备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题09二次函数(原卷版+解析)

这是一份备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题09二次函数(原卷版+解析)，共59页。试卷主要包含了二次函数的概念，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

二次函数是初中数学的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、锐角的三角比在一起，显现在解答题中。因此，熟练把握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。
一、二次函数的概念
概念：一般地，形如?=??2+??+?（? ， ? ， ?是常数，?≠0）的函数，叫做二次函数。
注意：二次项系数?≠0，而? ， ?可以为零．
二次函数?=???+??+?的结构特征：
等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
? ，? ，?是常数，?是二次项系数，?是一次项系数，?是常数项．
用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
一、单选题
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各点中，在二次函数图象上的点是（ ）
A．B．C．D．
3．若函数是关于x的二次函数，则（ ）
A．B．3C．3或D．2
4．已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．B．C．2D．4
5．已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
6．将抛物线沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
7．小宇利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ）A． B． C． D．
8．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表，下列选项正确的是（ ）
A．B．这个函数的图像与x轴无交点
C．二次函数有最小值D．当，y的值随x值得增大而减小
二、填空题
9．已知关于x的二次函数的图象经过原点，则m的值为______．
10．写出一个开口向上，且与y轴的负半轴相交的抛物线的解析式：____________．
11．函数的图象是抛物线，则k的值是______．
12．已知函数为二次函数，则的值为______．
13．已知抛物线的图象经过，，则此抛物线的顶点坐标是_________．
二、二次函数的图像与性质
1. 二次函数的图象：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①决定抛物线的开口方向：
当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
③顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、
开口大小完全相同，只是顶点的位置不同
求抛物线的顶点、对称轴：
∴顶点坐标对称轴是直线
2. 二次函数的性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质对应在它的图象上，有如下性质：
4. 二次函数y=x2+bx+c（≠0）的系数，b，c，△与抛物线的关系
一、单选题
1．将抛物线y＝4﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线必定经过点（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．（0，6）D．（1，﹣3）
2．抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，b），（3，c），则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞c
C．a＞b＞cD．无法比较大小
3．若二次函数的图象与x轴交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．以上都不对
4．下列关于二次函数的说法，正确的是（ ）
A．对称轴是直线B．当时有最小值
C．顶点坐标是D．当时，y随x的增大而减少
5．一次函数y=ax+b与二次函数y=a+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（ ）
A．过点(3，0)B．顶点是(-2，2)
C．在轴上截得的线段的长是2D．与轴的交点是(0，3)
7．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（ ）A．②③B．①②③C．①②③④D．②③④
8．小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论x取何实数，y的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线上
C．当时，y随x的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点，，若，，则
9．如图，抛物线（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（ ）
A．B．3C．D．
10．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于点A（－1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0；③若点，点是函数图像上的两点，则y1＞y2；④ ；⑤c－3a＞0，其中正确结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题
11．抛物线的顶点坐标是 _____．
12．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______．
13．已知二次函数y＝（x+m）2+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_______．
14．将抛物线以原点为中心旋转180度得到的抛物线解析式为___________．
15．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________．
16．已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，如图所示，则使不等式成立的的取值范围是_____________．
17．如图，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作轴，交该图像于点D．若、，则的面积为________．
18．定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”如：、都是“整点”．当抛物线与其关于轴对称抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有个整点时，的取值范围______．
三、解答题
19．如图，抛物线的图像经过、两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，请判断点是否在抛物线上．
20．如图，直线与x轴交于点B．抛物线与该直线交于A、B两点，交y轴于点D（0，4），顶点为C．
(1)求抛物线的函数解析式，并求出点A的坐标．
(2)求二次函数图像与x轴的交点E的坐标，并结合图像，直接写出当时，x的取值范围．
21．二次函数．
(1)求该二次函数图象的对称轴；
(2)若图象过点，且，求的取值范围；
(3)若点在该二次函数图象上，且，求的取值范围．
22．“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元，且不高于60元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．
(1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元；
(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
23．如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．
(1)A点的坐标是_____________；B点坐标是________________；
(2)求直线BC的解析式；
(3)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；
(4)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．
三、二次函数的实际应用
1、列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
要点：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
2、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
要点：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解二次函数的基本性质；
②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
一、单选题
1．从高处自由下落的物体，下落距离s与下落时间t的平方成正比．若某一物体从125米高度自由下落，5秒落地，则下落1秒时，距离地面的高度为（ ）
A．5米B．25米C．100米D．120米
2．我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
A．4.5米B．5米C．6.25米D．7米
3．2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点离地面点的距离是米，球落地点到点的距离是（ ）
A．1米B．3米C．5米D．米
4．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为B，网球飞行路线是一条拋物线，小明在直线上点C（靠点B一侧）右侧竖直向上摆放若干个无盖的、直径为0.5米，高为0.3米的圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放圆柱形桶（ ）．
A．4个B．5个C．6个D．7个
5．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员起跳后的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．如图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）．
A．4mB．7mC．8mD．10m
6．洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为米时，水面宽度为米；那么当水位上升米后，水面的宽度为___________米．（结果可带根号）
