备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题01有理数(原卷版+解析)

这是一份备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题01有理数(原卷版+解析)，共42页。试卷主要包含了有理数的相关概念和运算，主要体现的思想方法，下列各数中，最小的是，实数a、b在数轴，下列说法正确的是，若，则的取值范围是，比较大小等内容，欢迎下载使用。

有理数及其运算是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．
1．有理数的相关概念和运算．如对相反数、绝对值、倒数、用数轴比较大小及有理数运算等知识直接考查．
2．出题灵活多变，如实数的运算和对数轴的理解， 结合丰富多彩的问题情境，运算量一般较小，但对运算理解的考查力度较大．
3．主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等．
一 、有理数的有关概念
1、有理数
正数：大于0的数叫做正数。
负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。
有理数的分类（两种）（见思维导图）
2、数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）
任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
【注意】
数轴是一条直线，可向两段无限延伸。
在数轴上原点，正方向，单位长度的选取需根据实际情况而定。
3、相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）
4、绝对值
绝对值的概念：一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。
绝对值的意义：
正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0。
（互为相反数的两个数的绝对值相等。）
5、比较大小
1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
3）两个负数比较，绝对值大的反而小。
4）两个正数比较，绝对值大的反而大。
常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。
、
一、单选题
1．2021的绝对值是（ ）
A．2021B．2021C．D．
2．在四个数，，，中，绝对值最小的数是（ ）
A．B．C．D．
3．一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的（ ）
A．千克B．千克C．千克D．千克
4．下列各数中，最小的是（ ）
A．－B．－2C．0D．－π
5．实数a、b在数轴．上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．有理数中存在最大的数B．整数包含正有理数和负有理数
C．有理数中不存在最小的非负数D．任何有理数的绝对值都不是负数
7．若，则的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a≥0C．a＜0D．a≤0
8．已知a，b，c为非零有理数，则的值不可能为（ ）
A．0B．-3C．-1D．3
二、填空题
9．比较大小：______（填“＜”、“＝”或“＞”）．
10．的相反数为_______；的绝对值为______．
11．把64的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为______．
12．若互为相反数，互为倒数，则_____．
13．月考成绩出来后，组长记录了她们组6名同学的数学成绩，她以80分作为计分标准，超过的部分计为正数，不足的部分计为负数，若她们组6名同学的成绩为，则这6名同学的实际成绩最高分数是___________分．
14．在数轴上与表示数2的点相距3个单位长度的点对应的数是___________．
15．已知与的值互为相反数，则x的值为________．
16．同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索∶
（1）求=________；
（2）若，则=________；
（3）使得的所有整数的取值为________．
二、有理数四则运算
1、有理数的加法（重点）
有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）
4.一个数同0相加，仍得这个数。
有理数的加法运算律：
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
即；
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
即。
2、有理数的减法
有理数的减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数。即。
注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。
3、有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算
步骤：（1）减法化加法；
（2）省略括号和加号；
（3）运用加法运算律使计算简便；
（4）运用有理数加法法则进行计算。
注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；
（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
4、有理数的乘法（重点）
有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0.
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数的倒数是）
多个有理数相乘的法则及规律：
几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；
负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.
