还剩41页未读，
继续阅读
所属成套资源：人教版八年级数学下册培优题型变式训练
成套系列资料，整套一键下载
- 《第十七章 勾股定理》知识串讲+热考题型 试卷 9 次下载
- 人教版八年级数学下册 第十七章 勾股定理单元测试卷 试卷 11 次下载
- 18.1.2 平行四边形的判定试卷 试卷 1 次下载
- 18.2.1 矩形的性质与判定试卷 试卷 1 次下载
- 18.2.1菱形的性质与判定试卷 试卷 0 次下载
初中数学人教版八年级下册18.1.1 平行四边形的性质精品练习
展开
这是一份初中数学人教版八年级下册18.1.1 平行四边形的性质精品练习，共44页。试卷主要包含了1 平行四边形的性质，5C．3D．3等内容，欢迎下载使用。
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
18.1 平行四边形的性质
题型一 利用平行四边形的性质求线段长
【例题1】如图，▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【变式1-2】平行四边形的一边长是9cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）
A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．8cm和10cm D．10cm和12cm
【变式1-3】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝5，DF平分∠ADC交边BC于点F，则BF＝（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【变式1-4】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（ ）
【变式1-5】（2022•苏州模拟）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，求BC的长．
题型二 利用平行四边形的性质求角度
【例题2】在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，则∠B的度数是（ ）
A．140° B．120° C．100° D．40
【变式2-1】在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
【变式2-2】如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝60°，则∠DAE等于（ ）
A．15° B．25° C．30° D．65°
【变式2-3】如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．100° B．120° C．150° D．105°
【变式2-4】如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（ ）
A．84° B．96° C．98° D．106°
【变式2-5】（2022秋•招远市期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数．
题型三 利用平行四边形的性质求周长或面积
【例题3】如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
【变式3-1】（2022秋•黄浦区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 ．
【变式3-2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD，AB于点E、F，连接CF．若△BCF的周长为4，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【变式3-3】（2022秋•张店区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式3-4】（2022•襄汾县一模）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则四边形ABCD的面积为 ．
【变式3-5】（2021春•靖远县期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于F，交DC的延长线于E，过点B作BG⊥AE于点G．
（1）求证：AG＝FG；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四边形ABCD的面积．
题型四 利用平行四边形的性质证明
【例题4】（2023•雁塔区校级一模）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED．若AE＝AB，求证：AC＝DE．
【变式4-1】（2022春•丹凤县期末）已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
【变式4-2】（2022•兴庆区模拟）如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OB、OD上的中点．连接AE、CF．求证：∠DAE＝∠BCF．
【变式4-3】（2022•大武口区校级一模）已知：如图在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM，CM、BA的延长线相交于点E，BM平分∠ABC．求证：BM⊥CE．
【变式4-4】如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO＝DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长．
【变式4-5】（2022春•蓬江区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）求证：AE平分∠DAB；
（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
题型五 两条平行线间的距离及其应用
【例题5】如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（ ）
A． AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长
【变式5-1】如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB，AD的垂线CM，CN，垂足分别为M，N，则直线AB与CD的距离是（ ）
A．CD的长 B．BC的长 C．CM的长 D．CN的长
【变式5-2】（2022春•馆陶县期末）如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（ ）
A．MN B．OE C．EF D．OF
【变式5-3】（2022春•新化县期末）如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，a与b的距离是5cm，b与c距离是2cm，则a与c的距离 ．
【变式5-4】（2022春•顺平县期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
【变式5-5】（2021秋•新罗区校级月考）如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于 ．
题型六 平行四边形与平面直角坐标系的综合
【例题6】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（1，0），（﹣3，0），（0，2），则顶点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣4，2）
【变式6-1】▱ABCD的顶点坐标分别是为A（﹣2，0），B（0，2），C（3，1），则点D的坐标是（ ）
A．（5，3） B．（﹣5，1） C．（1，﹣1） D．（3，0）
【变式6-2】如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（3，2）
【变式6-3】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点D的坐标是（ ）
A．（﹣8，2） B．（8，﹣4） C．（4，2） D．（8，2）
【变式6-4】如图，若▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2），则点B的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣2） B．（−12，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
【变式6-5】平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（0，2），以A，B，O为顶点作平行四边形，第四个顶点的坐标不可能是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
题型七 平行四边形的折叠问题
【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（ ）
A．70° B．40° C．30° D．20°
【变式7-1】如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（ ）度．
A．40 B．35 C．30 D．50
【变式7-1】如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B'处，若∠1＝∠2＝42°，
则∠B为（ ）
A．84° B．114° C．116° D．117°
【变式7-3】如图，平行四边形ABCD中，∠A＝50°，AD⊥BD，沿直线DE将△ADE翻折，使点A落在点A′处，A′E交BD于F，则∠DEF＝（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【变式7-4】如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（ ）
A．1 B．5 C．10 D．20
【变式7-5】如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE恰好过BC边中点，若AB＝3，BC＝6，则∠B的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
18.1 平行四边形的性质答案
题型一 利用平行四边形的性质求线段长
【例题1】如图，▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，
设AD为3x，AB为2x，可得：3x+2x＝15，
解得：x＝3，
∴BC＝AD＝9，
故选：A．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等解答．
【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO=12AC＝3，
∵AB⊥AC，AB＝4，
∴BO=32+42=5，
∴BD＝2BO＝10，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
【变式1-2】平行四边形的一边长是9cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）
A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．8cm和10cm D．10cm和12cm
【分析】由平行四边形的对角线互相平分，可分别求得OB与OC的长，然后由三角形三边关系判定能否组成三角形，继而可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
A、若BD＝6cm，AC＝4cm，
则OB＝3cm，OC＝2cm，
∵OB+OC＝5cm＜9cm，
∴不能组成三角形，
故本选项错误；
B、若BD＝8cm，AC＝6cm，
则OB＝4cm，OC＝3cm，
∵OB+OC＝7cm＜9cm，
∴不能组成三角形，
故本选项错误；
C、若BD＝10cm，AC＝8cm，
则OB＝5cm，OC＝4cm，
∵OB+OC＝9cm＝9cm，
∴不能组成三角形，
故本选项错误；
D、若BD＝12cm，AC＝10cm，
则OB＝6cm，OC＝5cm，
∵OB+OC＝11cm＞9cm，
∴能组成三角形，
