2025高考数学一轮复习-第37讲-第1课时-线线角与线面角【课件】

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1．在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是(　　)
如图，建立空间直角坐标系．
以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在BB1，DD1上，且A1C⊥平面AEF，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，则平面AEF和平面D1B1BD夹角的余弦值为(　　)
4．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，已知AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　)
5．若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为(　　)
1．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两条异面直线l1，l2的方向向量．
3．平面与平面的夹角的求法如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
5．点面距的求法(1) 定义法：自点向平面作垂线，利用三角形知识求垂线段的长度；(2) 等积法：利用体积相等求棱锥的高，如VP-ABC＝VA-PBC.
说明：线面距和面面距可转化成点面距求解．
第1课时　线线角与线面角
如图，等边三角形ABC的边长为3，DE⊥AB分别交AB，AC于D，E两点，且AD＝1，将△ADE沿DE折起(点A与P重合)，使得平面PED⊥平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为(　　)
由题意可知DB，DE，DP两两垂直，以D为坐标原点，DB，DE，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．
以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设PA＝AB＝6，则B(6，0，0)，C(6，6，0)，P(0，0，6)，E(3，6，0)，F(0，0，3).
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距离为1.(1) 求证：AC＝A1C；
因为A1C⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，所以A1C⊥BC.又∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.又AC∩A1C＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1.又BC⊂平面BCC1B1，所以平面BCC1B1⊥平面ACC1A1，且交线为CC1.
如图(1)，过A1作CC1的垂线，垂足为M，则A1M⊥平面BCC1B1.又A1到平面BCC1B1的距离为1，所以A1M＝1.
在△A1CC1中，A1C⊥A1C1，CC1＝AA1＝2＝2A1M，所以M为CC1的中点，又M为垂足，所以△A1CC1为等腰三角形，所以A1C1＝A1C，进而A1C＝AC.
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距离为1.(2) 若直线AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
方法一：由(1)知，CA，CB，CA1两两垂直，如图(2)，建立空间直角坐标系Cxyz.
过C作CH⊥A1A，则H为AA1的中点．连接BH，则BH⊥AA1.
方法二：连接A1B，AC1.因为AC＝A1C，BC⊥A1C，BC⊥AC，所以Rt△ACB≌ Rt△A1CB，所以BA＝BA1.过B作BD⊥AA1，交AA1于D，则D为AA1中点．
如图(3)，延长AC，使AC＝CQ，连接C1Q，由CQ∥A1C1，CQ＝A1C1知四边形A1CQC1为平行四边形，所以C1Q∥A1C，所以C1Q⊥平面ABC.
如图，过点E作EF′∥AB交PA于点F′，连接DF′.因为底面ABCD为正方形，所以AB∥CD，则EF′∥CD，所以C，D，E，F′四点共面，即平面CDE延伸至平面CDF′E，所以F′即为棱PA与平面CDE的交点F，所以AB∥EF.
因为PD⊥平面ABCD，且底面ABCD为正方形，所以DA，DC，DP两两垂直.
直线与平面所成角的探索性问题
因为侧面A1B1BA为菱形，所以A1B⊥AB1.又因为A1B⊥AC，AC∩AB1＝A，AC，AB1⊂平面AB1C，所以A1B⊥平面AB1C.
因为平面A1B1BA⊥平面ABC，平面A1B1BA∩平面ABC＝AB，B1O⊂平面A1B1BA，所以B1O⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC，所以B1O⊥AC.
方法二：设A1B∩AB1＝F.因为A1B⊥平面AB1C，A1B⊂平面A1BE，所以平面A1BE⊥平面AB1C，EF为交线．
1．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB，AD＝3AB，则PC与底面ABCD所成角的正切值为(　　)
如图，因为PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，所以PA⊥AC，所以PC与底面ABCD所成的角为∠PCA.
如图，过点A作AO⊥底面BCD，垂足为O，连接AN，ON，OC，过点M作MG⊥OC，垂足为G，连接NG.
2．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E是棱PD的中点，则异面直线PC与BE所成角的余弦值为(　　)
方法一：不妨取PA＝PB＝PC，如图，把PA放在正方体中，PA，PB，PC的夹角均为60°，建立如图(1)所示的空间直角坐标系，
方法二：如图(2)，过点C作CQ⊥平面PAB，由题知Q在∠BPA的平分线上，过Q作QD⊥PA，连接CD.
6．在正四棱锥S-ABCD中，已知O为顶点在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角为________．
三、 解答题7．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点．(1) 若BF∥平面ACE，求EF的长度；
如图(1)，连接BD交AC于点O，连接OE.
7．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点．
(1) 求证：DD1∥平面AB1C；
(1) 如图，连接BD交AC于点O，连接OB1，B1D1.
(2) 若B1A＝B1C，求直线BC1与平面AB1C所成角的正弦值．
因为B1A＝B1C，O为AC的中点，所以OB1⊥AC.又平面AB1C⊥平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，OB1⊂平面AB1C，所以OB1⊥平面ABCD，又OB1∥DD1，所以DD1⊥平面ABCD.
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，PA＝AD＝2，AB＝4，M，N分别是线段AB，PC的中点．(1) 求证：MN∥平面PAD.
如图，取PB中点E，连接ME，NE.因为M，N分别是线段AB，PC的中点，所以ME∥PA.
又因为ME⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以ME∥平面PAD，同理得NE∥平面PAD.又因为ME∩NE＝E，所以平面PAD∥平面MNE. 因为MN⊂平面MNE，所以MN∥平面PAD.
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，PA＝AD＝2，AB＝4，M，N分别是线段AB，PC的中点．
因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为PA⊥平面ABCD，所以AP，AB，AD两两垂直．以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，