8．两辆车A和B，从相同标记处同时出发，沿直线同方向行驶，并且由出发点开始计时，行驶的距离x与行驶时间t的函数关系分别为：和，求：
（1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是_____；
（2）它们出发后，B车相对A车速度为零的时刻是_____．
9．小亮和小明在篮球场练习投篮，小亮投篮时篮球出手的高度是1.7米，篮球的运行路线是抛物线的一部分，篮球运行的水平距离为3米时达到最高点，最高点的高度是3.5米，篮筐的高度是3.05米，结果小亮恰好命中篮筐，建立如图所示的平面直角坐标系(篮球和篮筐均看作一个点)，y轴经过抛物线的顶点，解答下列问题．
（1）小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式为__________；
（2）小亮投篮时与篮筐的水平距离L为__________；
（3）小亮投篮后篮球被篮筐弹了出来，恰被离篮筐水平距离为5米处的小明跳起来接住．已知篮球弹出后运行路线也是抛物线的一部分(两抛物线在同一平面内)，运行的水平距离为2米时到达最高点，小明接球的高度为2.3米．则篮球弹出后最高点的高度为__________；
三、解答题
10．如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽为xm，面积为．
(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
(2)要围成面积为的花圃，的长是多少米？
(3)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
11．某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．请问每件售价提高多少元时，才能使一天的利润最大？最大利润是多少元？
12．某公司研发了一款成本为元的新型产品，投放市场进行销售．按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于元，调研发现每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求每天的销售量y（个）与销售单价x（元）的函数关系式；
(2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
13．图1是一个倾斜角为的斜坡的横截面．斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，与喷头A的水平距离为6米，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y (单位：米)(水珠的竖直高度 是指水珠与水平地面的距离)，水珠与喷头A的水平距离为x(单位：米)，y与x之间近似满足二次函数关系，图2记录了x与y的相关数据，其中当水珠与喷头A的水平距离为4米时，喷出的水珠达到最大高度4米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)斜坡上有一棵高1.9米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．
一、单选题
1．二次函数的图像的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．下列抛物线中，对称轴是y轴的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
4．下列函数中，当＞0时，值随值增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
5．在下列函数中，同时具备以下三个特征的是（ ）
①图像经过点；②图像经过第三象限；③当时，y的值随x的值增大而增大
A．B．C．D．
6．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是（ ）
A．对称轴B．开口方向C．和y轴的交点D．顶点．
7．小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
A．-1B．3C．4D．0
8．二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．当时，函数有最小值
9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），且顶点在第一象限，那么下列结论：①a+c=b；②x=-1是方程ax2+bx+c＝0的解；③abc>0；④c﹣a＞2，其中正确的结论为（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
10．下列关于二次函数y=x2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是( )
A．该函数图象的开口向上
B．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
C．该函数图象关于y轴对称
D．该函数图象可由函数y=x2的图象平移得到
二、填空题
11．如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．
12．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位后，所得抛物线为，则抛物线解析式为________．
13．抛物线的顶点坐标是______．
14．如果抛物线有最高点，那么的取值范围是________．
15．如果抛物线的对称轴是直线，那么______0.（从＜，＝，＞中选择）
16．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为____．
17．如图，点A在直线y＝x上，如果把抛物线y＝x2沿OA方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为_____．
18．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为_______________________．
三、解答题
19．已知抛物线．
（1）请用配方法求出顶点的坐标；
（2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值．
20．已知抛物线经过点、．
（1）求抛物线的表达式；
（2）把表达式化成的形式，并写出顶点坐标与对称轴．
21．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
22．我们已经知道二次函数的图像是一条抛物线．研究二次函数的图像与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x轴的正方向看）．
已知一个二次函数的大致图像如图所示．
（1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）
（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过点A、B顶点为C．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果，求平移的距离；
(3)设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移3个单位，如果点M的对应点Q落在内，求m的取值范围．
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
0
﹣1
0
3
…
x
……
0
1
3
4
……
y
……
6
m
……
二次函数的图象及性质
抛物线
开口方向
当>0时开口向上，并向上无限延伸；
当＜0时开口向下，并无限向下延伸。
顶点坐标
（0，0）
（0，c）
（-m，0）
（-m，k）
（，）
对称轴
y轴
y轴
直线x=-m
直线x=-m
直线
最值
＞0
X=0时
X=0时
X=-m时
X=-m时
时，
＜0
X=0时
X=0时
X=-m时
X=-m时
时，
增减性
＞0
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
＜0
在对称轴左侧，y随x的增大而增大
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
决定开口方向：当＞0时开口向上，＜0时开口向下。
，b
、 b同时决定对称轴位置：、b同号时对称轴在y轴左侧
、b异号时对称轴在y轴右侧
b=0时 对称轴是y轴
c
c决定抛物线与y轴的交点：c＞0时抛物线交y轴的正半轴
c=0时抛物线过原点
c＜0时抛物线交y轴的负半轴
△
△决定抛物线与x轴的交点：△＞0时抛物线与x轴有两个交点
△=0时抛物线与x轴有一个交点
△＜0时抛物线与x轴没有交点
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
4
3
0
…
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣4
﹣2
2
8
…
专题09 二次函数

二次函数是初中数学的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、锐角的三角比在一起，显现在解答题中。因此，熟练把握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。
一、二次函数的概念
概念：一般地，形如?=??2+??+?（? ， ? ， ?是常数，?≠0）的函数，叫做二次函数。
注意：二次项系数?≠0，而? ， ?可以为零．
二次函数?=???+??+?的结构特征：
等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
? ，? ，?是常数，?是二次项系数，?是一次项系数，?是常数项．
用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
一、单选题
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可．
【解析】解：A、未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
B、未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
C、未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
D、是二次函数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如的函数叫做二次函数．
2．下列各点中，在二次函数图象上的点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．
【解析】A． ，选项错误，不符合题意；
B． ，选项正确，符合题意；
C． ，选项错误，不符合题意；
D． ，选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证．
3．若函数是关于x的二次函数，则（ ）
A．B．3C．3或D．2
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【解析】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知形如的函数是二次函数是解题的关键．