故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式1-3】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝5，DF平分∠ADC交边BC于点F，则BF＝（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得BC＝AD＝8，CD＝AB＝5，AD∥BC，得∠ADF＝∠DFC，又由DF平分∠ADC，可得∠CDF＝∠DFC，根据等角对等边，可得FC＝CD＝5，所以求得BF＝BC﹣FC＝3，问题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝5，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠CDF＝∠DFC，
∴FC＝CD＝5，
∴BF＝BC﹣FC＝3．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定定理．注意当有平行线和角平分线出现时，会出现等腰三角形．
【变式1-4】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（ ）
【分析】连接EC，根据已知条件证明△EDC是直角三角形，进而可得△AEC是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接EC，
∵平行四边形ABCD中，OE⊥AC
∴EO垂直平分AC，
∵AE＝4，DE＝3，AB＝5，
∴EC＝AE＝4，CD＝AB＝5，
∵EC2+DE2＝32+42＝25，CD2＝25，
∴EC2+DE2＝CD2，
∴△EDC是直角三角形，△AEC是等腰直角三角形，
∴AC=AE2+EC2=16+16=32=42．
故答案为：42．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明△EDC是直角三角形是解题的关键．
【变式1-5】（2022•苏州模拟）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，求BC的长．
【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝6，结合角平分线的定义，等腰三角形的判定可求出AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，
同理DE＝DC＝6，
∵EF＝2，
∴AE＝AF−EF＝6−2＝4，
∴BC＝AD＝AE+DE＝4+6＝10．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．
题型二 利用平行四边形的性质求角度
【例题2】在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，则∠B的度数是（ ）
A．140° B．120° C．100° D．40°
【分析】根据平行四边形对角相等即可求出∠A，进而可求出∠B．
【解答】解：在▱ABCD中有：∠A＝∠C，AD∥BC，
∵∠A+∠C＝80°，
∴∠A＝∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝140°，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．
【变式2-1】在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
【分析】根据平行线的性质可求得∠ACD，即可求出∠BCD．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝40°，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝40°，
∵∠ACB＝80°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行四边形的对边平行是解决问题的关键．
【变式2-2】如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝60°，则∠DAE等于（ ）
A．15° B．25° C．30° D．65°
【分析】由在▱ABCD中，∠B＝60°，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠D的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝60°，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝90°﹣∠D＝30°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式2-3】如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．100° B．120° C．150° D．105°
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，然后根据补角性质可得答案．
【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE，
∵▱ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，
∴∠ADE＝∠CED＝30°，∠A+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝2×30°＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠ADC＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
【变式2-4】如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（ ）
A．84° B．96° C．98° D．106°
【分析】首先根据AF⊥DE，∠DAF＝48°得到∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，然后利用四边形ABCD是平行四边形得到∠CED＝∠ADF＝42°，再根据CD＝CE，得到∠CDE＝∠DEC＝42°，从而利用三角形的内角和定理求得∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°即可．
【解答】解：∵AF⊥DE，∠DAF＝48°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CED＝∠ADF＝42°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠DEC＝42°，
∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°，
故选：B．
【点评】考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等得到相关结论，难度不大．
【变式2-5】（2022秋•招远市期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD＝BC，∠B＝∠DAE，结合AB＝AE，利用SAS可证明结论；
（2）由全等三角形的性质结合角平分线的定义可得△ABE为等边三角形，利用等边三角形的性质可求解∠BAE＝60°，进而可求解∠AED的度数．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B．
∴∠B＝∠DAE．
在△ABC和△AED中，
AB=AE∠B=∠DAEAD=BC，
∴△ABC≌△EAD（SAS），
（2）∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC，
∵AE平分∠DAB（已知），
∴∠DAE＝∠BAE；
又∵∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．
∴△ABE为等边三角形．
∴∠BAE＝60°．
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°，
∴∠AED＝85°．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△EAD是解题的关键．
题型三 利用平行四边形的性质求周长或面积
【例题3】如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
【分析】先利用ASA证明△AOE≌△COF，从而得OE＝OF，AE＝CF，再求得平行四边形周长的一半为多少，然后利用关系式AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，
∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴AB+BC=12×36＝18，
∴四边形ABFE的周长为：
AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝18+6＝24．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
【变式3-1】（2022秋•黄浦区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 ．
【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再证∠BAE＝∠DAF＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD，
∴∠BAF＝∠DAE＝90°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，AD＝2DF
∵BE＝2，DF＝3，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20，
故答案为：20．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式3-2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD，AB于点E、F，连接CF．若△BCF的周长为4，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【分析】由EF垂直平分AC得AF＝CF，则AB+BC＝CF+BF+BC＝4，由四边形ABCD是平行四边形得CD＝AB，AD＝BC，则CD+AD+AB+BC＝2（AB+BC）＝8，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵EF垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∵△BCF的周长为4，
∴AB+BC＝AF+BF+BC＝CF+BF+BC＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝BC，
∴CD+AD+AB+BC＝2（AB+BC）＝8，
∴平行四边形ABCD的周长8，
故选：D．
【点评】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、三角形的周长的计算、平行四边形的性质等知识与方法，由△BCF的周长为4求得AB+BC的值是解题的关键．
【变式3-3】（2022秋•张店区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴S△AFO＝S△CEO，
∴阴影部分面积等于△BCD的面积，即为▱ABCD面积的一半，
过点C作CP⊥AD于点P，
∵CD＝AB＝2，∠ADC＝60°，
∴DP＝1，CP=3，
∴S平行四边形ABCD＝BC•CP=33，
∴阴影部分面积为332，
故答案为：332．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键．
【变式3-4】（2022•襄汾县一模）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则四边形ABCD的面积为 ．
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE＝∠BEC，可得BE＝BC＝10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC＝30°，BE＝10，