注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
5、有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
即。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
即。
6、有理数的除法
有理数除法法则：
（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。
（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何不为0的数，都得0。
步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。
7、有理数的乘除混合运算
运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。
（注：带分数应首先化为假分数进行运算）
8、有理数的四则混合运算
运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。
注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律
、
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列算式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，且，则的值等于（ ）
A．7B．1C．D．
4．数轴上点A表示的数是－4，将点A在数轴上平移8个单位长度得到点B，则点B表示的数是（ ）
A．或12B．4或C．4D．－12
5．绝对值大于而不大于的所有整数的和等于（ ）
A．12B．0C．－12D．－13
6．下列判断正确的是 ( )
A．若，则，中至少一个为零
B．若，则一定有，
C．若，则一定有，
D．若，且，则，
7．计算（ ）
A．0B．C．1008D．
8．已知x，y互为相反数且均不为0，a，b互为倒数，m是最大的负整数，则代数式的值为（ ）
A．-2020B．-2021C．1D．-1
二、填空题
9．请直接写出答案
（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．
10．的值为__________．
11．规定：，请计算：_____________．
12．阅读下列材料：
计算：
解：原式
这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算：______．
三、解答题
13．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
14．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
(1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
(2)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
(3)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
15．一个进行数值转换的运行程序如图所示．
(1)填写下表：
(2)若输出的值是12，则输入的值是 ．
三、有理数的乘方
1、乘方
一般地，个相同的因数相乘，即?×?×?⋯×??个，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。
当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。
乘方的规律：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
有理数乘方的运算方法：
根据乘方的符号规律确定结果的符号。
计算结果的绝对值。
2、有理数的混合运算
运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算,从左到右进行；
（3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。
3、科学记数法
把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1.）
把还原成原数时，只需把的小数点往前移动位。
4、近似数和有效数字
在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.）
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。
精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。
、
一、单选题
1．下列各数中，数值相等的有（ ）
①和；②与；③与；④与；⑤与；⑥与；⑦与：⑧与．
A．1组B．2组C．3组D．4组
2．计算等于（ ）
A．B．1C．D．5
3．已知有理数n、m满足，则（ ）
A．B．1C．D．
4．制作拉面需将长方形面条摔匀拉伸后对折，并不断重复，随着不断地对折，面条根数不断增加．若一拉面店一碗面约有64根面条，一天能拉出2048碗拉面，用底数为2的幂表示拉面的总根数为（ ）
A．B．C．D．
5．若0A．B．
C．D．
6．若，则．例如，若，则．请计算（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
7．观察下列等式：，试利用上述规律判断算式结果的末位数字是（ ）
A．0B．1C．3D．7
8．若，则的值为（ ）
A．0B．1C．728D．729
二、填空题
9．下列各数：，0，，，，，其中正整数有_______个．
10．平方得9的数是_____；绝对值等于9的数是_____；立方等于本身的数是_____．
11．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是2亿1千万人一年的口粮．将2亿1千万用科学记数法表示为___________．
12．已知和关于轴对称，则的值为___________．
13．若，则_____．
14．已知，则=_____．
15．若a、b、c为整数，且，则________．
三、解答题
16．若关于x、y的多项式的值与x无关．
(1)求m，n的值；
(2)比较：与的大小．
一、单选题
1． (2023·上海嘉定·二模）下列四个选项中的数，不是分数的是（ ）
A．80%B．C．2D．
2． (2023·上海浦东新·模拟预测）下列正整数中，属于素数的是（ ）
A．2B．4C．6D．8
3． (2023·上海奉贤·二模）据2022年北京冬奥会新闻发言人透露，中国大陆地区约316000000人次收看了冬奥会的开幕式．数据316000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．（2018·上海普陀·二模）下列计算中，错误的是（ ）
A．；B．；C．；D．．