4．已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】将代入解析式，求出值，再将代入解析式，求出值即可．
【解析】解：将代入函数解析式，得：，
解得：，
∴，
当时，，即：；
故选：B．
【点睛】本题考查求二次函数的函数值．解题的关键的是利用待定系数法，正确的求出二次函数解析式．
5．已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象经过三点，可以设二次函数一般式求出解析式
【解析】解：设
把，，分别代入得
，
解得，
∴该函数的解析式是：，
故选：A
【点睛】此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握用二次函数一般式求出解析式是解题关键．
6．将抛物线沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答即可．
【解析】解：根据题意，得
翻折后抛物线的解析式的解析式为：．
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．总结：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标坐标互为相反数．关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数．关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数．
7．小宇利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，再利用待定系数法求出二次函数解析式，进行验证．
【解析】∵和时，；
∴抛物线的对称轴为直线，
∴顶点坐标为，
设抛物线为，
把，代入得，
∴，
∴该二次函数解析式为，
当时，，
∴，错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，找出图表数据特点，根据函数的对称性解答即可，注意进行验证，以确保判定的正确性．
8．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表，下列选项正确的是（ ）
A．B．这个函数的图像与x轴无交点
C．二次函数有最小值D．当，y的值随x值得增大而减小
【答案】D
【分析】根据表格数据求出二次函数的表达式，从而根据二次函数的性质判断各选项．
【解析】解：∵根据二次函数的x与y的部分对应值图，
当时，，当时，，当时，，
∴，解得：，
∴，
令，则，故A错误；
∵，
∴这个函数的图像与x轴有两个交点，故B错误；
函数有最小值为，故C错误，
∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当，y的值随x值得增大而减小，
即当，y的值随x值得增大而减小，故D正确，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
二、填空题
9．已知关于x的二次函数的图象经过原点，则m的值为______．
【答案】
【分析】根据函数图象经过原点，把代入函数表达式，即可求出m的值，再根据二次函数的定义，排除不符合题意的m的值即可．
【解析】解：把代入得：，
解得：，
∵为二次函数，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的定义，图象经过原点时，是本题的关键．
10．写出一个开口向上，且与y轴的负半轴相交的抛物线的解析式：____________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式满足，即可．
【解析】解：开口向下，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式可以是．
故答案为：(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．本题属于开放性试题，答案不唯一．
11．函数的图象是抛物线，则k的值是______．
【答案】1
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【解析】解：∵函数的图象是抛物线，
∴，
解得：．
∴．
故答案为：1．
【点睛】题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数关系，称为y关于x的二次函数，其图象为抛物线是解题的关键．
12．已知函数为二次函数，则的值为______．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义，即可得到答案．
【解析】解：依题意，得
解得
故答案为
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，正确把握二次函数次数与系数的值是解题关键．
13．已知抛物线的图象经过，，则此抛物线的顶点坐标是_________．
【答案】
【分析】利用待定系数法求解析式，再将其化为顶点式，即可求解．
【解析】∵抛物线的图象经过，，
，
解得：
∴，
∴抛物线的顶点坐标为
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
二、二次函数的图像与性质
1. 二次函数的图象：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①决定抛物线的开口方向：
当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
③顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、
开口大小完全相同，只是顶点的位置不同
求抛物线的顶点、对称轴：
∴顶点坐标对称轴是直线
2. 二次函数的性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质对应在它的图象上，有如下性质：
3. 二次函数y=x2+bx+c（≠0）的系数，b，c，△与抛物线的关系
一、单选题
1．将抛物线y＝4﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线必定经过点（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．（0，6）D．（1，﹣3）
【答案】B
【分析】由题意可确定平移后的抛物线的函数解析式，再逐一判断即可．
【解析】抛物线y＝4﹣（x+1）2的顶点坐标为(−1，4)，抛物线y＝4﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标为(0，2)，则平移后的抛物线解析式为；
当x=−2时， ，即点（﹣2，2）不在抛物线上；
当x=−1时， ，即点（﹣1，1）在抛物线上；
当x=0时， ，即点（0，6）不在抛物线上；
当x=1时， ，即点（1，3）不在抛物线上；
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移、点与函数图象的关系，二次函数图象的平移关键是抓住抛物线顶点的平移．
2．抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，b），（3，c），则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞c
C．a＞b＞cD．无法比较大小
【答案】A
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较三个点都直线的远近得到、、的大小关系．
【解析】解：二次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
、，，
点离直线最远，离直线最近，
而抛物线开口向上，
；
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3．若二次函数的图象与x轴交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的判别式，即可得出结论．
【解析】∵二次函数，
∴，
∵，
∴，即，
∴二次函数的图象与轴交点个数为2个，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数判别式，进行判断二次函数图象与轴交点个数，正确掌握方法是解题的关键．
4．下列关于二次函数的说法，正确的是（ ）
A．对称轴是直线B．当时有最小值
C．顶点坐标是D．当时，y随x的增大而减少
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】解：由二次函数可知对称轴是直线，故选项A错误，不符合题意；
由二次函数可知开口向上，当时有最小值，故选项B正确，符合题意；
由二次函数可知顶点坐标为（3，-5），故选项C错误，不符合题意；
由二次函数可知顶点坐标为（3，-5），对称轴是直线，当x＜3时，y随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．
5．一次函数y=ax+b与二次函数y=a+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
【解析】解：A. 由抛物线可知，a＜0，x=-＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
B. 由抛物线可知，a＜0，x=-＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
C. 由抛物线可知，a＞0，x=-＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D. 由抛物线可知，a＜0，x=-＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象，掌握抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
6．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（ ）
A．过点(3，0)B．顶点是(-2，2)
C．在轴上截得的线段的长是2D．与轴的交点是(0，3)
【答案】B
【分析】由题目条件可知该二次函数图象对称轴为x=2，可求得抛物线与x轴的另一交点，则可判断A、C；由抛物线顶点的横坐标应为对称轴，即可判断B；把x=0代入可求得y=c，由c的值有可能为3，故可判断D正确．
【解析】解：由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为(1，0)，抛物线对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)，
∴在x轴上截得的线段长是3-1=2，
∴A、C正确，不符合题意；
∵该二次函数图象对称轴为x=2，
∴顶点横坐标应为2，
∴B一定不正确，符合题意；
把x=0代入可求得y=c，
∴当c=3时，抛物线与y轴的交点坐标为(0，3)，
∴D有可能正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．掌握函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在二次函数的图象上是解题关键．
