初中数学第十八章 平行四边形18.1 平行四边形18.1.1 平行四边形的性质综合训练题

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18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
基础过关全练
知识点1 平行四边形的定义
1.【教材变式·P51T11】如图所示,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,
AC上的点,且DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,则图中平行四边形共有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.停车场的三个车位如图所示,若四边形ABCD是平行四边形,AB∥EF∥GH∥CD,则图中平行四边形共有 个.
知识点2 平行四边形的性质
3.【新独家原创】图1是一面旗帜,图2是其示意图,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段DA的延长线上,若∠C=112°,则∠EAB=
( )

A.38° B.68° C.78° D.112°
4.(2023福建漳州期末)如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,转动其中一张纸条,重合的部分构成了一个四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定成立的是( )
A.AD=AB B.AD=BC
C.∠DAC=∠ACD D.AO=AB
5.【教材变式·P44T1】如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,已知AD=10,BD=14,AC=8,则△OBC的周长为( )
A.16 B.19 C.21 D.28
6.【一题多变·已知平行四边形一个内角的平分线】如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,若AB=5,BC=9,则DE的长为 .
[变式1·已知平行四边形相邻两个内角的平分线]如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,CF平分∠BCD交AD于点F.若AB=5,BC=9,则EF的长为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
[变式2·已知平行四边形一个内角的平分线与一边延长线相交]【“角平分线+平行线”模型】如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,交CD的延长线于点F,若AB=5 cm,BC=9 cm,则DE+DF的长为 .
7.如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别为BC、AD的中点,连接AE、CF、DE.
(1)求证:AE=CF;
(2)若AE=2BE,求证:ED平分∠AEC.
知识点3 两条平行线之间的距离
8.(2023天津模拟)如图,直线a∥b,CD⊥a,CD⊥b,垂足分别为C,D,则a,b之间的距离是( )
A.线段AB的长度 B.线段AB
C.线段CD的长度 D.线段CD
9.(2022湖南常德期末)如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,EG⊥CD于G,∠EFG=45°,FG=6 cm,则AB与CD之间的距离为 cm.
知识点4 平行四边形的面积
10.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,若△ADO的面积是4,则▱ABCD的面积是( )
A.8 B.12 C.16 D.20
11.如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点F,E,若设该平行四边形的面积为2,则图中阴影部分的面积为( )
A.4 B.1
C.12 D.无法确定
12.(2022广东佛山期末)如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若AE=2,AF=3,平行四边形ABCD的周长为20,则平行四边形ABCD的面积为 .
能力提升全练
13.(2023四川广安期中,7,★☆☆)如图,四边形ABCD是平行四边形,∠BAC=90°,BD=10,AC=6,则AB的长为( )
A.4 B.5
C.6 D.8
14.(2022河南洛阳期末,5,★★☆)如图所示,▱ABCD的对角线AC的长为10 cm,∠CAB=30°,AB的长为6 cm,则▱ABCD的面积为( )
A.60 cm2 B.30 cm2
C.20 cm2 D.16 cm2
15.(2022黑龙江齐齐哈尔三中期末,6,★★☆)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=3,AC=2,BD=4,则AE的长为( )
A.32 B.32 C.217 D.2217
16.(2023四川凉山州中考,15,★★☆)如图,▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(1,2),则顶点B的坐标是 .
17.(2022湖北荆州中考,12,★★☆)如图,点E,F分别在▱ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是 .(只需写一种情况)
18.(2020贵州铜仁中考,16,★★☆)设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,则AB与EF的距离等于 .
19.(2022 广东深圳外国语学校期中,16,★★☆)如图,在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=10,BD=12,AB=m,那么m的取值范围是 .
20.(2023福建中考,12,★★☆)如图,在▱ABCD中,O为BD的中点,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F.若AE=10,则CF的长为 .
21.(2022四川成都期末,17,★★☆)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,连接EC.若△CDE的周长为5,则▱ABCD的周长为 .
22.(2023湖南长沙中考,23,★★☆)如图,在▱ABCD中,DF平分∠ADC,交BC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:AD=AF;
(2)若AD=6,AB=3,∠A=120°,求BF的长和△ADF的面积.
素养探究全练
23.【推理能力】如图,四边形ABCD是面积为S的平行四边形.
