四川省泸州市合江县合江少岷初中2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（每小题3分，共36分）
1. 下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
D、既是中心对称图形，又是轴对称图形．故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 新的一年到来了，中考也临近了，你是否准备好了？请选出2023的相反数是（ ）
A. B. C. 2023D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【详解】解：实数2023的相反数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
3. 年庆阳市共有名九年级学生参加中考，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：用科学记数法表示为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 四个数2、3、5、4的中位数为4
B. 想了解郏县初三学生备战中考复习情况，应采用普查
C. 一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大
D. 从初三体考成绩中抽取100名学生的体考成绩，这100名考生是总体的一个样本
【答案】C
【解析】
【分析】由中位数定义判断选项A，由调查方式的选择方法判断选项B，由方差的意义判断选项C，由样本的定义判断选项D．
【详解】A、四个数2、3、5、4的中位数为3.5；故本选项错误；
B、了解郏县初三学生备战中考复习情况，应采用抽查；故本选项错误；
C、一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大；故本选项正确；
D、从初三体考成绩中抽取100名学生的体考成绩，这100名考生的体考成绩是总体的一个样本；故本选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查中位数定义、全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量及方差意义，解题的关键是熟练掌握并理解所学知识．
5. 我们知道：五边形具有不稳定性，小文将正五边形沿箭头方向向右推，使点B线段AC上，若，则（ ）
A. 减小了B. 增加了C. 减少了D. 增加了
【答案】B
【解析】
【分析】延长，交于点F，说明是的中位线，得到条件证明为等边三角形，从而计算变形前后的度数，即可求解．
详解】解：如图，延长，交于点F，则，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
图（1）中，，
∴增加了，
故选B．
【点睛】本题考查了中位线定理，等边三角形的判定和性质，正多边形的性质，解题的关键是判断出为等边三角形．
6. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ）
A. ①，对角相等B. ③，有一组邻边相等
C. ②，对角线互相垂直D. ④，有一个角是直角
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果．
【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意；
B、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．
故选：A.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，解本题的关键在熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．
7. 在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中，回顾了作图的过程，他发现，小华得到全等的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由作法易得，，，由的判定定理可以得到三角形全等，从而求解．
【详解】解：在与中，
，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8. 施工队要铺设1500米的管道，因在中考期间需停工3天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工米，所列方程正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先表示出实际每天铺设的管道长度，再表示出原计划和实际所需时间，然后根据原计划所需时间-实际所需时间=3列出方程即可．
【详解】解：根据题意，得
.
故选：A．
【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是解题的关键．
9. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（ ）
A. 7B. 11C. 12D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】由m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，可知，，，根据以及二次函数的最值，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，
∴，
解得，，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴的最小值为16，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数最值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（ ）
A. B. 8C. 10D. 34
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和3的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接AB，则的最小值为AB，再利用勾股定理计算出AB即可．
【详解】解：如图：可以可看作两直角边分别是和3的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接AB，则的最小值为AB，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为10，
故选：C
【点睛】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答．