7．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（ ）A．②③B．①②③C．①②③④D．②③④
【答案】C
【分析】由题意，抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，可得h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．
【解析】解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，故①正确，
∴抛物线的对称轴t＝4.5，故②正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确，
∵当t＝5时，h＝20，当t＝7时，h＝14，
∴足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确．
∴正确的有①②③④，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
8．小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论x取何实数，y的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线上
C．当时，y随x的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点，，若，，则
【答案】C
【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，判断即可．
【解析】解：A．，当时，，当时， ，故错误；
B．抛物线的顶点坐标为，当时，，故错误；
C．抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，，故正确；
D．抛物线上有两点，，若，，，点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，，故错误．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．如图，抛物线（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】先根据抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D，求出A、B、C三点的坐标，再根据点A在直线y＝x上建立关于a的方程，求出a值，最后求得OA长度．
【解析】抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D，
，
又点C恰为线段AB中点
，；
又点A在直线y＝x上，
，
解得：或（舍去）；
，
．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数、正比例函数的性质，解决本题的关键是熟练应用各性质．
10．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于点A（－1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0；③若点，点是函数图像上的两点，则y1＞y2；④ ；⑤c－3a＞0，其中正确结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点（-1，0）及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得x=3时y＞0，进而判断②，根据M，N两点与抛物线对称轴的距离判断③，由抛物线对称轴可得b=-4a，再根据x=-1时y=0及2＜c＜3可判断④，根据x=1时y＞0可判断⑤．
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=-＞0，
∴b＞0．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
∵抛物线与x轴交点坐标为（-1，0），对称轴为直线x=2，
∴抛物线与x轴另一交点为（5，0），
∴当x=3时，y=9a+3b+c＞0，②正确．
∵，抛物线开口向下，
∴y1＜y2，③错误．
∵-=2，
∴b=-4a，
∴x=-1时，y=a+4a+c=5a+c=0，
∵2＜c＜3，
∴-3＜5a＜-2，
解得，
∴④正确，
∵x=1时，y=a+b+c=-3a+c＞0，
∴c-3a＞0，⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题
11．抛物线的顶点坐标是 _____．
【答案】（，-）
【分析】直接利用配方法求出二次函数顶点式，进而得出答案．
【解析】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标是（，-）．
故答案为：（，-）．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出顶点式是解题关键．
12．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______．
【答案】2019
【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．
【解析】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴-3m2+3m+2022
=-3（m2-m）+2022
=-3+2022
=2019．
故答案为：2019．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值．
13．已知二次函数y＝（x+m）2+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_______．
【答案】m≥﹣2
【分析】根据二次函数顶点式确定对称轴，根据二次函数开口朝上，依题意，可知在对称轴的右侧y的值随x值的增大而增大，进而求得的取值范围．
【解析】解：二次函数y＝（x+m）2+2的对称轴为直线x＝﹣m，且开口朝上
∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m≤2，
解得m≥﹣2．
故答案为：m≥﹣2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据解析式求得开口方向和对称轴是解题的关键．
14．将抛物线以原点为中心旋转180度得到的抛物线解析式为___________．
【答案】
【分析】求出绕原点旋转180度所得抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出即可．
【解析】解：∵抛物线的顶点为，绕原点旋转180度后变为，且开口相反，
∴得到的抛物线解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．
15．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________．
【答案】4
【分析】将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH．
【解析】解：当时，，解得：或，
结合图形可知：，
故答案为：4
【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．
16．已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，如图所示，则使不等式成立的的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】根据函数图象与两函数的交点坐标，即可求得．
【解析】解：二次函数与一次函数的图象相交于点和，
由图象可得：使不等式成立的的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用两函数的图象和交点求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
17．如图，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作轴，交该图像于点D．若、，则的面积为________．
【答案】20
【分析】由抛物线的对称性及点D，B的坐标可得点A，C的坐标，进而求解．
【解析】解：∵CD∥x轴，点A，B为抛物线与x轴交点，
∴A，B关于抛物线对称轴对称，C，D关于抛物线对称轴对称，
∵D（6，4），
∴点C坐标为（0，4），
∴抛物线对称轴为直线x=3，
由B（8，0）可得点A坐标为（-2，0），
∴S△ABC=AB•OC=×10×4=20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质．
18．定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”如：、都是“整点”．当抛物线与其关于轴对称抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有个整点时，的取值范围______．
【答案】
【分析】通过抛物线的解析式可得对称轴为，过点，对分情况讨论或，分别求解即可．
【解析】解：由可得，过点，
当时，开口向下，如下图：
此时整点有等等，显然超过9个，不符合题意；
当时，开口向上，如下图：
要保证封闭区域内（包括边界）共有个整点，需要满足
，，此时整数点为，，
即，解得
故答案为
【点睛】此题考查了二次函数的新定义问题，涉及了二次函数的性质与一元一次不等式组的求解，解题的关键是理解题意，并列出不等式组．
三、解答题
19．如图，抛物线的图像经过、两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，请判断点是否在抛物线上．
【答案】(1)
(2)不在，过程见解析
【分析】（1）把点、代入，利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；
（2）根据点的坐标平移规律，先确定点的坐标，然后将点的横坐标代入（1）中所得二次函数解析式进行计算，将所得的函数值与点的纵坐标比较即可作出判断．
（1）
解：∵抛物线的图像经过、两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）
∵点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴，
当时，，
∴点不在抛物线上．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，点坐标平移的变化规律．点的坐标平移变化规律：（1）将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变；（2）将点向右（或向上）)平移几个单位长度横坐标（或纵坐标）就增加几个单位长度；将点向左（或向下）平移几个单位长度横坐标（或纵坐标）就减少几个单位长度．理解和掌握点的坐标平移变化规律是解题的关键．
20．如图，直线与x轴交于点B．抛物线与该直线交于A、B两点，交y轴于点D（0，4），顶点为C．
(1)求抛物线的函数解析式，并求出点A的坐标．
(2)求二次函数图像与x轴的交点E的坐标，并结合图像，直接写出当时，x的取值范围．
【答案】(1)点A的坐标（－1，），y2＝－
(2)x≤－2或x=4