5． (2023·上海·中考模拟）下列各数不是4的因数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2017·上海徐汇·二模）如果数轴上表示2和﹣4的两点分别是点A和点B，那么点A和点B之间的距离是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣6D．6．
7． (2023·上海金山区世界外国语学校一模）某市参加毕业考试的学生人数约为8.63×人．关于这里的近似数8.63×，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字；B．精确到百位，有3个有效数字；
C．精确到百分位，有5个有效数字；D．精确到百位，有5个有效数字．
二、填空题
8． (2023·上海·模拟预测）的相反数是______，-2的绝对值是______．
9． (2023·上海·模拟预测）若|a|=3，|b|=4，且a，b异号，则|a+b|=______．
10． (2023·上海崇明·二模）某件商品进价为100元，实际售价为110元，那么该件商品的利润率为_____．
11． (2023·上海嘉定·二模）2021年5月，国家统计局发布了第七次全国人口统计数据：全国共有人口141178万，用科学记数法表示141178万人，那么可以表示为_________万人．（保留两个有效数字）
12．（2018·上海·模拟预测）已知数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，数轴上到点A的距离为的点所表示的数是________．
输入x
2
3
输出y
专题01 有理数

有理数及其运算是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．
1．有理数的相关概念和运算．如对相反数、绝对值、倒数、用数轴比较大小及有理数运算等知识直接考查．
2．出题灵活多变，如有理数的运算和对数轴的理解， 结合丰富多彩的问题情境，运算量一般较小，但对运算理解的考查力度较大．
3．主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等．
一 、有理数的有关概念
1、有理数
正数：大于0的数叫做正数。
负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。
有理数的分类（两种）（见思维导图）
2、数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）
任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
【注意】
数轴是一条直线，可向两段无限延伸。
在数轴上原点，正方向，单位长度的选取需根据实际情况而定。
3、相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）
4、绝对值
绝对值的概念：一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。
绝对值的意义：
正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0。
（互为相反数的两个数的绝对值相等。）
5、比较大小
1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
3）两个负数比较，绝对值大的反而小。
4）两个正数比较，绝对值大的反而大。
常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。
、
一、单选题
1．2021的绝对值是（ ）
A．2021B．2021C．D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的定义即可得出答案．
【解析】解：2021的绝对值为2021，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
2．在四个数，，，中，绝对值最小的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
【解析】解：∵， ，||，||，
∵，
所以绝对值最小的是，
故选：C．
【点睛】此题考查了实数的大小比较，以及绝对值的意义，注意先运算出各项的绝对值．
3．一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的（ ）
A．千克B．千克C．千克D．千克
【答案】C
【分析】根据一种面粉的质量标识为“千克”，可以求出合格面粉的质量的取值范围，从而可以解答本题．
【解析】解：∵一种面粉的质量标识为“千克”，
∴合格面粉的质量的取值范围是：千克～千克，
即合格面粉的质量的取值范围是：千克～千克，
故选项A不合格，选项B不合格，选项C合格，选项D不合格．
故选C．
【点睛】此题考查正数和负数，解题关键是明确正负数在题目中的实际意义．
4．下列各数中，最小的是（ ）
A．－B．－2C．0D．－π
【答案】D
【分析】先比较三个负数的大小，再根据负数小于0得结论．
【解析】解：∵，
∴．
∵负数小于0，
∴最小的数是-．
故选：D．
【点睛】本题考查了实数大小的比较，掌握实数大小的比较方法是解决本题的关键．
5．实数a、b在数轴．上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用数轴可知a，b的大小和绝对值，然后判断即可．
【解析】解：由数轴知，，，A错误，
，即B正确，
，即C错误，
，即D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，实数加减法，实数的大小比较，解题的关键是综合应用以上知识解题．
6．下列说法正确的是（ ）
A．有理数中存在最大的数B．整数包含正有理数和负有理数
C．有理数中不存在最小的非负数D．任何有理数的绝对值都不是负数
【答案】D
【分析】分别根据有理数的大小比较、整数的定义、正数和负数的定义逐一判断即可．
【解析】解：A．有理数中不存在最大的数，原说法错误，故本选项不合题意；
B．整数包含正整数、零和负整数，原说法错误，故本选项不合题意；
C．最小的非负数是0，原说法错误，故本选项不合题意；
D．任何有理数的绝对值都不是负数，说法正确，故本选项符合题意
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数大小比较、绝对值、正数、负数等知识点，掌握相关定义是解答本题的关键．
7．若，则的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a≥0C．a＜0D．a≤0
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质解答．
【解析】∵
∴≤0．
故选：D．
【点睛】此题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是正数，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，熟记绝对值的性质是解题的关键．
8．已知a，b，c为非零有理数，则的值不可能为（ ）
A．0B．-3C．-1D．3
【答案】A