∴EF=12BE＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC＝10，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC×EF＝10×5＝50．
故答案为：50．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．
【变式3-5】（2021春•靖远县期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于F，交DC的延长线于E，过点B作BG⊥AE于点G．
（1）求证：AG＝FG；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）只要证明BA＝BF即可解决问题；
（2）只要证明∠E＝∠CFE即可；
（3）如图，作AH⊥BC于H．利用面积法求出AH即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∵∠DAF＝∠FAB，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴BA＝BF，
∵BG⊥AF，
∴AG＝GF．
（2）解：结论：△CEF是等腰三角形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，AD∥BC，
∴∠E＝∠BAE，∠CFE＝∠DAF，
∵∠DAF＝∠BAE，
∴∠E＝∠CFE，
∴CE＝CF．
（3）解：如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABG中，AG=102−82=6，
∴AF＝2AG＝12，
∵12•BF•AH=12•AF•BG，
∴AH=12×810=485，
∴S平行四边形ABCD＝BC•AH＝144．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．
题型四 利用平行四边形的性质证明
【例题4】（2023•雁塔区校级一模）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED．若AE＝AB，求证：AC＝DE．
【分析】在△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B＝∠DAE即可证明△ABC≌△EAD，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B．
∴∠B＝∠DAE．
在△ABC和△AED中，
AB=AE∠B=∠DAEAD=BC，
∴△ABC≌△EAD（SAS），
∴DE＝AC．
【点评】主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
【变式4-1】（2022春•丹凤县期末）已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
【分析】由题意可证△ABE≌△CDF，可得结论．
【解答】证明∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠ABD＝∠CDB
∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC
∴△ABE≌△CDF
∴AE＝CF
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式4-2】（2022•兴庆区模拟）如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OB、OD上的中点．连接AE、CF．求证：∠DAE＝∠BCF．
【分析】证△ADE≌△CBF（SAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，OD＝OB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵点E、F分别是OB、OD上的中点，
∵BE=12OB，DF=12OD，
∴BE＝DF，
∴DE＝BF，
在△ADE和△CBF中，
AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠DAE＝∠BCF．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
【变式4-3】（2022•大武口区校级一模）已知：如图在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM，CM、BA的延长线相交于点E，BM平分∠ABC．求证：BM⊥CE．
【分析】由在平行四边形ABCD中，AM＝DM，证得△AEM≌△DCM（AAS），可得AE＝CD＝AB，由BM平分∠ABC，证得△BCE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠E＝∠DCM，
在△AEM和△DCM中，
∠E=∠DCM∠AME=∠DMCAM=DM，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE＝CD，
∴AE＝AB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBM＝∠AMB，
∴∠ABM＝∠AMB，
∴AB＝AM，
∵AB＝AE，AM＝DM，
∴点M是AD的中点，
∴BC＝2AM，
∴BC＝BE，
∴△BCE是等腰三角形．
∵BM平分∠ABC，
∴BM⊥CE．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式4-4】如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO＝DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可；
（2）证出AE＝GE，再证明DG＝DO，然后由等腰三角形的性质得出OF＝FG＝1，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠OBE＝∠ODF．
在△OBE与△ODF中，
∠OBE=∠ODF∠BOE=∠DOFBE=DF
∴△OBE≌△ODF（AAS）．
∴BO＝DO．
（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴∠GEA＝∠GFD＝90°．
∵∠A＝45°，
∴∠G＝∠A＝45°．
∴AE＝GE
∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠GDO＝90°．
∴∠GOD＝∠G＝45°．
∴DG＝DO，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴OF＝FG＝1，
由（1）可知，OE＝OF＝1，
∴GE＝OE+OF+FG＝3，
∴AE＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．
【变式4-5】（2022春•蓬江区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）求证：AE平分∠DAB；
（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质，根据AAS可判定△ADE≌△FCE；
（2）根据全等三角形的性质可得AE＝FE，根据BE⊥AF．利用线段垂直平分线的性质可得BA＝BF，进而可得结论；
（3）结合（1）根据∠DAB＝60°，AB＝4，利用30度角的直角三角形可得AE和BE的长，根据△ADE≌△FCE，可得△ADE的面积＝△FCE的面积，所以▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积，即可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠EFC，
∵点E是CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
∠DAE=∠EFC∠DEA=∠CEFDE=CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）证明：∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，
∵BE⊥AF，
∴BA＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∵∠DAE＝∠BFA，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴AE平分∠DAB；
（3）解：∵∠DAB＝60°，AB＝4，
∴∠DAE＝∠BAF＝30°，
∵BE⊥AF，
∴BE=12AB＝2，
∴AE=3BE＝23，
∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE的面积＝△FCE的面积，
∴▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积＝2×12×AE•BE＝23×2＝43．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．
题型五 两条平行线间的距离及其应用
【例题5】如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（ ）
A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长
【分析】由平行四边形的性质和平行线之间的距离可直接求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵MN⊥CD，
∴平行线AB与CD之间的距离是MN的长，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式5-1】如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB，AD的垂线CM，CN，垂足分别为M，N，则直线AB与CD的距离是（ ）
A．CD的长 B．BC的长 C．CM的长 D．CN的长
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，由平行线之间的距离的定义可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
又∵CM⊥AB，
∴直线AB与CD的距离为CM的长，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离的定义是解题的关键．
【变式5-2】（2022春•馆陶县期末）如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（ ）
A．MN B．OE C．EF D．OF
【分析】夹在两条平行线间的垂线段的长度即为两平行线的距离．
【解答】解：因为直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，所以直线EF也垂直于直线CD，则直线AB和CD之间的距离是线段EF的长．
故选：C．
【点评】本题主要考查垂直于同一条直线的两条直线平行，也就是说，垂直于一条直线，必定也垂直于平行于这条直线的直线．
【变式5-3】（2022春•新化县期末）如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，a与b的距离是5cm，b与c距离是2cm，则a与c的距离 ．
【分析】根据平行线间的距离进行计算即可．
【解答】解：由题意可知，
直线a与c的距离为5﹣2＝3（cm），
故答案为：3cm．
【点评】本题考查平行线间的距离，理解平行线间的距离的意义是正确解答的前提．
【变式5-4】（2022春•顺平县期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
【分析】因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a、b外，②直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解．
【解答】解：如图，
①直线c在a、b外时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5+2＝7（cm），