11. 如图，的两条高线AD、BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则与面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理，三角形中位线性质，相似三角形的判定与性质，掌握垂径定理、三角形中位线性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
过点O作于P，连接，可得P为中点，根据、、可得是中位线且，从而得出，根据得，由相似三角形的性质即可知答案．
【详解】解：如图，过点O作于P，连接，
∴P为中点，
∵，
∴，即，
又∵，且，
∴，且F为中点，
∴、，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：D．
12. 已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到二次函数的图象，使得当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出平移后的函数解析式，然后结合二次函数的增减性与对称轴的关系可求．
【详解】∵把向右平移个单位，得到二次函数的图象，
∴
∴新图象的对称轴为直线，
∵当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小，且抛物线开口向下，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式与公式法综合运用是解题的关键．注意分解因式要彻底．
先提公因式2，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 已知一个扇形的圆心角为，半径为3，将这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为________．
【答案】##
【解析】
【分析】由已知得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径．
【详解】解：∵扇形的弧长，
∴圆锥的底面半径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，熟练掌握其公式是解决此题的关键．
15. 若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数有_________________个．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程．根据题意先将一元一次不等式组解开，利用求出，在解分式方程得出，，继而得到本题答案．
【详解】解：∵整理得：，
∵的不等式组的解集为，
∴，
∵，
等式两边同时乘以得：，
整理得：，
∵关于的分式方程有整数解，
∴，即，
又∵，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，（舍去），
当时，，
∴符合条件的所有整数有：，
故答案为：4．
16. 如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，以为直角边，为直角，在同侧构造，点M为的中点，连接，则的最小值为_________________
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，直角三角形斜边中线性质，角平分线性质等．连接，并延长至，由直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，当时，最小，则可得出答案．
【详解】解∶ 连接，并延长至，
∵，为的中点，
∴，
∵等边，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在的角平分线上运动，
当时，最小，
∴，
故答案为：3．
三、解答题（共72分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先将二次根式化简、分别得出零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查二次根式化简、零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式化简、零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值的化简计算是解决本题的关键．
18. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可．
详解】解：
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
19. 如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据，可得，可证明
【详解】，
，即，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20. 以“赏中华诗词、寻文化基因，品生活之美”为基本宗旨的《中国诗词大会》是央视首档全民参与的诗词节目.某语文科组对本校学生了解《中国诗词大会》的情况进行调查，随机选取部分学生进行问卷调查，问卷设有个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）：.几乎每期都看；.看过几期；听说过，但没看过；没听说过，现绘制了如图的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）本次共问卷调查_________名学生：扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是_________度.
（2）补全图中的条形统计图.
（3）该校选“”的学生中有甲、乙、丙三人最关注该节目，学校决定从这三名学生中随机抽取两名为该节目作宣传，用列表法或画树状图法求同时抽到甲、乙两名学生的概率.
【答案】（1）；；
（2）补图见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）结合扇形统计图和条形统计图的信息即可得到总共调查的学生数和扇形圆心角的度数；
（2）根据调查总人数及各项人数得到的人数进而补充条形统计图；
（3）先利用树状图统计概率，再利用概率的定义即可得到甲、乙两名学生的概率．
【小问1详解】
解：∵项所占的人数为人，项所占的百分数为，
∴本次共问卷调查的学生人数为：（人），
∵项的人数为人，
∴项对应的扇形圆心角是：，
故答案为， ；
【小问2详解】
解：∵项的人数为人，项所占的人数为人，项所占的人数为人，
∴项所占的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：画树状图如下：
图中共有种等可能的结果，同时抽到甲、乙两名学生的情况有种，
∴（同时抽到甲、乙两名学生）．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，概率的统计方法及概率的定义，掌握条形统计图和扇形统计图是解题的关键．