【分析】要对a,b,c所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值，代入求值．
【解析】解：对a,b,c的取值情况分类讨论如下：
①当a,b,c都是正数时，，所以和为3；
②当a,b,c都是负数时，=-1，所以和为-3；
③当a,b,c中有两个正数，一个负数时，中有两个1，一个-1，所以=1，
④当a,b,c中有一个正数、两个负数时，中有两个-1，一个+1，所以=-1，
总之，=±1或±3．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了绝对值，分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏．规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
二、填空题
9．比较大小：______（填“＜”、“＝”或“＞”）．
【答案】＞
【分析】先通分，然后比较大小即可．
【解析】解：∵
∴
∴
故答案为：＞
【点睛】本题考查了有理数的大小比较．解题的关键在于熟练掌握通分与负数的大小比较，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
10．的相反数为_______；的绝对值为______．
【答案】 ##0.75 3
【分析】根据相反数和绝对值的概念求解即可．
【解析】解：的相反数为，的绝对值为3．
故答案为：；3．
【点睛】本题考查相反数与绝对值，关键掌握相反数与绝对值的定义．
11．把64的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为______．
【答案】
【分析】首先求出64的平方根和立方根，然后根据有理数比较大小方法求解即可．
【解析】解：∵，
∴64的平方根为和8，64的立方根为4
∴从小到大的顺序排列为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平方根和立方根的概念，比较有理数的大小，解题的关键是求出64的平方根和立方根．
12．若互为相反数，互为倒数，则_____．
【答案】1
【分析】先根据相反数的性质、倒数的定义得出，，再代入计算即可．
【解析】解：根据题意知，，
，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及相反数的性质、倒数的定义．
13．月考成绩出来后，组长记录了她们组6名同学的数学成绩，她以80分作为计分标准，超过的部分计为正数，不足的部分计为负数，若她们组6名同学的成绩为，则这6名同学的实际成绩最高分数是___________分．
【答案】98
【分析】利用记录的六个数字的最大数加上80即可得．
【解析】解：以80分作为计分标准，且，
这6名同学的实际成绩最高分数是（分），
故答案为：98．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较、有理数的加法，理解题意，正确列出运算式子是解题关键．
14．在数轴上与表示数2的点相距3个单位长度的点对应的数是___________．
【答案】5或
【分析】根据数轴上两点间的距离公式即可求解．
【解析】解：设数轴上与表示2的点相距3个单位长度的点所表示的数是x，
则，
因此或
解得或．
故答案为：5或．
【点睛】本题考查数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解题的关键．
15．已知与的值互为相反数，则x的值为________．
【答案】3
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到的值．
【解析】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握互为相反数的两个数和为0是解本题的关键．
16．同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索∶
（1）求=________；
（2）若，则=________；
（3）使得的所有整数的取值为________．
【答案】 7 8或
【分析】（1）直接根据题中数轴上两点之间的距离求解即可；
（2）表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，据此求解即可；
（3）结合数轴上两点之间的距离即图像求解即可．
【解析】解：（1）表示5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，且两点之间的距离为7，即；
（2）表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，且两点之间的距离为6，
∴或，
（3）表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离与x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离之和，且距离之和为5，
如图所示：
-3与2之间的距离为5，
∴x的取值在与2之间，
∴x的取值为；
故答案为：①7；②或8；③．
【点睛】题目主要考查绝对值的意义及数轴上两点之间的距离，理解题意是解题关键．
二、有理数四则运算
1、有理数的加法（重点）
有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）
4.一个数同0相加，仍得这个数。
有理数的加法运算律：
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
即；
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
即。
2、有理数的减法
有理数的减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数。即。
注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。
3、有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算
步骤：（1）减法化加法；
（2）省略括号和加号；
（3）运用加法运算律使计算简便；
（4）运用有理数加法法则进行计算。
注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；
（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
4、有理数的乘法（重点）
有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0.
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数的倒数是）
多个有理数相乘的法则及规律：
几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；
负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.