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5﹣2＝3（cm），
综上所述，a与c的距离为3cm或7cm．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．
【变式5-5】（2021秋•新罗区校级月考）如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于 ．
【分析】过点O作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N，分别求出ON＝OM＝1.5，则可求MN＝3．
【解答】解：过点O作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N，
∵AB∥CD，
∴ON⊥CD，OM⊥AB，
∵AO平分∠MAC，OE⊥AC，
∴OM＝OE，
∵OC平分∠ACD，OE⊥AC，
∴OE＝ON，
∴OM＝ON，
∵OE＝1.5，
∴MN＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查平行线间的距离，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
题型六 平行四边形与平面直角坐标系的综合
【例题6】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（1，0），（﹣3，0），（0，2），则顶点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣4，2）
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AB的长，进而得出顶点C的坐标．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，A（1，0）、B（﹣3，0），
∴AB＝4，
∴DC＝4，
∵D（0，2），
∴C（﹣4，2）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，正确得出AB的长是解题关键．
【变式6-1】▱ABCD的顶点坐标分别是为A（﹣2，0），B（0，2），C（3，1），则点D的坐标是（ ）
A．（5，3） B．（﹣5，1） C．（1，﹣1） D．（3，0）
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等的性质进行分析作答．
【解答】解：∵四边形ABCD的平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∴xC﹣xB＝xD﹣xA，即3﹣0＝xD+2，则xD＝1．
yC﹣yB＝yD﹣yA，即1﹣2＝yD，则yD＝﹣1．
∴点D的坐标是（1，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题时，利用了平行四边形的对边相等且平行的性质．
【变式6-2】如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（3，2）
【分析】由平行四边形的性质可得出答案．
【解答】解：∵A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3），
∴AB＝3，AB∥y轴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝3，
∵C（2，﹣1），
∴D（2，2），
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，点的坐标与图形性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键．
【变式6-3】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点D的坐标是（ ）
A．（﹣8，2） B．（8，﹣4） C．（4，2） D．（8，2）
【分析】根据平行四边形的性质，即可求得顶点D的坐标．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣4，﹣4）、（4，﹣4），
∴BC＝8，OA＝2，
∴顶点D的坐标为（8，2）．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
【变式6-4】如图，若▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2），则点B的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣2） B．（−12，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
【分析】由平行四边形的性质可得AC与BD互相平分，由中点坐标公式可求解．
【解答】解：设点B（x，y），
∵▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2），
∴AC与BD互相平分，
∴1+32=5+x2，−1+12=y+22，
解得：x＝﹣1，y＝﹣2，
∴点B坐标为（﹣1，﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
【变式6-5】平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（0，2），以A，B，O为顶点作平行四边形，第四个顶点的坐标不可能是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】先由点的坐标求出求出线段OA，OB的长度，再分情况进行求解，即可得出答案．
【解答】解：设第四个顶点C的坐标为（x，y），
①当BC＝AO时，
∵O（0，0），A（﹣1，0），B（0，2），
∴AO＝1，
∴BC＝1，
∴C点坐标为C（1，2）或C（﹣1，2）．
②BO＝AC时，
∵BO＝2，
∴AC＝2，
∴C点坐标为C（﹣1，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，坐标与图形性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
题型七 平行四边形的折叠问题
【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（ ）
A．70° B．40° C．30° D．20°
【分析】由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A＝70°，又由平角的定义，即可求得∠AMF的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，
∴AB∥CD∥MN，
∵∠A＝70°，
∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝70°，
∴∠AMF＝180°﹣∠DMN﹣∠FMN＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
【变式7-1】如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（ ）度．
A．40 B．35 C．30 D．50
【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D＝50°，再由三角形的外角性质得∠AEC＝∠D+∠DAE＝70°，则∠AED＝110°，然后由折叠的性质得∠AED＝∠AED′＝110°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝50°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，
∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，
∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，
∴∠AED＝∠AED′＝110°，
∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出∠AEC的度数是解题的关键．
【变式7-1】如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B'处，若∠1＝∠2＝42°，
则∠B为（ ）
A．84° B．114° C．116° D．117°
【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠B'AB＝42°，由折叠的性质可得∠BAC＝∠B'AC＝21°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠B'AB＝42°，
∵将▱ABCD沿对角线AC折叠，
∴∠BAC＝∠B'AC＝21°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝117°，
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
【变式7-3】如图，平行四边形ABCD中，∠A＝50°，AD⊥BD，沿直线DE将△ADE翻折，使点A落在点A′处，A′E交BD于F，则∠DEF＝（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】由平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而得出∠A′DE＝∠AED，再根据翻折的性质以及三角形内角和即可求出∠DEF＝∠AED＝65°，此题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠A′DE＝∠AED．
由翻折可知：∠ADE＝∠A′DE，∠DEF＝∠AED．
∴∠ADE＝∠AED．
∵∠A＝50°，
∴∠AED=12（180°﹣∠A）＝65°，
∴∠DEF＝65°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及翻折变换，根据翻折变换以及平行四边形的性质找出∠DEF＝∠AED＝∠ADE是解题的关键．
【变式7-4】如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（ ）
A．1 B．5 C．10 D．20
【分析】由平行四边形ABCD是周长为20，推出AB+AD＝10，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长等于AB+AD，即可解决问题．
【解答】解：∵平行四边形ABCD是周长为20，
∴AB+AD＝10，
由翻折可知：EB＝DE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+EB＝AB+AE+ED＝AB+AD＝10，
故选：C．
【点评】本题考查翻折变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握翻折的性质，得出△ABE的周长等于AB+AD，属于中考常考题型．
【变式7-5】如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE恰好过BC边中点，若AB＝3，BC＝6，则∠B的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】AE与BC相交于F点，根据平行四边形的性质得AD∥BC，则∠1＝∠3，再根据折叠性质得∠1＝∠2，所以FC＝FA，由于F为BC边中点，可得到AF＝CF＝BF＝3，
而AB＝3，于是可判断△ABF为等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可得到∠B＝60°．
【解答】解：AE与BC相交于F点，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴FC＝FA，
∵F为BC边中点，BC＝6，
∴AF＝CF＝BF=12×6＝3，
而AB＝3，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠B＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了平时四边形的性质和等边三角形的判定与性质．
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
18.1 平行四边形的性质
题型一 利用平行四边形的性质求线段长
