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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数课文配套课件ppt
展开1.理解函数奇偶性的定义;2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法;3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题.
知识点一 函数奇偶性的几何特征思考 下列函数图像中,关于y轴对称的有哪些?关于原点对称的呢?
问题导学 新知探究 点点落实
答案 ①②关于y轴对称,③④关于原点对称.一般地,图像关于y轴对称的函数称为 函数,图像关于原点对称的函数称为 函数.
知识点二 函数奇偶性的定义思考1 为什么不直接用图像关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性?答案 因为很多函数图像我们不知道,即使画出来,细微之处是否对称也难以精确判断.思考2 利用点对称来刻画图像对称有什么好处?答案 好处有两点:(1)等价:只要所有点均关于y轴(原点)对称,则图像关于y轴(原点)对称,反之亦然.(2)可操作:要判断点是否关于y轴(原点)对称,只要代入解析式验证即可,不知道函数图像也能操作.
函数奇偶性的概念:(1)偶函数:如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫作偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x,f(x))关于y轴的对称点(-x,f(x))也在f(x)图像上.(2)奇函数:如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫作奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x,f(x))关于原点的对称点(-x,-f(x))也在f(x)图像上.
f(-x)=-f(x)
知识点三 奇偶性与单调性思考 观察偶函数y=x2与奇函数y= 在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性,你有何猜想?答案 偶函数y=x2在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性相反;奇函数y= 在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性相同.
一般地,(1)若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上是 函数,且有最小值 .(2)若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)上是 .(3)知道了函数的奇偶性,我们可以先研究函数的一半,再利用对称性了解其另一半,从而减少工作量.
题型探究 重点难点 个个击破
类型一 如何证明函数的奇偶性
证明 因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1},∴对于定义域内的-1,其相反数1不在定义域内,
(2)证明f(x)=(x+1)(x-1)是偶函数;证明 函数的定义域为R,因函数f(x)=(x+1)(x-1)=x2-1,又因f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以函数为偶函数.
证明 定义域为{-1,1},因为对定义域内的每一个x,都有f(x)=0,
即该函数既是奇函数又是偶函数.
证明 定义域为{x|x≠0}.若x<0,则-x>0,∴f(-x)=1,f(x)=-1,∴f(-x)=-f(x);若x>0,则-x<0,∴f(-x)=-1,f(x)=1,∴f(-x)=-f(x);即对任意x≠0,都有f(-x)=-f(x).∴f(x)为奇函数.
(5)已知f(x)的定义域为R,证明g(x)=f(-x)+f(x)是偶函数.证明 ∵f(x)的定义域为R,∴g(x)=f(-x)+f(x)的定义域也为R.对于任意x∈R,都有g(-x)=f[-(-x)]+f(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),∴g(x)是偶函数.反思与感悟 利用定义法判断函数是不是偶函数时,首先应看函数定义域是否关于原点对称,即对于定义域内的任意一个x的值,则-x也一定是定义域内的一个值.
故f(x)为非奇非偶函数.(2)证明f(x)=x|x|是奇函数;证明 函数的定义域为R,因f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数为奇函数.
证明 定义域为{x|x≠0}.若x<0,则-x>0,∴f(-x)=x2,f(x)=-x2,∴f(-x)=-f(x);若x>0,则-x<0,∴f(-x)=-(-x)2=-x2,f(x)=x2,∴f(-x)=-f(x);即对任意x≠0,都有f(-x)=-f(x).∴f(x)为奇函数.
类型二 如何判断函数的奇偶性例2 (1)f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,试判断y=f(x)+g(x),y=f(x)g(x),y=f[g(x)]的奇偶性;解 ∵f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)],y=f(x)+g(x)是奇函数.f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x),y=f(x)g(x)是偶函数.f[g(-x)]=f[-g(x)]=-f[g(x)],y=f[g(x)]是奇函数.(2)判断f(x)=x3+3x的奇偶性;解 ∵y=x3,y=3x都是奇函数,由(1)知f(x)=x3+3x是奇函数.(3)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数,求实数b,d的值.解 由(1)知当b=d=0时,f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数.
判断函数单调性要比证明灵活得多,可以借助图像,也可借助已知奇偶性的函数,在此基础上判断其和、差、积、商、复合的奇偶性.
跟踪训练2 (1)f(x),g(x)定义在R上,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,试判断y=f(x)g(x),y=f[g(x)]的奇偶性;解 ∵f(x),g(x)定义在R上,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),y=f(x)g(x)是奇函数.f[g(-x)]=f[g(x)],y=f[g(x)]是偶函数.
解 ∵y=x2+1是偶函数,y=x是奇函数,
(3)已知f(x),g(x)均为奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5(ab≠0),求F(x)在(-∞,0)上的最小值.解 ∵f(x),g(x)均为奇函数,∴y=af(x)+bg(x)是奇函数.设x<0,则-x>0.由F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5(ab≠0),∴F(-x)=af(-x)+bg(-x)+2≤5,∴af(-x)+bg(-x)≤3,∴af(x)+bg(x)≥-3,∴af(x)+bg(x)+2≥-3+2=-1.即F(x)在(-∞,0)上的最小值为-1.
类型三 奇(偶)函数图像的对称性的应用例3 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图像如图所示.(1)画出f(x)的图像;解 先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)的图像如右图,(2)解不等式xf(x)>0.解 xf(x)>0即图像上横坐标、纵坐标同号.结合图像可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).
反思与感悟 鉴于奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称,可以用这一特性去画图、求值,求解析式,研究单调性.
试画出f(x)的图像,并指出其单调区间.解 显然当x>0时,f(x)>0.又y=x2+1为偶函数,y=x为奇函数,
1.函数f(x)=0(x∈R)是( )A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数
2.函数f(x)= 的奇偶性是( )A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数
3.函数f(x)=x(-1
5.下列说法错误的个数是( )①图像关于原点对称的函数是奇函数;②图像关于y轴对称的函数是偶函数;③奇函数的图像一定过原点;④偶函数的图像一定与y轴相交;⑤既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).A.4 B.3 C.2 D.0解析 ①,②正确;
f(x)=0(x∈[-1,1])既是奇函数,又是偶函数,⑤错.
1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数;如果都有f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数.2.两个性质:函数为奇函数⇔它的图像关于原点对称;函数为偶函数⇔它的图像关于y轴对称.3.证明一个函数是奇函数,必须对f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x).而证明一个函数不是奇函数,只要能举出一个反例就可以了.4.已知函数奇偶性,在研究函数的图像与性质时,可先研究一半,再用对称性研究另一半.
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