注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
5、有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
即。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
即。
6、有理数的除法
有理数除法法则：
（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。
（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何不为0的数，都得0。
步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。
7、有理数的乘除混合运算
运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。
（注：带分数应首先化为假分数进行运算）
8、有理数的四则混合运算
运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。
注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律
、
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据倒数的定义即可求解，相乘等于1的两个数互为倒数．
【解析】解：的倒数是．
故选：D．
【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．
2．下列算式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据有理数减法的计算法则和绝对值的意义逐项计算即可解答．
【解析】，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算正确，符合题意；
，故C计算错误，不符合题意；
，故D计算错误，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查有理数的减法，绝对值的意义．掌握有理数减法的运算法则是解题关键．
3．已知，，且，则的值等于（ ）
A．7B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据绝对值与偶次幂的意义可知，然后代值求解即可．
【解析】解：∵，，
∴，，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查据绝对值与偶次幂的意义及有理数的加法运算，熟练掌握绝对值与偶次幂的意义及有理数的加法运算是解题的关键．
4．数轴上点A表示的数是－4，将点A在数轴上平移8个单位长度得到点B，则点B表示的数是（ ）
A．或12B．4或C．4D．－12
【答案】B
【分析】数轴上点的平移，根据左减右加的方法，即可得出答案．
【解析】解：点A表示的数是−4，左移8个单位，得−4−8=−12，
点A表示的数是−4，右移8个单位，得−4+8=4，
故点表示的数是4或-12，
故选：B．
【点睛】本题考查数轴上的点平移法则，理解左减右加是解题关键．
5．绝对值大于而不大于的所有整数的和等于（ ）
A．12B．0C．－12D．－13
【答案】B
【分析】找出绝对值大于而不大于的所有整数，求出之和即可．
【解析】解：绝对值大于而不大于的所有整数有：-3，-4，-5，3，4，5，
之和为0．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．下列判断正确的是 ( )
A．若，则，中至少一个为零
B．若，则一定有，
C．若，则一定有，
D．若，且，则，
【答案】A
【分析】若ab=0，则a，b中至少一个为0；若ab＞0，则a，b同号；若ab＜0，则a，b异号；若ab＜0且a+b＜0，则a，b异号且负数的绝对值大．
【解析】解：A、若ab=0，则a，b中至少一个为0，即a=0或b=0或a=b=0，故本选项正确；
B、若ab＞0，则a，b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故本选项错误；
C、若ab＜0，则a，b异号，即a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，故本选项错误；
D、若ab＜0且a+b＜0，则a，b异号且负数的绝对值大，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘法与加法法则，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
7．计算（ ）
A．0B．C．1008D．
【答案】D
【分析】应用加法运算定律和减法的性质，求出算式的值是多少即可．
【解析】解：
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，要熟练掌握，注意加法运算定律和减法的性质的应用．
8．已知x，y互为相反数且均不为0，a，b互为倒数，m是最大的负整数，则代数式的值为（ ）
A．-2020B．-2021C．1D．-1
【答案】B
【分析】根据题意可得：，，再代入，即可求解．
【解析】解：∵x，y互为相反数且均不为0，a，b互为倒数，m是最大的负整数，
∴，
∴，即，
∴


故选：B
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，相反数的性质，倒数，根据题意得到，是解题的关键．
二、填空题
9．请直接写出答案
（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．
【答案】 0 ##
【分析】（1）根据有理数的加法运算，即可求解；
（2）根据有理数的减法运算，即可求解；
（3）根据有理数的除法运算，即可求解；
（4）根据有理数的乘方运算，即可求解．
【解析】（1）解：，
故答案为：0；
（2）解：，
故答案为；
（3）解：，
故答案为；
（4）解：，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，有理数的除法运算，有理数的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
10．的值为__________．
【答案】
【分析】先计算有理数的除法，再计算有理数的乘法即可得．
【解析】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题关键．
11．规定：，请计算：_____________．
【答案】
【分析】根据定义新运算的法则，有乘方的先乘方，再算括号里的，最后利用有理数的加减即可求解．
【解析】解：根据题意得，，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查有理数的定义新运算，解题的关键是有理数的混合运算法则．
12．阅读下列材料：
计算：
解：原式
这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算：______．
【答案】