(1)如图①,点P为AD边上任意一点,则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系是 ;
(2)如图②,设AC、BD交于点P,则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系是 ;
(3)如图③,点P为▱ABCD内任意一点时,试猜想△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系,并加以证明;
(4)如图④,已知点P为▱ABCD内任意一点,△PAB的面积为2,△PBC的面积为8,连接PD,BD,求△PBD的面积.


24.【推理能力】如图1,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,直线EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F,
(1)求证:OE=OF.
(2)若直线EF分别与DC、BA的延长线相交于F、E(如图2),请问(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(3)若平行四边形ABCD的面积为20,BC=10,CD=6,直线EF在绕点O旋转的过程中,线段EF何时最短?并求出EF长度的最小值.
答案全解全析
基础过关全练
1.C ∵DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,
∴题图中平行四边形共有3个:平行四边形ADEF,平行四边形BEFD,平行四边形DECF,故选C.
2.答案 6
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∵AB∥EF∥GH∥CD,∴四边形ABFE、四边形ABHG、四边形EFHG、四边形EFCD、四边形GHCD都是平行四边形,∴题图中平行四边形共有6个.
3.B ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=∠C=112°,
∴∠EAB=180°-∠DAB=180°-112°=68°,故选B.
4.B 由题意可知AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC,故选B.
5.C ∵四边形ABCD是平行四边形,AC=8,BD=14,AD=10,∴OC=OA=4,OB=OD=7,BC=AD=10,
∴△OBC的周长=OB+OC+BC=7+4+10=21.
故选C.
6.答案 4
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形,∴AE∥BC,∴∠AEB=∠EBC,
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AE=AB=5,
∵AD=BC=9,∴DE=AD-AE=9-5=4.
[变式1] A ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AE=AB=5,同理可证DF=DC=AB=5,∵AD=BC=9,∴EF=AE+FD-AD=5+5-9=1.
[变式2] 答案 8 cm
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC=9 cm,
∴∠AEB=∠CBF,∵BE平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF,
∴∠AEB=∠ABF,∴AE=AB=5 cm,同理可得CF=BC=9 cm,
∴DE=9-5=4(cm),DF=9-5=4(cm),∴DE+DF=4+4=8(cm).
方法解读 本题属于“角平分线+平行线”模型.如图,给出以下三个关系:①∠1=∠2;②AD∥BC;③AB=AD(AB,AD为等腰三角形ABD的两腰).从上述三个关系中任意选择两个作为条件,则另一个可以作为结论.此模型在几何推理证明中应用广泛.
7.证明 (1)∵E,F分别为BC,AD的中点,∴EC=12BC,AF=12AD,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠ADC,∴BE=DF,
在△ABE和△CDF中,AB=CD,∠B=∠FDC,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,
又∵AE=2BE,BC=2BE,∴AE=AD,∴∠ADE=∠AED,
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CED,∴∠AED=∠CED,∴ED平分∠AEC.
8.C 根据过一条平行线上的任意一点向另一条平行线作垂线,垂线段的长度叫做两条平行线之间的距离,可知直线a,b之间的距离是线段CD的长度.故选C.
9.答案 6
解析 ∵EG⊥CD,∴∠EGF=90°,
∵∠EFG=45°,∴∠FEG=45°=∠EFG,∴FG=EG,
∵FG=6 cm,∴EG=6 cm,
∴AB与CD之间的距离为6 cm.
10.C 因为平行四边形的对角线互相平分,所以BO=DO,AO=CO,所以△ABO与△ADO是等底同高的三角形,所以△ABO与△ADO的面积相等,同理,△ABO,△ADO,△CDO,△CBO的面积都相等,所以S▱ABCD=4S△ADO=16.
11.B ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,OA=OC,OB=OD,
在△AOB和△COD中,AB=CD,OA=OC,OB=OD,
∴△AOB≌△COD(SSS),∴S△AOB=S△COD,
同理可证△AFO≌△CEO(ASA),△BOE≌△DOF(ASA),
∴S△AFO=S△CEO,S△BOE=S△DOF,
∴S阴影=12S平行四边形ABCD=1.故选B.
12.答案 12
解析 连接AC(图略),设BC=x,则CD=10-x,
易知S△ABC=S△ACD,∴2x=3(10-x),解得x=6,
∴平行四边形ABCD的面积=BC·AE=6×2=12.
能力提升全练
13.A ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=12AC=3,BO=12BD=5,
在Rt△ABO中,根据勾股定理得AB=BO2-AO2=52-32=4,故选A.