【分析】（1）根据直线与x轴交于点B，可以求得y=0时对应的x的值，从而可以得到点B的坐标，再根据抛物线过点D和点B，即可求得该抛物线的解析式，然后与直线联立方程组，即可求得点A的坐标；
（2）根据（1）求得的抛物线解析式，可以求得二次函数图像与x轴的交点E的坐标，然后结合图像，可以写出当时，x的取值范围．
（1）
由直线＝－与x轴交于点B，可得点B的坐标为（4，0）．
把点B（4，0）与点D（0，4）代入＝－得
解得，
∴＝－，
∵点A为直线与抛物线的交点，
∴解方程－＝－
得x=－1，
∴点A的坐标（－1，）；
（2）
当=0时，－=0，
解得，
∴点E的坐标为（-2，0），
结合图像，当时，x的取值范围是x≤－2或x=4．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
21．二次函数．
(1)求该二次函数图象的对称轴；
(2)若图象过点，且，求的取值范围；
(3)若点在该二次函数图象上，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)时，；时或
【分析】（1）根据计算即可；
（2）将代入二次函数解析式中得的表达式，从而得到的表达式，根据二次函数的图象得到的取值范围；
（3）二次函数的图象分开口向上和开口向下两种情况，分别计算的取值范围即可．
【解析】（1）解：对称轴为直线；
（2）解：将代入二次函数解析式中得：
，
∴，
∵二次函数的二次项系数不等于，
∴，
∴，
∴；
∵，且，
∴当时，，
∴，
综上所述，；
（3）当时，即时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
∵，
∴；
当时，即时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
∵，
∴或
综上所述，时，；时或．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的图象与性质，体现了分类讨论和数形结合的数学思想，第（3）问进行分类讨论是解题的关键．
22．“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元，且不高于60元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．
(1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元；
(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)当每个纪念品的销售单价是52元时，商家每天获利2640元
(2)当纪念品的销售单价定为57元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大，最大利润是2890元
【分析】（1）设每件纪念品销售价上涨x元，根据题意列出一元二次方程，解出方程，根据销售单价不高于60元即可求解．
（2）根据题意列出销售利润w与销售单价x之间的函数关系式，根据函数的增减性即可求解．
【解析】（1）解：设每件纪念品销售价上涨x元，
由题意得：（x+4）（300–10x）＝2640，
整理得：x2﹣26x+144＝0，即（x–8）（x–18）=0，
解得：x1＝8，x2＝18，
∵销售单价不高于60元，
∴x＝8，
答：当每个纪念品的销售单价是52元时，商家每天获利2640元．
（2）根据题意得：
w＝（x+4）（300–10x），
＝–10x2+260x+1200
＝–10（x–13）2+2890，
∵–10＜0，二次函数图象开口向下，对称轴为直线x=13，
∴当x＝13时，w最大且最大值为2890，
∵，
所以，当纪念品的销售单价定为57元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大，最大利润是2890元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，根据题意找准等量关系，列出方程及函数关系式是解题的关键．
23．如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．
(1)A点的坐标是_____________；B点坐标是________________；
(2)求直线BC的解析式；
(3)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；
(4)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．
【答案】(1)，
(2)直线的解析式为
(3)存在点，使的面积最大，最大面积是16，理由见详解
(4)满足条件的点的坐标为，，，，，
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，利用二次函数的性质即可求出值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点、的坐标；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，
（3）假设存在，设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，，利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
【解析】（1）解：抛物线的对称轴是直线，
，解得：，
抛物线的解析式为．
当时，，
解得：，，
点的坐标为，点的坐标为．
故答案为，．
（2）解：当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为．
将、代入，
，解得：，
直线的解析式为．
（3）解：假设存在，设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，如图所示．
，
．
，
当时，的面积最大，最大面积是16．
，
存在点，使的面积最大，最大面积是16．
（4）解：如图，
当为平行四边形的边时，由点可知点的纵坐标的绝对值为4，
∴或，
解得：，
当，时，则有，
∴，
∴，
同理可得当，，，，可得，，，，
当为对角线时，则有，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的点的坐标为，，，，，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出的值；（2）根据三角形的面积公式找出关于的函数关系式；（3）根据的长度，找出关于的含绝对值符号的一元二次方程；（4）用分类讨论的思想解决问题即可．
三、二次函数的实际应用
1、列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
要点：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
2、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
要点：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解二次函数的基本性质；
②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
一、单选题
1．从高处自由下落的物体，下落距离s与下落时间t的平方成正比．若某一物体从125米高度自由下落，5秒落地，则下落1秒时，距离地面的高度为（ ）
A．5米B．25米C．100米D．120米
【答案】D
【分析】设，再利用待定系数法求解函数解析式，再把代入函数解析式计算下落的距离，从而可得答案．
【解析】解：∵下落距离s与下落时间t的平方成正比，
∴设，
当时，，
∴，解得：，
∴，
当时，则，
此时距离地面的高度为（米）．
故选D．
【点睛】本题考查的是正比例的含义，二次函数的实际应用，理解题意，熟练的求解二次函数的解析式是解本题的关键．
2．我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
A．4.5米B．5米C．6.25米D．7米
【答案】C
【分析】将抛物线解析式配方为顶点式，得到顶点坐标解题即可．
【解析】解：，
所以抛物线的顶点坐标为，
即水喷出的最大高度是，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的配方是解题的关键．
3．2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点离地面点的距离是米，球落地点到点的距离是（ ）
A．1米B．3米C．5米D．米
【答案】C
【分析】令求得x的值即可求解．
【解析】解：令，则，
解得：，（舍去），
∴球落地点A到O点的距离是5米．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，利用函数的性质是解题的关键．
4．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为B，网球飞行路线是一条拋物线，小明在直线上点C（靠点B一侧）右侧竖直向上摆放若干个无盖的、直径为0.5米，高为0.3米的圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放圆柱形桶（ ）．
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】B
【分析】先以所在直线为x轴，建立直角坐标系，二次函数的图像过M、A、B根据待定系数法求出函数解析式，当桶的左侧最高点位于抛物线以下，右侧最高点位于抛物线以上时，求才能落进桶内，分别计算出和时y的值，然后与桶高比较，可求出m的取值范围，从而求出m的最小值．
【解析】解：先以所在直线为x轴，建立直角坐标系，二次函数的图像过、，设抛物线的解析式为;
∵抛物线过点，
∴，，
抛物线的解析式为：，
当时，，
当时，，
∵桶高，
∴有，
解得
∴m的值为5或6或7时，网球能落入桶中，
∴至少要摆5个桶；
故答案是：B．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，求能否落入桶内时高度的比较关系是解题的关键．
5．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员起跳后的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．如图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）．
A．4mB．7mC．8mD．10m
【答案】C
【分析】将点分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．
【解析】解：根据题意知，抛物线经过点，
则，
解得：
∴抛物线为
所以，该运动员起跳后飞行到最高点．
即该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，根据题意建立二次函数的模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键．
6．洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得出各点坐标，设抛物线解析式为，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．
【解析】解：如图：
根据题意，得，
设抛物线解析式为，
把点代入得：，
解得：，
所以抛物线解析式为，
当时，即，
解得： 或（舍去），
又，