【分析】先计算分母，再根据“裂项相消法”计算可得答案．
【解析】解：
=
=
=
=
=，
故答案为：．
【点睛】此题考查了有理数混合运算，正确理解题意掌握解题的方法是解此题的关键．
三、解答题
13．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】有理数的混合运算，按其运算法则计算即可．
【解析】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确计算是解题的关键．
14．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
(1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
(2)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
(3)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
【答案】(1)地在地的东边20千米
(2)9升
(3)25千米
【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向；
（2）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案；
（3）根据有理数的加法，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得最远．
【解析】（1）解：（千米），
答：地在地的东边20千米；
（2）这一天走的总路程为：
（千米），
应耗油（升），
故还需补充的油量为：（升），
答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油；
（3）路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米），
最远处离出发点25千米．
【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，解题关键是理清正数与负数的意义并掌握有理数的混合运算法则．
15．一个进行数值转换的运行程序如图所示．
(1)填写下表：
(2)若输出的值是12，则输入的值是 ．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）根据程序流程图所给的计算法则求解即可；
（2）逆用逆推思维根据输出的数求出上一次输入的数，然后分上一次输入的数为第一次输入的数和不是第一次输入的数两种情况讨论求解即可．
【解析】（1）解：当输入时，，则输出；
当输入时，，
当输入时，，则输出；
∴当输入时，输出；
当输入时，，
当输入时，，则输出；
∴当输入时，输出；
∴填表如下：
（2）解：∵输出的结果为12，
∴上一次输入的数m满足，
∴，
∴若第一次输入的数为，则满足题意；
若第一次输入的数不是，
∴上上次的输入的数n满足，
∴，
若第一次输入的数为，则满足题意；
若第一次输入的数不是，则输出的结果即为不满足题意；
∴综上所述，输入的值是或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了与程序流程图相关的有理数混合计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
三、有理数的乘方
1、乘方
一般地，个相同的因数相乘，即?×?×?⋯×??个，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。
当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。
乘方的规律：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
有理数乘方的运算方法：
根据乘方的符号规律确定结果的符号。
计算结果的绝对值。
2、有理数的混合运算
运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算,从左到右进行；
（3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。
3、科学记数法
把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1.）
把还原成原数时，只需把的小数点往前移动位。
4、近似数和有效数字
在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.）
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。
精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。
、
一、单选题
1．下列各数中，数值相等的有（ ）
①和；②与；③与；④与；⑤与；⑥与；⑦与：⑧与．
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】D
【分析】根据乘方运算法则即可求解．
【解析】解：①和，不符合题意；②与，符合题意；③与，符合题意；④与，不符合题意；⑤与，不符合题意；⑥与，不符合题意；⑦与，符合题意：⑧与，符合题意．
符合题意得有②③⑦⑧，
故选：．
【点睛】本题主要考查乘方运算法则，熟练掌握乘方的运算法则是解题的关键．
2．计算等于（ ）
A．B．1C．D．5
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方运算进行计算即可求解．
【解析】解：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方法则的逆用及有理数的乘方运算，正确的计算是解题的关键．
3．已知有理数n、m满足，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】由平方与绝对值的非负性可求得n、m的值，即可求得代数式的值．
【解析】解：∵，，且，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零，根据此性质求得n与m的值是关键．
4．制作拉面需将长方形面条摔匀拉伸后对折，并不断重复，随着不断地对折，面条根数不断增加．若一拉面店一碗面约有64根面条，一天能拉出2048碗拉面，用底数为2的幂表示拉面的总根数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】拉面的总根数为根，而，，即可求出其值．
【解析】解：拉面的总根数为：（根，
，
用底数为2的幂表示拉面的总根数为根．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，难度不大，仔细审题即可．
5．若0A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】可以采用取特殊值法，逐一求解，然后进行比较即可．
【解析】解：∵
∴令
∴，，
∵
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较、负整数指数幂、整数指数幂等知识点，灵活利用相关运算法则以及掌握特殊值法是解答本题的关键．