【例题1】如图，▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【变式1-2】平行四边形的一边长是9cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）
A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．8cm和10cm D．10cm和12cm
【变式1-3】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝5，DF平分∠ADC交边BC于点F，则BF＝（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【变式1-4】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（ ）
【变式1-5】（2022•苏州模拟）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，求BC的长．
题型二 利用平行四边形的性质求角度
【例题2】在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，则∠B的度数是（ ）
A．140° B．120° C．100° D．40
【变式2-1】在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
【变式2-2】如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝60°，则∠DAE等于（ ）
A．15° B．25° C．30° D．65°
【变式2-3】如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．100° B．120° C．150° D．105°
【变式2-4】如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（ ）
A．84° B．96° C．98° D．106°
【变式2-5】（2022秋•招远市期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数．
题型三 利用平行四边形的性质求周长或面积
【例题3】如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
【变式3-1】（2022秋•黄浦区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 ．
【变式3-2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD，AB于点E、F，连接CF．若△BCF的周长为4，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【变式3-3】（2022秋•张店区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式3-4】（2022•襄汾县一模）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则四边形ABCD的面积为 ．
【变式3-5】（2021春•靖远县期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于F，交DC的延长线于E，过点B作BG⊥AE于点G．
（1）求证：AG＝FG；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四边形ABCD的面积．
题型四 利用平行四边形的性质证明
【例题4】（2023•雁塔区校级一模）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED．若AE＝AB，求证：AC＝DE．
【变式4-1】（2022春•丹凤县期末）已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
【变式4-2】（2022•兴庆区模拟）如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OB、OD上的中点．连接AE、CF．求证：∠DAE＝∠BCF．
【变式4-3】（2022•大武口区校级一模）已知：如图在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM，CM、BA的延长线相交于点E，BM平分∠ABC．求证：BM⊥CE．
【变式4-4】如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO＝DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长．
【变式4-5】（2022春•蓬江区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）求证：AE平分∠DAB；
（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
题型五 两条平行线间的距离及其应用
【例题5】如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（ ）
A． AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长
【变式5-1】如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB，AD的垂线CM，CN，垂足分别为M，N，则直线AB与CD的距离是（ ）
A．CD的长 B．BC的长 C．CM的长 D．CN的长
【变式5-2】（2022春•馆陶县期末）如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（ ）
A．MN B．OE C．EF D．OF
【变式5-3】（2022春•新化县期末）如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，a与b的距离是5cm，b与c距离是2cm，则a与c的距离 ．
【变式5-4】（2022春•顺平县期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
【变式5-5】（2021秋•新罗区校级月考）如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于 ．
题型六 平行四边形与平面直角坐标系的综合
【例题6】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（1，0），（﹣3，0），（0，2），则顶点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣4，2）
【变式6-1】▱ABCD的顶点坐标分别是为A（﹣2，0），B（0，2），C（3，1），则点D的坐标是（ ）
A．（5，3） B．（﹣5，1） C．（1，﹣1） D．（3，0）
【变式6-2】如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（3，2）
【变式6-3】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点D的坐标是（ ）
A．（﹣8，2） B．（8，﹣4） C．（4，2） D．（8，2）
【变式6-4】如图，若▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2），则点B的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣2） B．（−12，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
【变式6-5】平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（0，2），以A，B，O为顶点作平行四边形，第四个顶点的坐标不可能是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
题型七 平行四边形的折叠问题
【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（ ）
A．70° B．40° C．30° D．20°
【变式7-1】如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（ ）度．
A．40 B．35 C．30 D．50
【变式7-1】如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B'处，若∠1＝∠2＝42°，
则∠B为（ ）
A．84° B．114° C．116° D．117°
【变式7-3】如图，平行四边形ABCD中，∠A＝50°，AD⊥BD，沿直线DE将△ADE翻折，使点A落在点A′处，A′E交BD于F，则∠DEF＝（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【变式7-4】如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（ ）
A．1 B．5 C．10 D．20
【变式7-5】如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE恰好过BC边中点，若AB＝3，BC＝6，则∠B的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
18.1 平行四边形的性质答案
题型一 利用平行四边形的性质求线段长
【例题1】如图，▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，
设AD为3x，AB为2x，可得：3x+2x＝15，
解得：x＝3，
∴BC＝AD＝9，
故选：A．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等解答．
【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO=12AC＝3，
∵AB⊥AC，AB＝4，
∴BO=32+42=5，
∴BD＝2BO＝10，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
【变式1-2】平行四边形的一边长是9cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）
A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．8cm和10cm D．10cm和12cm
【分析】由平行四边形的对角线互相平分，可分别求得OB与OC的长，然后由三角形三边关系判定能否组成三角形，继而可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
A、若BD＝6cm，AC＝4cm，
则OB＝3cm，OC＝2cm，
∵OB+OC＝5cm＜9cm，
∴不能组成三角形，
故本选项错误；
B、若BD＝8cm，AC＝6cm，
则OB＝4cm，OC＝3cm，
∵OB+OC＝7cm＜9cm，
∴不能组成三角形，
故本选项错误；
C、若BD＝10cm，AC＝8cm，
则OB＝5cm，OC＝4cm，
∵OB+OC＝9cm＝9cm，
∴不能组成三角形，
故本选项错误；
D、若BD＝12cm，AC＝10cm，
则OB＝6cm，OC＝5cm，
∵OB+OC＝11cm＞9cm，
∴能组成三角形，
故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式1-3】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝5，DF平分∠ADC交边BC于点F，则BF＝（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得BC＝AD＝8，CD＝AB＝5，AD∥BC，得∠ADF＝∠DFC，又由DF平分∠ADC，可得∠CDF＝∠DFC，根据等角对等边，可得FC＝CD＝5，所以求得BF＝BC﹣FC＝3，问题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝5，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠CDF＝∠DFC，
