是互补,需要结合图形进行判断.
常用结论最小角定理:cs θ=cs θ1cs θ2.如图,若OA为平面α的一条斜线,O为斜足,OB为OA在平面α内的射影,OC为平面α内的一条直线,其中θ为直线OA与OC所成的角,θ1为直线OA与OB所成的角,即线面角,θ2为直线OB与OC所成的角,那么cs θ=cs θ1cs θ2.
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.设a,b是异面直线l1,l2的方向向量,则直线l1与l2所成的角就是向量a,b的夹角.(　　)2.设a是直线l的方向向量,b是平面α的法向量,则直线l与平面α所成的角就是向量a,b的夹角.(　　)3.设a,b是两个平面α,β的法向量,则α与β所成的二面角的大小等于向量a,b的夹角的大小.(　　)
题组二 回源教材5.(人教A版选择性必修第一册1.4.2节练习2(1)(2)改编)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点.则
(1)点A1到直线B1E的距离为__________; (2)直线FC1到直线AE的距离为__________. 
6.(人教A版选择性必修第一册习题1.4第2题改编)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC, AB=AC=1,AA1=2.以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则平面BCC1B1的法向量为______________________. 
(1,1,0)(答案不唯一)
题组三 连线高考7.(1992·全国,理14)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN夹角的余弦值为(　　)
解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系.
8.(2005·辽宁,14)如图,正方体的棱长为1,C,D分别是两条棱的中点,A,B,M是顶点,那么点M到截面ABCD的距离是__________. 
第1课时　线线角与线面角
考点一 异面直线所成的角
解析 以点A为原点,AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,令PA=AB=6,而E,F分别是棱CD,PA的中点,则B(6,0,0),C(6,6,0),P(0,0,6),E(3,6,0),F(0,0,3),
解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
考点二 直线与平面所成的角
例2(2023·全国甲,理18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1.
(1)证明:A1C=AC;(2)已知AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
(1)证明 ∵A1C⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又A1C,AC⊂平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC⊂平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如图,过点A1作A1O⊥CC1交CC1于点O,又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,∴A1O⊥平面BCC1B1.∵A1到平面BCC1B1的距离为1,∴A1O=1.∵A1C⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴A1C⊥AC.又A1C1∥AC,∴A1C⊥A1C1.又CC1=AA1=2,
(方法2　空间向量法)∵A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴A1C,AC,BC两两垂直.如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系.
(1)证明:BD⊥PA;(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PD⊥BD.取AB的中点E,连接DE.
∴BD⊥AD.∵PD⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,且PD∩AD=D,∴BD⊥平面PAD.又PA⊂平面PAD,∴BD⊥PA.