6．若，则．例如，若，则．请计算（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】D
【分析】根据可以得到，再根据可以得到，带入进行计算即可得到答案．
【解析】解：当 时，得，
∵，
∴，
根据题意得，
当 时，得，
∵，
根据题意得，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握常见的整数的乘方的值．
7．观察下列等式：，试利用上述规律判断算式结果的末位数字是（ ）
A．0B．1C．3D．7
【答案】A
【分析】先根据给出的已知条件得到尾数以四次循环，再得到，结合每组尾数的和，从未可得答案．
【解析】解：∵
∴尾数以四次循环，
而，，
∴的末位数字为0，
故选A．
【点睛】本题考查的是数字的规律探究，总结出尾数以四次循环是解本题的关键．
8．若，则的值为（ ）
A．0B．1C．728D．729
【答案】C
【分析】根据等式结构，将代入求出，再将代入求解即可．
【解析】解：把代入，得：
把代入，得：，
即，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查代数式求值，会利用和求解是解答的关键．
二、填空题
9．下列各数：，0，，，，，其中正整数有_______个．
【答案】1
【分析】利用绝对值、乘方及相反数知识，把其中部分数化简即可判断正整数的个数．
【解析】，，， ，
其中是正整数的只有1，故正整数有1个；
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相反数、绝对值及乘方的计算，有理数的分类等知识，正确化简是关键．
10．平方得9的数是_____；绝对值等于9的数是_____；立方等于本身的数是_____．
【答案】 1，0，
【分析】根据的平方为9，的绝对值为9，立方等于本身的是1，0，，即可解答．
【解析】解：平方得9的数是；绝对值等于9的数是；立方等于本身的数是1，0，．
故答案为：；；1，0，．
【点睛】本题考查了绝对值，平方，立方，解决本题的关键是明确绝对值，平方，立方的性质．
11．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是2亿1千万人一年的口粮．将2亿1千万用科学记数法表示为___________．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解析】解：将2亿1千万用科学记数法表示为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
12．已知和关于轴对称，则的值为___________．
【答案】
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得m、n的值，根据负数的奇数次方是负数，可得答案．
【解析】解：根据题意，得，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
13．若，则_____．
【答案】
【分析】首先由得出：，即得，然后把代数式中的b和c用a表示再计算求值．
【解析】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查的知识点是代数式求值，关键是根据非负数的性质得出．
14．已知，则=_____．
【答案】2
【分析】设，则原方程化为，求出a的值，再求出答案即可．
【解析】解：，
设，则原方程化为，
即，
，
解得：或—4，
当时，；
当时，，
∵不论x、y为何值，，
∴舍去，
综合上述：，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程直接开方法和乘方性质，熟练掌握有理数的偶数次幂是非负数是解题关键．
15．若a、b、c为整数，且，则________．
【答案】2
【分析】根据绝对值的意义， 与这两个绝对值中必有一个为零，则可判断出的取值与相互间的关系，然后解答即可．
【解析】解：为整数，则也为整数，且 与为非负数，和为1，
且，
或且；
①当且，
则，，，，
，
②当且，
则，，，，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，根据题意求出三个数之间的取值关系是解题的关键．
三、解答题
16．若关于x、y的多项式的值与x无关．
(1)求m，n的值；
(2)比较：与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先合并同类项，再根据题意得出，求解即可；
（2）分别求出与的值，进行比较即可．
【解析】（1），
∵关于x、y的多项式的值与x无关，
∴，
解得；
（2）由（1）得，，
∴．
【点睛】本题考查了整式加减中的无关型问题，有理数的乘方运算和有理数的大小比较，熟练掌握知识点是解题的关键．
一、单选题
1． (2023·上海嘉定·二模）下列四个选项中的数，不是分数的是（ ）
A．80%B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据有理数包括分数和整数，无理数一定不是分数判断即可．
【解析】解：∵是无理数，无理数一定不是分数，
∴不是分数，
故选：B．
【点睛】本题考查实数的分类，解题的关键是掌握无理数一定不是分数．
2． (2023·上海浦东新·模拟预测）下列正整数中，属于素数的是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】根据素数的定义，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数，进而得出答案．
【解析】解：各选项中，只有2除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，故属于素数的是2．
故选：A．
【点睛】本题考查了素数的定义，熟练掌握素数的定义是解答本题的关键．
3． (2023·上海奉贤·二模）据2022年北京冬奥会新闻发言人透露，中国大陆地区约316000000人次收看了冬奥会的开幕式．数据316000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解析】解：数字316000000科学记数法可表示为3.16×108．
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2018·上海普陀·二模）下列计算中，错误的是（ ）
A．；B．；C．；D．．
【答案】B
【分析】根据零指数幂、有理数的乘方、分数指数幂及负整数指数幂的意义作答即可．
【解析】A．，故A正确；
B．，故B错误；
C．．故C正确；
D．，故D正确；
故选：B．
【点睛】本题考查零指数幂、有理数的乘方、分数指数幂及负整数指数幂的意义，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
5． (2023·上海·中考模拟）下列各数不是4的因数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据求一个数的因数的方法，判断出所给的各数不是4的因数是哪些即可.