∴FC＝CD＝5，
∴BF＝BC﹣FC＝3．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定定理．注意当有平行线和角平分线出现时，会出现等腰三角形．
【变式1-4】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（ ）
【分析】连接EC，根据已知条件证明△EDC是直角三角形，进而可得△AEC是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接EC，
∵平行四边形ABCD中，OE⊥AC
∴EO垂直平分AC，
∵AE＝4，DE＝3，AB＝5，
∴EC＝AE＝4，CD＝AB＝5，
∵EC2+DE2＝32+42＝25，CD2＝25，
∴EC2+DE2＝CD2，
∴△EDC是直角三角形，△AEC是等腰直角三角形，
∴AC=AE2+EC2=16+16=32=42．
故答案为：42．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明△EDC是直角三角形是解题的关键．
【变式1-5】（2022•苏州模拟）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，求BC的长．
【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝6，结合角平分线的定义，等腰三角形的判定可求出AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，
同理DE＝DC＝6，
∵EF＝2，
∴AE＝AF−EF＝6−2＝4，
∴BC＝AD＝AE+DE＝4+6＝10．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．
题型二 利用平行四边形的性质求角度
【例题2】在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，则∠B的度数是（ ）
A．140° B．120° C．100° D．40°
【分析】根据平行四边形对角相等即可求出∠A，进而可求出∠B．
【解答】解：在▱ABCD中有：∠A＝∠C，AD∥BC，
∵∠A+∠C＝80°，
∴∠A＝∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝140°，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．
【变式2-1】在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
【分析】根据平行线的性质可求得∠ACD，即可求出∠BCD．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝40°，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝40°，
∵∠ACB＝80°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行四边形的对边平行是解决问题的关键．
【变式2-2】如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝60°，则∠DAE等于（ ）
A．15° B．25° C．30° D．65°
【分析】由在▱ABCD中，∠B＝60°，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠D的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝60°，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝90°﹣∠D＝30°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式2-3】如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．100° B．120° C．150° D．105°
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，然后根据补角性质可得答案．
【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE，
∵▱ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，
∴∠ADE＝∠CED＝30°，∠A+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝2×30°＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠ADC＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
【变式2-4】如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（ ）
A．84° B．96° C．98° D．106°
【分析】首先根据AF⊥DE，∠DAF＝48°得到∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，然后利用四边形ABCD是平行四边形得到∠CED＝∠ADF＝42°，再根据CD＝CE，得到∠CDE＝∠DEC＝42°，从而利用三角形的内角和定理求得∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°即可．
【解答】解：∵AF⊥DE，∠DAF＝48°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CED＝∠ADF＝42°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠DEC＝42°，
∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°，
故选：B．
【点评】考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等得到相关结论，难度不大．
【变式2-5】（2022秋•招远市期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD＝BC，∠B＝∠DAE，结合AB＝AE，利用SAS可证明结论；
（2）由全等三角形的性质结合角平分线的定义可得△ABE为等边三角形，利用等边三角形的性质可求解∠BAE＝60°，进而可求解∠AED的度数．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B．
∴∠B＝∠DAE．
在△ABC和△AED中，
AB=AE∠B=∠DAEAD=BC，
∴△ABC≌△EAD（SAS），
（2）∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC，
∵AE平分∠DAB（已知），
∴∠DAE＝∠BAE；
又∵∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．
∴△ABE为等边三角形．
∴∠BAE＝60°．
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°，
∴∠AED＝85°．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△EAD是解题的关键．
题型三 利用平行四边形的性质求周长或面积
【例题3】如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
【分析】先利用ASA证明△AOE≌△COF，从而得OE＝OF，AE＝CF，再求得平行四边形周长的一半为多少，然后利用关系式AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，
∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴AB+BC=12×36＝18，
∴四边形ABFE的周长为：
AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝18+6＝24．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
【变式3-1】（2022秋•黄浦区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 ．
【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再证∠BAE＝∠DAF＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD，
∴∠BAF＝∠DAE＝90°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，AD＝2DF
∵BE＝2，DF＝3，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20，
故答案为：20．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式3-2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD，AB于点E、F，连接CF．若△BCF的周长为4，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【分析】由EF垂直平分AC得AF＝CF，则AB+BC＝CF+BF+BC＝4，由四边形ABCD是平行四边形得CD＝AB，AD＝BC，则CD+AD+AB+BC＝2（AB+BC）＝8，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵EF垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∵△BCF的周长为4，
∴AB+BC＝AF+BF+BC＝CF+BF+BC＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝BC，
∴CD+AD+AB+BC＝2（AB+BC）＝8，
∴平行四边形ABCD的周长8，
故选：D．
【点评】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、三角形的周长的计算、平行四边形的性质等知识与方法，由△BCF的周长为4求得AB+BC的值是解题的关键．
【变式3-3】（2022秋•张店区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴S△AFO＝S△CEO，
∴阴影部分面积等于△BCD的面积，即为▱ABCD面积的一半，
过点C作CP⊥AD于点P，
∵CD＝AB＝2，∠ADC＝60°，
∴DP＝1，CP=3，
∴S平行四边形ABCD＝BC•CP=33，
∴阴影部分面积为332，
故答案为：332．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键．
【变式3-4】（2022•襄汾县一模）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则四边形ABCD的面积为 ．
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE＝∠BEC，可得BE＝BC＝10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC＝30°，BE＝10，
∴EF=12BE＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC＝10，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC×EF＝10×5＝50．
故答案为：50．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．
【变式3-5】（2021春•靖远县期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于F，交DC的延长线于E，过点B作BG⊥AE于点G．
（1）求证：AG＝FG；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）只要证明BA＝BF即可解决问题；
