第6章 数列 第3节 等比数列及其前n项和 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

这是一份第6章 数列 第3节 等比数列及其前n项和 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt，共36页。PPT课件主要包含了目录索引，同一个常数，G2ab，a1qn-1等内容，欢迎下载使用。

研考点 精准突破
强基础 固本增分
等比数列中的任何一项都不为0,且公比q≠0
(2)等比中项:若三个数a,G,b成等比数列,则G叫做a与b的等比中项,且有____________. 
微点拨(1)若一个数列是常数列,则此数列一定是等差数列,但不一定是等比数列,如:0,0,0,….(2)在等比数列中,从第二项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等比中项,即an+1an-1= (n∈N*,n≥2).
微思考任意两个实数都有等比中项吗?
提示 不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.
2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=__________(n∈N*). 
误区警示在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1进行分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.
微点拨当q>1,a1>0或01,a1<0或00时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.
不能认为在任何等比数列中,都有Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.G为a,b的等比中项⇔G2=ab.(　　)2.满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(　　)3.数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.(　　)
5.(人教A版选择性必修第二册第34页4.3.1节练习第1(1)题改编)在9与243中间插入2个数,使这4个数成等比数列,则这2个数为__________. 
解析 设该数列的公比为q,由题意知,243=9·q3,q3=27,∴q=3.∴插入的2个数分别为9×3=27,27×3=81.
6.(人教A版选择性必修第二册第37页4.3.2节练习第4题改编)已知三个数成等比数列,它们的和等于14,积等于64,则这个等比数列的公比等于__________. 
题组三 连线高考7.(2023·全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4=(　　)
8.(2021·全国甲,文9)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(　　)A.7B.8C.9D.10
解析 易知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列.∵S2=4,S4-S2=6-4=2,∴S6-S4=1,∴S6=1+S4=1+6=7.
考点一 等比数列基本量的运算
例1(1)(2022·全国乙,理8)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=(　　)A.14B.12C.6D.3
(2)(2023·全国甲,文13)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为__________. 
解析 已知{an}为等比数列,设首项为a1,公比为q,若q=1,则Sn=na1.有8S6=48a1,7S3=21a1.∵a1≠0,∴q≠1.
规律方法解决等比数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等比数列的基本量为首项a1和公比q,通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含a1,q,n, an, Sn 五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q 表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)分类讨论思想:若题目中公比q 未知,则运用等比数列前n 项和公式时要对q 分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
[对点训练1](2023·天津,5)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an+1=2Sn+2,则a4=(　　)A.16B.32C.54D.162
解析 由题意知,当n=1时,a2=2S1+2=6;当n≥2时,an+1=2Sn+2,则an=2Sn-1+2,两式相减得an+1=3an.又a2=3a1,a1=2,所以{an}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以a4=54.故选C.
考点二 等比数列的判定与证明
例2已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}与{bn}的通项公式.
变式探究2(变条件变结论)若本例变为:设Sn为数列{an}的前n项和,已知Sn+1=4an+2(n∈N*),a1=1,求证:数列{an+1-2an}是等比数列.
证明 设bn=an+1-2an,因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,
因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.所以b1=a2-2a1=3≠0.所以数列{an+1-2an}是首项为3,公比为2的等比数列.
[对点训练2]已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1= an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中n∈N*,λ为实数.(1)对于任意实数λ,证明:数列{an}不是等比数列;(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.
考点三 等比数列的性质(多考向探究预测)
考向1 等比数列项的性质例3(1)(2024·山东聊城模拟)若{an}为等比数列,则“a3,a7是方程x2+6x+4=0的两根”是“a5=-2”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(2)(2023·全国乙,理15)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=__________. 
解析 (方法1)设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,
(方法2)设{an}的公比为q.由a2a4a5=a3a6,可得a2=1.又因为a9a10=a2q7·a2q8=-8,即q15=-8,得q5=-2,则a7=a2·q5=-2.
考向2 等比数列前n项和的性质例4(1)(2023·新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(　　)A.120B.85C.-85D.-120
(2)已知正项等比数列{an}共有2n项,它的所有项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=__________. 
解析 设等比数列{an}的奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=q(a1+a3+…+a2n-1)=qS奇.由S2n=3S奇,得(1+q)S奇=3S奇.因为an>0,所以S奇>0,所以1+q=3,q=2.
[对点训练3](1)(2024·黑龙江鸡西模拟)等比数列{an}的各项均为正数,且a7a12+a8a11=18,则lg3a1+lg3a2+…+lg3a18=(　　)A.17B.18C.19D.20
解析 因为等比数列{an}的各项均为正数,且a7a12+a8a11=18,由等比数列的性质可得a7a12+a8a11=2a7a12=18,所以a7a12=9,即a1a18=a2a17=…=a7a12=…=a9a10=9,因此lg3a1+lg3a2+…+lg3a18=lg3(a1a2…a18)=lg3(a7a12)9=lg399=lg3318=18.
解析 设S4=x(x≠0),则S8=7x.因为{an}为等比数列,易知q≠-1,根据等比数列的性质,可得S4,S8-S4,S12-S8仍成等比数列.