所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．
二、填空题
7．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为米时，水面宽度为米；那么当水位上升米后，水面的宽度为___________米．（结果可带根号）
【答案】
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示（见详解），可知抛物线与轴的两个交点分别是，，且对称轴为，此时抛物线的最大值为，由此即可求出抛物线的解析式，当水位上升米时，求函数自变量的值，由此即可求解．
【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
∴抛物线过点，，且顶点坐标为，
设抛物线的解析为，将顶点坐标代入得，，即，
∴，则抛物线的解析式为：，
当水位上升米，即时，，
整理得，，解方程得，，，
∴水面的宽度为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，理解和掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图形的性质是解题的关键．
8．两辆车A和B，从相同标记处同时出发，沿直线同方向行驶，并且由出发点开始计时，行驶的距离x与行驶时间t的函数关系分别为：和，求：
（1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是_____；
（2）它们出发后，B车相对A车速度为零的时刻是_____．
【答案】 B车 2
【分析】（1）由已知行驶的距离x与行驶时间t的函数关系可表示出速度与时间的关系式，比较刚离开时即时，两车的速度大小即可得到答案；（2）B车相对A车速度为零的时刻即是A车速度等于B速度的时刻，列出方程求解即可．
【解析】（1）由已知得，A车的速度与时间关系式为，B车的速度与时间关系式为
它们刚离开出发点时，B车速度大于A车速度（时，）
行驶在前面的一辆车是B车
故答案为：B车
（2）B车相对A车速度为零的时刻即是A车速度等于B车速度的时刻
，即
解得或（舍去）
故答案为：2
【点睛】本题考查变速运动中运动距离与速度的关系，解题的关键是由已知的行驶的距离x与行驶时间t关系式求出速度与时间的关系式．
9．小亮和小明在篮球场练习投篮，小亮投篮时篮球出手的高度是1.7米，篮球的运行路线是抛物线的一部分，篮球运行的水平距离为3米时达到最高点，最高点的高度是3.5米，篮筐的高度是3.05米，结果小亮恰好命中篮筐，建立如图所示的平面直角坐标系(篮球和篮筐均看作一个点)，y轴经过抛物线的顶点，解答下列问题．
（1）小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式为__________；
（2）小亮投篮时与篮筐的水平距离L为__________；
（3）小亮投篮后篮球被篮筐弹了出来，恰被离篮筐水平距离为5米处的小明跳起来接住．已知篮球弹出后运行路线也是抛物线的一部分(两抛物线在同一平面内)，运行的水平距离为2米时到达最高点，小明接球的高度为2.3米．则篮球弹出后最高点的高度为__________；
【答案】 4.5米 3.65米
【分析】（1）由题意可设小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式为，再代入，可直接求解析式；
（2）令，代入，即可求出答案；
（3）根据题意设篮球弹出后运行路线所在抛物线，再代入，即可求出答案．
【解析】（1）由题意可设小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式为，代入，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）令，则，
∴，
根据图象可得，篮筐在第一象限，
∴，
则，
故答案为：4.5米；
（3）∵篮球弹出后运行得水平距离为2米时到达最高点，且篮筐到y轴得距离为1.5米，∴篮球弹出后运行路线所在抛物线的对称轴时直线，
故可设该抛物线的解析式为，
∵小明到篮筐的水平距离为5米，篮筐到y轴的距离为1.5米，
∴小明到y轴的距离为3.5米，故抛物线，经过点，
又知抛物线经过点，
故有，
∴，
即，
∴篮球弹出后最高点的高度为3.65米．
故答案为：3.65米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是掌握二次函数的定义、性质以及在实际问题中的应用．
三、解答题
10．如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽为xm，面积为．
(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
(2)要围成面积为的花圃，的长是多少米？
(3)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
【答案】(1)，
(2)3米
(3)m
【分析】（1）根据列得函数关系式，利用求出x值的取值范围；
（2）利用（1）得到，求解即可；
（3）将函数关系式化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可．
【解析】（1）解：由题意，得：，
∴；
∵，
即，
解得：，
∴x值的取值范围为：；
（2）当时，
即，
解得：，
∵，
∴，
即的长是3米；
（3），
∵，抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当时，S取的最大值，
∴当的长是m时，围成的花圃面积最大．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求二次函数的解析式，最值问题，一元二次方程的应用，正确掌握各知识点是解题的关键．
11．某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．请问每件售价提高多少元时，才能使一天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】每件售价提高4元时，才能使一天的利润最大，最大利润是360元．
【分析】设每件售价提高x元，每天的利润为y元，依题意可列出关于x与y的关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【解析】解：设每件售价提高x元，每天的利润为y元，则每件的利润为元，每天的销售量为件，
∴，
解得：．
依题意有：．
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴每件售价提高4元时，才能使一天的利润最大，最大利润是360元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题关键．
12．某公司研发了一款成本为元的新型产品，投放市场进行销售．按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于元，调研发现每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求每天的销售量y（个）与销售单价x（元）的函数关系式；
(2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)销售单价为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元
【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．
【解析】（1）解：设，
将点代入得：，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售单价x（元）的函数关系式；
（2）设每天获得的利润为w元，
由题意得，
∵按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于元，
∴
∵，抛物线开口向下，
∴当时，w有最大值，，
∴销售单价为65元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质．
13．图1是一个倾斜角为的斜坡的横截面．斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，与喷头A的水平距离为6米，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y (单位：米)(水珠的竖直高度 是指水珠与水平地面的距离)，水珠与喷头A的水平距离为x(单位：米)，y与x之间近似满足二次函数关系，图2记录了x与y的相关数据，其中当水珠与喷头A的水平距离为4米时，喷出的水珠达到最大高度4米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)斜坡上有一棵高1.9米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．
【答案】(1)
(2)能越过
【分析】（1）由图象知，顶点坐标为，且图象过点，设y关于x的函数关系式为，利用待定系数法求解可得；
（2）代入求得y的值后与比较大小后即可确定正确的结论．
【解析】（1）解：由图象知，顶点坐标为，且图象过点，
设y关于x的函数关系式为，将代入，
∴，
解得，
∴
（2）当时，，
∵，且，
∴水珠能越过这棵树．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质、二次函数的图象与性质及其平移规律等知识点．
一、单选题
1． (2023·上海浦东新·统考二模）二次函数的图像的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标．
【解析】
二次函数的图像的顶点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式的表达式中解出顶点坐标是解题的关键．
2．（2017·上海松江·统考一模）下列抛物线中，对称轴是y轴的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质逐项分析判断即可求解．
【解析】解：对于二次函数的对称轴为，
若对称轴是y轴的抛物线，则，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴为，掌握二次函数的性质是解题的关键．
3． (2023·上海嘉定·校考二模）将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】抛物线的顶点坐标为，开口向上，抛物线绕原点旋转后，开口向下，抛物线的开口大小不变，顶点坐标为，由此即可得．
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，开口向上，
则将抛物线绕原点旋转后，顶点坐标为，开口向下，抛物线的开口大小不变，
所以旋转后的抛物线的解析式为，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与旋转变换，解题的关键是熟练掌握抛物线绕某点旋转得到旋转后的抛物线的开口方向相反，开口大小不变．
4． (2023·上海黄浦·统考二模）下列函数中，当＞0时，值随值增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据在一次函数y=kx+b中，k大于0时，y随x增大而增大，k小于0时，y随x增大而减小；在反比例函数(x>0)中，k大于0时，函数图像在第一象限，y随x增大而减小，k小于0时，函数图像在第三象限，y随x增大而增大；在二次函数y=ax2+h中，a大于0时，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，对每个选项进行判断．