（2）只要证明∠E＝∠CFE即可；
（3）如图，作AH⊥BC于H．利用面积法求出AH即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∵∠DAF＝∠FAB，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴BA＝BF，
∵BG⊥AF，
∴AG＝GF．
（2）解：结论：△CEF是等腰三角形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，AD∥BC，
∴∠E＝∠BAE，∠CFE＝∠DAF，
∵∠DAF＝∠BAE，
∴∠E＝∠CFE，
∴CE＝CF．
（3）解：如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABG中，AG=102−82=6，
∴AF＝2AG＝12，
∵12•BF•AH=12•AF•BG，
∴AH=12×810=485，
∴S平行四边形ABCD＝BC•AH＝144．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．
题型四 利用平行四边形的性质证明
【例题4】（2023•雁塔区校级一模）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED．若AE＝AB，求证：AC＝DE．
【分析】在△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B＝∠DAE即可证明△ABC≌△EAD，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B．
∴∠B＝∠DAE．
在△ABC和△AED中，
AB=AE∠B=∠DAEAD=BC，
∴△ABC≌△EAD（SAS），
∴DE＝AC．
【点评】主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
【变式4-1】（2022春•丹凤县期末）已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
【分析】由题意可证△ABE≌△CDF，可得结论．
【解答】证明∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠ABD＝∠CDB
∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC
∴△ABE≌△CDF
∴AE＝CF
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式4-2】（2022•兴庆区模拟）如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OB、OD上的中点．连接AE、CF．求证：∠DAE＝∠BCF．
【分析】证△ADE≌△CBF（SAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，OD＝OB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵点E、F分别是OB、OD上的中点，
∵BE=12OB，DF=12OD，
∴BE＝DF，
∴DE＝BF，
在△ADE和△CBF中，
AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠DAE＝∠BCF．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
【变式4-3】（2022•大武口区校级一模）已知：如图在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM，CM、BA的延长线相交于点E，BM平分∠ABC．求证：BM⊥CE．
【分析】由在平行四边形ABCD中，AM＝DM，证得△AEM≌△DCM（AAS），可得AE＝CD＝AB，由BM平分∠ABC，证得△BCE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠E＝∠DCM，
在△AEM和△DCM中，
∠E=∠DCM∠AME=∠DMCAM=DM，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE＝CD，
∴AE＝AB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBM＝∠AMB，
∴∠ABM＝∠AMB，
∴AB＝AM，
∵AB＝AE，AM＝DM，
∴点M是AD的中点，
∴BC＝2AM，
∴BC＝BE，
∴△BCE是等腰三角形．
∵BM平分∠ABC，
∴BM⊥CE．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式4-4】如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO＝DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可；
（2）证出AE＝GE，再证明DG＝DO，然后由等腰三角形的性质得出OF＝FG＝1，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠OBE＝∠ODF．
在△OBE与△ODF中，
∠OBE=∠ODF∠BOE=∠DOFBE=DF
∴△OBE≌△ODF（AAS）．
∴BO＝DO．
（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴∠GEA＝∠GFD＝90°．
∵∠A＝45°，
∴∠G＝∠A＝45°．
∴AE＝GE
∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠GDO＝90°．
∴∠GOD＝∠G＝45°．
∴DG＝DO，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴OF＝FG＝1，
由（1）可知，OE＝OF＝1，
∴GE＝OE+OF+FG＝3，
∴AE＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．
【变式4-5】（2022春•蓬江区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）求证：AE平分∠DAB；
（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质，根据AAS可判定△ADE≌△FCE；
（2）根据全等三角形的性质可得AE＝FE，根据BE⊥AF．利用线段垂直平分线的性质可得BA＝BF，进而可得结论；
（3）结合（1）根据∠DAB＝60°，AB＝4，利用30度角的直角三角形可得AE和BE的长，根据△ADE≌△FCE，可得△ADE的面积＝△FCE的面积，所以▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积，即可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠EFC，
∵点E是CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
∠DAE=∠EFC∠DEA=∠CEFDE=CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）证明：∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，
∵BE⊥AF，
∴BA＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∵∠DAE＝∠BFA，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴AE平分∠DAB；
（3）解：∵∠DAB＝60°，AB＝4，
∴∠DAE＝∠BAF＝30°，
∵BE⊥AF，
∴BE=12AB＝2，
∴AE=3BE＝23，
∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE的面积＝△FCE的面积，
∴▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积＝2×12×AE•BE＝23×2＝43．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．
题型五 两条平行线间的距离及其应用
【例题5】如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（ ）
A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长
【分析】由平行四边形的性质和平行线之间的距离可直接求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵MN⊥CD，
∴平行线AB与CD之间的距离是MN的长，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式5-1】如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB，AD的垂线CM，CN，垂足分别为M，N，则直线AB与CD的距离是（ ）
A．CD的长 B．BC的长 C．CM的长 D．CN的长
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，由平行线之间的距离的定义可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
又∵CM⊥AB，
∴直线AB与CD的距离为CM的长，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离的定义是解题的关键．
【变式5-2】（2022春•馆陶县期末）如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（ ）
A．MN B．OE C．EF D．OF
【分析】夹在两条平行线间的垂线段的长度即为两平行线的距离．
【解答】解：因为直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，所以直线EF也垂直于直线CD，则直线AB和CD之间的距离是线段EF的长．
故选：C．
【点评】本题主要考查垂直于同一条直线的两条直线平行，也就是说，垂直于一条直线，必定也垂直于平行于这条直线的直线．
【变式5-3】（2022春•新化县期末）如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，a与b的距离是5cm，b与c距离是2cm，则a与c的距离 ．
【分析】根据平行线间的距离进行计算即可．
【解答】解：由题意可知，
直线a与c的距离为5﹣2＝3（cm），
故答案为：3cm．
【点评】本题考查平行线间的距离，理解平行线间的距离的意义是正确解答的前提．
【变式5-4】（2022春•顺平县期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
【分析】因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a、b外，②直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解．
【解答】解：如图，
①直线c在a、b外时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5+2＝7（cm），
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5﹣2＝3（cm），
综上所述，a与c的距离为3cm或7cm．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．
【变式5-5】（2021秋•新罗区校级月考）如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于 ．
【分析】过点O作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N，分别求出ON＝OM＝1.5，则可求MN＝3．
【解答】解：过点O作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N，
∵AB∥CD，
∴ON⊥CD，OM⊥AB，
∵AO平分∠MAC，OE⊥AC，
∴OM＝OE，
∵OC平分∠ACD，OE⊥AC，