14.B 如图,过点C作CH⊥AB交AB的延长线于点H.
∵∠CAB=30°,∴CH=12AC=12×10=5(cm),
∴S▱ABCD=AB·CH=6×5=30(cm2).故选B.
15.D ∵四边形ABCD是平行四边形,AC=2,BD=4,
∴AO=12AC=1,BO=12BD=2,
∵AB=3,∴AB2+AO2=BO2,∴∠BAC=90°,
在Rt△BAC中,BC=AB2+AC2=(3)2+22=7,
∵S△BAC=12AB·AC=12BC·AE,
∴3×2=7AE,∴AE=2217,故选D.
16.答案 (4,2)
解析 如图,延长BC交y轴于点D,
∵四边形ABCO是平行四边形,∴BC=OA,BC∥OA,
∵OA⊥y轴,∴BC⊥y轴,
∵A(3,0),C(1,2),∴BC=OA=3,CD=1,OD=2,
∴BD=CD+BC=1+3=4,∴B(4,2).
17.答案 BE=DF(答案不唯一)
解析 可以添加BE=DF(答案不唯一).
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠A=∠C,AB=CD,∴∠E=∠F,
∵BE=DF,∴BE+AB=DF+CD,即AE=CF,
在△AEG和△CFH中,∠E=∠F,AE=CF,∠A=∠C,
∴△AEG≌△CFH(ASA).
18.答案 7 cm或17 cm
解析 分两种情况:
①当EF在AB,CD之间时,
∵AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,∴AB与EF的距离为12-5=7(cm).
②当EF不在AB,CD之间时,
∵AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,∴AB与EF的距离为12+5=17(cm).
综上所述,AB与EF的距离为7 cm或17 cm.
19.答案 1解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,AC=10,BD=12,
∴OA=OC=5,OD=OB=6,
在△OAB中,OB-OA∴6-520.答案 10
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB,CD∥AB,∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO,
∵O为BD的中点,∴OD=OB,
∴△DOF≌△BOE(AAS),∴DF=BE,
∴CD-DF=AB-BE,∴CF=AE=10.
21.答案 10
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB=CD,AD=BC,
∵OE⊥AC,∴AE=CE,
∴△CDE的周长为CD+CE+DE=CD+AE+DE=CD+AD=5.
∴▱ABCD的周长为2(AD+CD)=10.
22.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠CDE=∠F,
∵DF平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠F=∠ADF,∴AD=AF.
(2)∵AF=AD=6,AB=3,∴BF=AF-AB=3.
过D作DH⊥AF交FA的延长线于H,如图,
∵∠BAD=120°,∴∠DAH=60°,∴∠ADH=30°,
∴AH=12AD=3,∴DH=AD2-AH2=33,
∴△ADF的面积=12AF·DH=12×6×33=93.
素养探究全练
23.解析 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴S△PBC=12S,
∴S△ABP+S△DCP=12S,∴S1+S2=12S.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴PA=PC,BP=DP,∴S△ABP=S△ADP=S△DPC=S△BCP,∴S1+S2=12S.
(3)S1+S2=12S.
证明:如图,作PE⊥AB于E,延长EP交CD于F.
∵AB∥CD,PE⊥AB,∴PF⊥CD,
∴S1+S2=12AB·PE+12CD·PF=12AB·EF=12S.
(4)设△PAD的面积为x,△PDC的面积为y,
则2+y=8+x,∴y-x=6,∴△PBD的面积=8+y-12×(2+8+x+y)=3+12(y-x)=6.
24.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF,
在△AOE和△COF中,∠OAE=∠OCF,AO=CO,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF,∴OE=OF.
(2)成立.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,∴∠E=∠F,
在△AOE和△COF中,∠E=∠F,∠AOE=∠COF,OA=OC,
∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF.
(3)①直线EF在绕点O旋转的过程中,若直线EF与AD,BC相交,则当EF⊥BC时,EF最短.
∵平行四边形ABCD的面积为20,BC=10,
∴S平行四边形ABCD=BC·EF=10EF=20,∴EF=2.
②直线EF在绕点O旋转的过程中,若直线EF与DC、BA所在直线相交,则当EF⊥AB时,EF最短,
同①的方法,得出EF长度的最小值为206=103.
∵103>2,∴直线EF在绕点O旋转的过程中,当EF⊥BC时,EF最短,EF长度的最小值为2.单元大概念素养目标
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