21. 春耕时节，某大型农场为缩短播种时间，安排甲，乙两种型号的播种机进行播种作业．已知一台甲型播种机平均每天比一台乙型播种机多播种2公顷：一台甲型播种机播种5公顷土地与一台乙型播种机播种3公顷土地所用的时间相同．
（1）求一台甲型播种机和一台乙型播种机平均每天各播种土地多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的播种机共10台进行土地播种作业，为保障每天完成不少于40公顷的土地播种任务，至少安排多少台甲型播种机？
【答案】（1）一台甲型播种机平均每天播种5公顷，一台乙型播种机平均每天播种3公顷；
（2）每天至少安排5台甲型播种机
【解析】
【分析】（1）设一台甲型播种机平均每天播种x公顷土地，则一台乙型播种机平均每天播种公顷土地，然后根据一台甲型播种机播种5公顷土地与一台乙型播种机播种3公顷土地所用的时间相同列出方程求解即可；
（2）设每天安排m台甲型播种机，则每天安排台乙型播种机，再根据每天完成不少于40公顷的土地播种任务列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设一台甲型播种机平均每天播种x公顷土地，则一台乙型播种机平均每天播种公顷土地．
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是所列分式方程的解
∴（公顷），
答：一台甲型播种机平均每天播种5公顷，一台乙型播种机平均每天播种3公顷．
【小问2详解】
解：设每天安排m台甲型播种机，
根据题意，得：
解得：，
答：每天至少安排5台甲型播种机．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程，找到不等关系建立不等式是解题的关键．
22. 为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．
（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．
【答案】（1）米；（2）米
【解析】
【分析】（1）由题意可得∠PBQ=60°，然后在Rt△PQB中利用60°的三角函数求解即可；
（2）作于点H，于点M，如图，则四边形AMQH是矩形，设，根据矩形的性质和坡度的定义可用含a的代数式表示出PH和AH，易得∠PAH=30°，然后利用30°角的三角函数即可求出a，再根据勾股定理即可求出结果．
【详解】解：（1）作PD∥QB，如图，由题意得：∠PBQ=∠DPB=60°，
则在Rt△PQB中，，
即米；
（2）作于点H，于点M，如图，则四边形AMQH是矩形，设，
∴HQ=AM=a，AH=MQ，
∴PH=9－a，
∵，
∴，
∴AH=QM=，
由题意得：∠DPA=∠PAH=30°，
在Rt△PAH中，∵，
∴，解得：，
∴AM=2，BM=，
∴米．
∴电子眼区间测速路段AB的长为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的相关知识是解题的关键．
23. 如图，在中，顶点的坐标是．轴，一次函数与反比例函数的图象都经过、两点．
（1）求的值；
（2）求平行四边形的面积．
【答案】（1）；
（2）6；
【解析】
【分析】（1）根据点的纵坐标为1，可得点的坐标，代入反比例函数解析式即可；
（2）把代入一次函数，解方程可得点的坐标，从而得出的坐标是及的长，再由题意，求出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵点的坐标是，轴，
∴点D的纵坐标为1．
∵一次函数图象经过两点，
∴令，解得．
∴，将点代入反比例函数，得
∴．
【小问2详解】
由题意，把代入一次函数，得
，
∴．
∵四边形平行四边形，
∴的坐标是．
由（1）的坐标是，，
∴．
∴平行四边形的面积等于．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，平行四边形的性质等知识，求出点B的坐标是解题的关键．
24. 如图，内接于，是直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F．

（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的半径和的长．
【答案】（1）直线与相切，理由见解析
（2）的半径为，的长为
【解析】
【分析】（1）连接，由角平分线的定义可知，即得出，从而得出．根据垂径定理可知，结合平行线的性质即得，即证明是的切线；
（2）在中，由勾股定理得，再根据，，，即可得出；由直径所对圆周角为直角得出，从而得出，结合等边对等角可证，即易证，得出，整理得．在中，由勾股定理得，即可求出，从而可求．最后根据平行线分线段成比例即得出，代入数据，即可求出的长．
【小问1详解】
解：直线是的切线．理由如下：
如图，连接，

∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，即，
解得：，
∴的半径为；
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
解得：，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题为圆的综合题，考查切线的判定，弧、弦、圆心角的关系，角平分线的定义，垂径定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性强，较难．熟练掌握上述知识，并正确的连接辅助线是解题关键．
25. 如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
（1）求这条抛物线表达式；
（2）过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
（3）点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）,当时，有最大值
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）将，，代入，即可求解；
（2）利用待定系数法求出直线的表达式，即可表示出点E和点G的坐标，从而得出EG再根据解直角三角形求得EF，根据二次函数的最值即可得出答案；
（3）分和两种情况，根据相似三角形的性质得出线段之间的关系求得的值，从而求得点G的坐标．
【小问1详解】
由题意得，
∴
∴；
【小问2详解】
设直线的表达式为，
∵过点，，
∴，
∴，
∴直线的表达式为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴当时，有最大值；
【小问3详解】
存在
∵，，的坐标为，，
∴①当时，，
即，
解得，
此时的坐标为，
②当时，，
即，
解得，
此时的坐标为，
所以，点坐标为或
【点睛】本题考查了二次函数的性质及相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．