∴OE＝ON，
∴OM＝ON，
∵OE＝1.5，
∴MN＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查平行线间的距离，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
题型六 平行四边形与平面直角坐标系的综合
【例题6】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（1，0），（﹣3，0），（0，2），则顶点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣4，2）
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AB的长，进而得出顶点C的坐标．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，A（1，0）、B（﹣3，0），
∴AB＝4，
∴DC＝4，
∵D（0，2），
∴C（﹣4，2）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，正确得出AB的长是解题关键．
【变式6-1】▱ABCD的顶点坐标分别是为A（﹣2，0），B（0，2），C（3，1），则点D的坐标是（ ）
A．（5，3） B．（﹣5，1） C．（1，﹣1） D．（3，0）
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等的性质进行分析作答．
【解答】解：∵四边形ABCD的平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∴xC﹣xB＝xD﹣xA，即3﹣0＝xD+2，则xD＝1．
yC﹣yB＝yD﹣yA，即1﹣2＝yD，则yD＝﹣1．
∴点D的坐标是（1，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题时，利用了平行四边形的对边相等且平行的性质．
【变式6-2】如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（3，2）
【分析】由平行四边形的性质可得出答案．
【解答】解：∵A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3），
∴AB＝3，AB∥y轴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝3，
∵C（2，﹣1），
∴D（2，2），
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，点的坐标与图形性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键．
【变式6-3】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点D的坐标是（ ）
A．（﹣8，2） B．（8，﹣4） C．（4，2） D．（8，2）
【分析】根据平行四边形的性质，即可求得顶点D的坐标．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣4，﹣4）、（4，﹣4），
∴BC＝8，OA＝2，
∴顶点D的坐标为（8，2）．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
【变式6-4】如图，若▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2），则点B的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣2） B．（−12，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
【分析】由平行四边形的性质可得AC与BD互相平分，由中点坐标公式可求解．
【解答】解：设点B（x，y），
∵▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2），
∴AC与BD互相平分，
∴1+32=5+x2，−1+12=y+22，
解得：x＝﹣1，y＝﹣2，
∴点B坐标为（﹣1，﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
【变式6-5】平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（0，2），以A，B，O为顶点作平行四边形，第四个顶点的坐标不可能是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】先由点的坐标求出求出线段OA，OB的长度，再分情况进行求解，即可得出答案．
【解答】解：设第四个顶点C的坐标为（x，y），
①当BC＝AO时，
∵O（0，0），A（﹣1，0），B（0，2），
∴AO＝1，
∴BC＝1，
∴C点坐标为C（1，2）或C（﹣1，2）．
②BO＝AC时，
∵BO＝2，
∴AC＝2，
∴C点坐标为C（﹣1，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，坐标与图形性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
题型七 平行四边形的折叠问题
【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（ ）
A．70° B．40° C．30° D．20°
【分析】由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A＝70°，又由平角的定义，即可求得∠AMF的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，
∴AB∥CD∥MN，
∵∠A＝70°，
∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝70°，
∴∠AMF＝180°﹣∠DMN﹣∠FMN＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
【变式7-1】如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（ ）度．
A．40 B．35 C．30 D．50
【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D＝50°，再由三角形的外角性质得∠AEC＝∠D+∠DAE＝70°，则∠AED＝110°，然后由折叠的性质得∠AED＝∠AED′＝110°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝50°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，
∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，
∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，
∴∠AED＝∠AED′＝110°，
∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出∠AEC的度数是解题的关键．
【变式7-1】如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B'处，若∠1＝∠2＝42°，
则∠B为（ ）
A．84° B．114° C．116° D．117°
【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠B'AB＝42°，由折叠的性质可得∠BAC＝∠B'AC＝21°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠B'AB＝42°，
∵将▱ABCD沿对角线AC折叠，
∴∠BAC＝∠B'AC＝21°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝117°，
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
【变式7-3】如图，平行四边形ABCD中，∠A＝50°，AD⊥BD，沿直线DE将△ADE翻折，使点A落在点A′处，A′E交BD于F，则∠DEF＝（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】由平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而得出∠A′DE＝∠AED，再根据翻折的性质以及三角形内角和即可求出∠DEF＝∠AED＝65°，此题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠A′DE＝∠AED．
由翻折可知：∠ADE＝∠A′DE，∠DEF＝∠AED．
∴∠ADE＝∠AED．
∵∠A＝50°，
∴∠AED=12（180°﹣∠A）＝65°，
∴∠DEF＝65°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及翻折变换，根据翻折变换以及平行四边形的性质找出∠DEF＝∠AED＝∠ADE是解题的关键．
【变式7-4】如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（ ）
A．1 B．5 C．10 D．20
【分析】由平行四边形ABCD是周长为20，推出AB+AD＝10，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长等于AB+AD，即可解决问题．
【解答】解：∵平行四边形ABCD是周长为20，
∴AB+AD＝10，
由翻折可知：EB＝DE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+EB＝AB+AE+ED＝AB+AD＝10，
故选：C．
【点评】本题考查翻折变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握翻折的性质，得出△ABE的周长等于AB+AD，属于中考常考题型．
【变式7-5】如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE恰好过BC边中点，若AB＝3，BC＝6，则∠B的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】AE与BC相交于F点，根据平行四边形的性质得AD∥BC，则∠1＝∠3，再根据折叠性质得∠1＝∠2，所以FC＝FA，由于F为BC边中点，可得到AF＝CF＝BF＝3，
而AB＝3，于是可判断△ABF为等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可得到∠B＝60°．
【解答】解：AE与BC相交于F点，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴FC＝FA，
∵F为BC边中点，BC＝6，
∴AF＝CF＝BF=12×6＝3，
而AB＝3，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠B＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了平时四边形的性质和等边三角形的判定与性质．
相关试卷
初中数学人教版八年级下册18.1.1 平行四边形的性质精品练习题： 这是一份初中数学人教版八年级下册18.1.1 平行四边形的性质精品练习题，文件包含8年级数学下册尖子生同步培优题典专题181平行四边形的性质教师版docx、8年级数学下册尖子生同步培优题典专题181平行四边形的性质学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
数学八年级下册18.1 平行四边形的性质课时作业： 这是一份数学八年级下册18.1 平行四边形的性质课时作业，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版八年级下册18.1.1 平行四边形的性质同步练习题： 这是一份人教版八年级下册18.1.1 平行四边形的性质同步练习题，文件包含专题181平行四边形的性质专项提升训练解析版人教版docx、专题181平行四边形的性质专项提升训练原卷版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