【解析】A.，x系数为大于0，y随x增大而增大，与题意不符，错误；
B.y=-x+1，x系数为-1小于0，y随x增大而减小，与题意相符，正确；
C.，因为-2<0，x>0，函数图像在第三象限，y随x增大而增大，与题意不符，错误；
D.，x2系数为1大于0，对称轴为x轴，当时，函数图像在对称轴右侧，y随x增大而增大，与题意不符，错误；
故选 B．
【点睛】本题考查了函数的图像及性质，熟练掌握各种函数的图像及性质是解题关键．
5． (2023·上海闵行·统考二模）在下列函数中，同时具备以下三个特征的是（ ）
①图像经过点；②图像经过第三象限；③当时，y的值随x的值增大而增大
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质进行判断即可．
【解析】A.，当时，，经过点；图像经过第三、四象限；对称轴为轴，开口向下，当时，y的值随x的值增大而增大；所以同时具备①②③三个特征,符合题意；
B. 图像经过第二、四象限，故不符合题意；
C. 图像经过第一、二、四象限，故不符合题意；
D. ，当时，y的值随x的值增大而减小，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
6． (2023·上海崇明·统考二模）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是（ ）
A．对称轴B．开口方向C．和y轴的交点D．顶点．
【答案】B
【分析】求出平移后的抛物线，再比较对称轴，顶点，开口方向，与y轴交点，进而求解．
【解析】的对称轴为y轴，开口向上，与y轴交点（0，0），顶点（0,0）
将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后解析式为：
∴平移后对称轴为，开口向上，与y轴交点（0，4），顶点（1,2）
∴开口方向不变
故选：B
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象平移的规律．
7． (2023·上海黄浦·统考一模）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
A．-1B．3C．4D．0
【答案】D
【分析】利用抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性即可求出结论．
【解析】解：由表格可知：抛物线过（0，3）、（2，3）、（3，0）
∴抛物线的对称轴为直线x==1
而
∴x=-1对应的纵坐标与x=3对应的纵坐标相等，都是0
∴这个被蘸上了墨水的函数值是0
故选D．
【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴是解题关键．
8． (2023·上海·二模）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．当时，函数有最小值
【答案】D
【分析】由图象可知，，当时，抛物线的对称轴为直线，对各选项进行判断即可．
【解析】解：由图象可知，，选项A、C错误，故不符合题意；
当时，选项B错误，故不符合题意；
该抛物线的对称轴为直线，该函数在对称轴处取最小值，选项D正确，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
9． (2023·上海杨浦·校考一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），且顶点在第一象限，那么下列结论：①a+c=b；②x=-1是方程ax2+bx+c＝0的解；③abc>0；④c﹣a＞2，其中正确的结论为（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】将点代入解析式可判断①；由对称性可得另一个交点为，可判断②；由开口方向可判断，根据对称轴，可判断，根据即可判断③，由可判断④．
【解析】解：①抛物线经过点，
，
，故①正确；
②抛物线经过点，
故②正确；
③由抛物线开口向下可得由对称轴为x>0，
，
与轴交于（0，2），，
abc<0，
故③不正确；
④抛物线与y轴交于，
c＝2，
a＜0，
，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，根与系数关系，二次函数图象与系数关系，二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
10． (2023·上海嘉定·统考二模）下列关于二次函数y=x2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是( )
A．该函数图象的开口向上
B．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
C．该函数图象关于y轴对称
D．该函数图象可由函数y=x2的图象平移得到
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得．
【解析】A．由a=1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确；
B．∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而证得：故此选项描述错误；
由y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1知抛物线的顶点坐标为(1，1)，此选项错误；
C．∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确；
D．该函数图象可由函数y=x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象平移的规律逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
二、填空题
11． (2023·上海普陀·统考二模）如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】由图像在轴的右侧部分是下降的可得，进而求解．
【解析】解：图像在轴右侧部分下降，
抛物线开口向下，
，
解得，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
12． (2023·上海青浦·统考二模）将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位后，所得抛物线为，则抛物线解析式为________．
【答案】##
【分析】设抛物线为 ，根据平移的规律写出平移后的解析式，并与已知相等，即可求解．
【解析】设抛物线为
将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位后，可得
即为

解得
抛物线为
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，牢记“左加右减，上加下减”是解题的关键．
13．（2018·上海长宁·统考中考模拟）抛物线的顶点坐标是______．
【答案】(2，-1)
【分析】先把抛物线配方为顶点式，再确定顶点坐标即可．
【解析】解：，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-1）．
故答案为（2，-1）．
【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，掌握抛物线配方为顶点式的方法是解题关键．
14． (2023·上海虹口·统考一模）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据二次函数有最高点，得出抛物线开口向下，即k+1＜0，即可得出答案．
【解析】解：∵抛物线有最高点，
∴抛物线开口向下，
∴k+1＜0，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点．
15． (2023·上海嘉定·统考一模）如果抛物线的对称轴是直线，那么______0.（从＜，＝，＞中选择）
【答案】
【分析】根据对称轴公式得，即可求出结果．
【解析】解：∵抛物线对称轴是直线，
∴，即．
故答案是：．
【点睛】本题考查二次函数图象的对称轴，解题的关键是掌握抛物线的对称轴公式．
16． (2023·上海松江·统考一模）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为____．
【答案】
【分析】首先表示出原边长为2厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程．
【解析】解：原边长为2厘米的正方形面积为：2×2＝4（平方厘米），
边长增加x厘米后边长变为：x＋2，
则面积为：（x＋2）2平方厘米，
∴y＝（x＋2）2−4＝x2＋4x．
故答案为：y＝x2＋4x．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积．
17． (2023·上海宝山·统考一模）如图，点A在直线y＝x上，如果把抛物线y＝x2沿OA方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为_____．
【答案】y＝（x﹣4）2+3．
【分析】过点A作AB⊥x轴于B，求出OB、AB，然后写出点A的坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【解析】如图，过点A作AB⊥x轴于B，
∵点A在直线y＝x上，OA＝5，
∴OB＝4，AB＝3，
∴点A的坐标为（4，3），
∴平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣4）2+3．
故答案为y＝（x﹣4）2+3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
18． (2023·上海奉贤·统考一模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为_______________________．
【答案】
【分析】先把抛物线的解析式写成顶点式得到顶点坐标，根据对称的关系得到的顶点坐标，从而得到的解析式．
【解析】解：，
∴顶点坐标是，
点关于直线对称的点是，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的性质．
三、解答题
19． (2023·上海虹口·校联考一模）已知抛物线．
（1）请用配方法求出顶点的坐标；
（2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值．
【答案】（1）（1，﹣8）；（2）．
【分析】（1）用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质得到答案；
（2）直接求出抛物线与轴的交点，进而得出平移规律．
【解析】解：（1）
，
故该抛物线的顶点坐标为：（1，﹣8）；
（2）当时，，
解得：，
即图象与轴的交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
故该抛物线沿轴向左平移3个单位后经过原点，
即．
故答案为（1）（1，﹣8）；（2）.
