第6章 数列 素能培优(十一) 数列中的增项、减项问题 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

这是一份第6章 数列 素能培优(十一) 数列中的增项、减项问题 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt，共13页。PPT课件主要包含了探究一增项问题，探究二减项问题等内容，欢迎下载使用。

例1(2024·浙江金华模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且Sn+1=2Sn+n+3.数列{bn}满足b1=1,bn+1=(1+ )bn(n∈N*).(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)将数列{bn}中的项按从小到大的顺序依次插入数列{an}中,在任意的ak,ak+1之间插入2k-1项,从而构成一个新数列{cn},求数列{cn}的前100项的和.
解 (1)Sn+1=2Sn+n+3,当n≥2时,Sn=2Sn-1+n+2,两式相减得an+1=2an+1.又因为a1+a2=2a1+4,所以a2=7=2a1+1,满足上式.所以an+1+1=2(an+1).又a1+1=4,所以{an+1}是以4为首项,2为公比的等比数列,所以an+1=4·2n-1,即an=2n+1-1.
=(2n-1)·b1b2b3…bn-1,所以bn=2n-1.又b1=1符合上式,所以bn=2n-1.
(2)设100项中,来自数列{an}中的有m项.若第100项来自{an},则应有m+2×1-1+2×2-1+…+2(m-1)-1=100,整理可得m2-m-99=0,该方程没有正整数解,不满足题意;若第100项来自{bn},则应有m+2×1-1+2×2-1+…+2m-1≥100,整理可得,m2+m-100≥0.当m=9时,92+9-100=-10<0,不满足,当m=10时,102+10-100=10>0,故m=10.所以数列{cn}中含有10项数列{an}中的项,含有90项数列{bn}中的项.所以c1+c2+…+c100=a1+a2+…+a10+(b1+b2+…+b90)=22-1+23-1+…+211-1+1+3+5+…+2×90-1=22+23+…+211-10+1+3+5+…+179
例2已知数列{an}的前n项和为Sn,且n,an,Sn成等差数列,bn=2lg2(1+an)-1.(1)证明数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}中去掉数列{an}的项后余下的项按原顺序组成数列{cn},求c1+c2+…+c50的值.
解 (1)因为n,an,Sn成等差数列,所以Sn+n=2an,①所以Sn-1+(n-1)=2an-1(n≥2).②①-②得an+1=2an-2an-1,所以an+1=2(an-1+1)(n≥2).又当n=1时,S1+1=2a1,所以a1=1,所以a1+1=2,故数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.所以an+1=2·2n-1=2n,即an=2n-1.
(2)根据(1)知bn=2lg2(1+2n-1)-1=2n-1,b1=1,所以bn+1-bn=2,所以数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.又因为a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,a5=31,a6=63,a7=127,b50=99,b56=111,所以c1+c2+…+c50=(b1+b2+…+b56)-(a1+a2+…+a6)
[对点训练2](2024·山东济南模拟)已知等差数列{an}是递增数列,a1+a5=18, a1,a3,a9分别为等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)删去数列{bn}中的第ai项(其中i=1,2,3,…),将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn},求数列{cn}的前n项和Sn.