【解析】解：∵4的因数有：1、2、4，
∴各数不是4的因数是3．
故选C．
【点睛】此题主要考查了求一个数因数的方法，要熟练掌握，应有顺序的写，做到不重不漏．
6．（2017·上海徐汇·二模）如果数轴上表示2和﹣4的两点分别是点A和点B，那么点A和点B之间的距离是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣6D．6．
【答案】D
【解析】 ，故选D.
7． (2023·上海金山区世界外国语学校一模）某市参加毕业考试的学生人数约为8.63×人．关于这里的近似数8.63×，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字；B．精确到百位，有3个有效数字；
C．精确到百分位，有5个有效数字；D．精确到百位，有5个有效数字．
【答案】B
【分析】在标准形式a×10n中a的部分中，从左边第一个不为0的数字数起，共有3个有效数字是8，6，3，且其展开后可看出精确到的是百位．
【解析】解：8.63×104=86300，所以有3个有效数字，8，6，3，精确到百位．
故选：B．
【点睛】此题主要考查科学记数法与有效数字，解答的关键是明确用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
二、填空题
8． (2023·上海·模拟预测）的相反数是______，-2的绝对值是______．
【答案】 2
【分析】据相反数的定义和绝对值的性质解答即可．
【解析】解：的相反数是；
−2的绝对值是2，
故答案为：，2．
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质以及相反数的定义；符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，0的相反数是0．
9． (2023·上海·模拟预测）若|a|=3，|b|=4，且a，b异号，则|a+b|=______．
【答案】1
【分析】根据题意可得：a=±3，b=±4，根据a、b异号可得：当a=3时，b=-4，a+b=-1；当a=－3时，b=4，则a+b=1.
【解析】∵|a|=3，|b|=4，
∴a=±3，b=±4，
∵a、b异号，
∴当a=3时，b=-4，；
当a=-3时，b=4，.
故答案为1
【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，是解此类问题的关键．
10． (2023·上海崇明·二模）某件商品进价为100元，实际售价为110元，那么该件商品的利润率为_____．
【答案】10%
【分析】根据利润率，列出算式，再计算求值即可．
【解析】解：根据题意得：(110﹣100)÷100
＝10÷100
＝10%，
则该件商品的利润率为10%．
故答案为：10%．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，根据题意正确的列出算式是解答本题的关键．
11． (2023·上海嘉定·二模）2021年5月，国家统计局发布了第七次全国人口统计数据：全国共有人口141178万，用科学记数法表示141178万人，那么可以表示为_________万人．（保留两个有效数字）
【答案】1.4×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解析】解：141178≈1.4×105，
故答案为：1.4×105．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（2018·上海·模拟预测）已知数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，数轴上到点A的距离为的点所表示的数是________．
【答案】或
【分析】根据数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，可以得到点A表示的数，从而可以得到数轴上到点A的距离为的点所表示的数．
【解析】解：∵数轴上点到原点的距离为1，且点在原点的右侧，
∴点表示的数是1，
∴数轴上到点的距离为的点所表示的数是：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查实数与数轴、两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的知识解答．
输入x
2
3
输出y
输入x
2
3
输出y
9
6
15