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，正确得出顶点坐标是解题关键．
20． (2023·上海金山·统考一模）已知抛物线经过点、．
（1）求抛物线的表达式；
（2）把表达式化成的形式，并写出顶点坐标与对称轴．
【答案】（1）；（2），顶点坐标为：，对称轴为：直线．
【分析】（1）直接将A、B的坐标代入求得b、c即可；
（2）通过配方将（1）求得的解析式化成顶点式，然后直接写出顶点坐标和对称轴即可．
【解析】解：（1）由抛物线经过点、两点可得：
解得：；
∴抛物线的解析式为：；
（2）；
∴，
∴顶点坐标为：，对称轴为：直线．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，将二次函数的一般式化成顶点式成为解答本题的关键．
21．（2018·上海嘉定·统考中考模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）二次函数的解析式是y=x2+3x﹣2；（2）顶点坐标为（﹣，﹣），对称轴是直线x=﹣．
【解析】试题分析：（1）运用待定系数法求解即可；
（2）运用配方法得y，从而求出顶点坐标和对称轴.
试题解析：（1）由题意，得
解这个方程组，得 ，
所以，这个二次函数的解析式是.
（2）
顶点坐标为；
对称轴是直线.
22． (2023·上海嘉定·统考一模）我们已经知道二次函数的图像是一条抛物线．研究二次函数的图像与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x轴的正方向看）．
已知一个二次函数的大致图像如图所示．
（1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）
（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．
【答案】（1）对称轴为直线；顶点坐标为；开口向下；当时，y随x增大而增大；（2）不可以；补充条件，
【分析】（1）观察函数图像顶点，对称轴，由对称轴分开增减区间；
（2）只有顶点，条件不足，不能求出解析式，可以给出除顶点外的一点坐标即可如添加“C（0，2）”设出顶点式，然后把C点坐标代入即可．
【解析】（1）对称轴：直线，最高点/顶点，
开口方向：向下，
当时，y随x增大而增大，
当时，y随x增大而减小；
（2）不可以，加上“”，
设，
代入得，
∴．
【点睛】本题考查数形结合的问题，仔细观察图像，找出发现的信息，掌握求抛物线解析式需三个独立的条件是解题关键．
23． (2023·上海奉贤·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过点A、B顶点为C．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果，求平移的距离；
(3)设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移3个单位，如果点M的对应点Q落在内，求m的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)平移的距离为
(3)m的取值范围为
【分析】（1）由直线解析式可求出点A、B的坐标，然后再代入二次函数解析式进行求解即可；
（2）过点B作BE⊥DC于点E，由（1）可得：，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，然后可得，进而问题可求解；
（3）由（1）可知点，，抛物线的对称轴为直线，则有点B关于抛物线对称轴对称的点的坐标为，然后根据图象的平移可进行求解．
【解析】（1）解：令x=0时，则有，即点，
令y=0时，则有，解得：，即点，
把点A、B的坐标代入二次函数解析式得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意可得如下图象：
过点B作BE⊥DC于点E，
由（1）可得：，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平移距离；
（3）解：由（1）可知点，，抛物线的对称轴为直线，
∴点B关于抛物线对称轴对称的点的坐标为，
∵将抛物线向左平移3个单位，且点M的对应点Q落在内，
∴点M的横坐标为m的取值范围为．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
0
﹣1
0
3
…
x
……
0
1
3
4
……
y
……
6
m
……
二次函数的图象及性质
抛物线
开口方向
当>0时开口向上，并向上无限延伸；
当＜0时开口向下，并无限向下延伸。
顶点坐标
（0，0）
（0，c）
（-m，0）
（-m，k）
（，）
对称轴
y轴
y轴
直线x=-m
直线x=-m
直线
最值
＞0
X=0时
X=0时
X=-m时
X=-m时
时，
＜0
X=0时
X=0时
X=-m时
X=-m时
时，
增减性
＞0
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
＜0
在对称轴左侧，y随x的增大而增大
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
决定开口方向：当＞0时开口向上，＜0时开口向下。
，b
、 b同时决定对称轴位置：、b同号时对称轴在y轴左侧
、b异号时对称轴在y轴右侧
b=0时 对称轴是y轴
c
c决定抛物线与y轴的交点：c＞0时抛物线交y轴的正半轴
c=0时抛物线过原点
c＜0时抛物线交y轴的负半轴
△
△决定抛物线与x轴的交点：△＞0时抛物线与x轴有两个交点
△=0时抛物线与x轴有一个交点
△＜0时抛物线与x轴没有交点
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
4
3
0
…
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣4
﹣2
2
8
…