备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练39等比数列（附解析人教A版）

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1.(2020·全国Ⅰ,文10)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=( )
A.12B.24C.30D.32
2.(2024·山东威海模拟)已知等比数列{an}的前三项和为84,a2-a5=21,则{an}的公比为( )
A.B.C.2D.4
3.(2024·陕西咸阳模拟)等比数列{an}的各项均为正数,且a4a5=8,则lg4a1+lg4a2+…+lg4a8=( )
A.8B.6C.4D.3
4.(2024·陕西榆林模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若,则=( )
A.41B.45C.36D.43
5.(2024·湖北孝感模拟)为响应国家号召,某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2023年6月初向银行借了1年期的免息贷款8 000元,用于进货,因质优价廉,供不应求.据测算:他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%,并且每月月底需扣除生活费800元,余款作为资金全部用于下月再进货,如此继续,预计到2024年5月底他的年所得收入(扣除当月生活费且还完贷款)为( )(参考数据:1.211≈7.4,1.212≈9)
A.35 200元B.39 200元
C.30 000元D.31 520元
6.(多选题)(2024·山东滨州模拟)已知{an}是正项等差数列,首项为a1,公差为d,且a1=d,Sn为{an}的前n项和(n∈N*),则( )
A.数列{Sn+1-Sn}是等差数列
B.数列{}是等差数列
C.数列{}是等比数列
D.数列{lg an}是等比数列
7.(2024·北京八一学校模拟)在1和9之间插入三个数,使这五个数组成正项等比数列,则中间三个数的积等于 .
8.(2024·江苏泰州模拟)写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an= .
①anan+1|an+1|.
9.已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为341,偶数项之和为682,则这个数列的项数为 .
10.(2024·重庆巴南模拟)已知数列{an}的首项a1=1,且满足an+1+an=3×2n.
(1)求证:{an-2n}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
综合 提升练
11.(2024·江苏盐城模拟)设Sn为下图所示的数阵中前n行所有数之和,则满足Sn≤1 000的n的最大值为( )
第1行 1
第2行 1 2
第3行 1 2 22
…
第n行 1 2 22 … 2n-1
A.6B.7C.8D.9
12.(多选题)(2024·福建厦门等七市模拟)记正项等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列数列为等比数列的有( )
A.{an+1+an}B.{an+1an}
C.{}D.{SnSn+1}
13.(2024·广东燕博园模拟)如图是一种科赫曲线,其形态似雪花,又称雪花曲线.其做法是:从一个正三角形(记为T0)开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间线段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边,得到图形T1;把T1的每条边三等份,以各边的中间线段为底边,分别向外作正三角形后,再去掉底边,得到图形T2;依此下去,得到图形序列T0,T1,T2,…,Tn,…,设T0的边长为1,图形Tn的周长为cn,若cn=300,则n的值为 .(参考数据:lg 5≈0.699,lg 3≈0.477)
14.已知等差数列{an}满足a1=2,a2,a4,a8成等比数列,且公差d>0,数列{an}的前n项和为Sn.
(1)求Sn;
(2)若数列{bn}满足b1=2,且(b1+b2)+2(b2+b3)+…+n(bn+bn+1)=3(n-1)·2n+1+6,设数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,都有Tn≥λSn,求λ的取值范围.
创新 应用练
15.(多选题)(2024·山东青岛模拟)1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”下列说法正确的是( )
A.若第n只猴子分得bn个桃子(不含吃的),则5bn=4bn-1-1(n=2,3,4,5)
B.若第n只猴子连吃带分共得到an个桃子,则{an}(n=1,2,3,4,5)为等比数列
C.若最初有3 121个桃子,则第5只猴子分得256个桃子(不含吃的)
D.若最初有k个桃子,则k+4必为55的倍数
课时规范练39 等比数列
1.D 解析 设等比数列{an}的公比为q,因为a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.
2.B 解析 由a2-a5=21,可设{an}的公比为q(q≠0,q≠1),∵等比数列{an}的前三项和为84,a2-a5=21,
解得q=
3.B 解析 因为a4a5=8,所以lg4a1+lg4a2+…+lg4a8=lg484=lg446=6.
4.D 解析 设S4=x(x≠0),则S8=7x,因为{an}为等比数列,根据等比数列的性质,可得S4,S8-S4,S12-S8仍成等比数列.因为=6,所以S12-S8=36x,所以S12=43x,故=43.
5.D 解析 设2023年6月底小王手中有现款为a1=(1+20%)×8000-800=8800元,设2023年6月底为第一个月,以此类推,设第n个月月底小王手中有现款为an,第n+1个月月底小王手中有现款为an+1,则an+1=1.2an-800,即an+1-4000=1.2(an-4000),所以数列{an+1-4000}是首项为4800,公比为1.2的等比数列,所以a12-4000=4800×1.211,即a12=4000+4800×1.211≈39520,所以预计到2024年5月底他的年所得收入为39520-8000=31520元.
6.AC 解析 由题意得,a1=d>0.因为数列{an}是等差数列,Sn+1-Sn=an+1,Sn+1-Sn-(Sn-Sn-1)=an+1-an=d,所以数列{Sn+1-Sn}是等差数列,故A正确;当a1=d=1时,an=n,=1,,因为2,所以数列{}不是等差数列,故B错误;因为=2d,所以数列{}是等比数列,故C正确;当a1=d=1时,an=n,lga1=0,数列{lgan}不是等比数列,故D错误.
7.27 解析 依题意a1=1,a5=9,所以a1a5=a2a4==9,所以a3=3或a3=-3(舍去),所以a2a3a4==27.
8.(-)n-1(答案不唯一) 解析 依题意,{an}是等比数列,设其公比为q,由于①anan+10,且=q,即{an+1+an}为等比数列,A正确;对于B,an+1an>0,且=q2,即{an+1an}为等比数列,B正确;对于C,∵Sn=均不为定值,即{}不是等比数列,C错误;对于D,均不为定值,即{SnSn+1}不是等比数列,D错误.故选AB.
13.16 解析 由题意可知,T0图形的边长为1,T1图形的边长为上一个图形边长的,T2图形的边长又是上一个图形边长的,……,所以各个图形的边长构成首项为1,公比为的等比数列,所以Tn图形的边长为an=()n.由图可知,各个图形的边数构成首项为3,公比为4的等比数列,所以Tn图形的边数为bn=3×4n,所以Tn图形的周长为cn=anbn=3×()n.若cn=300,则cn=3×()n=300,所以nlg=2,n=16.
14.解 (1)因为数列{an}为等差数列,a1=2,a2,a4,a8成等比数列,所以=a2·a8,即(2+3d)2=(2+d)(2+7d).
因为d>0,所以d=2,
所以Sn=2n+2=n(n+1).
(2)因为(b1+b2)+2(b2+b3)+…+n(bn+bn+1)=3(n-1)·2n+1+6,①
所以当n≥2时,(b1+b2)+2(b2+b3)+…+(n-1)(bn-1+bn)=3(n-2)·2n+6,②
①-②得n(bn+bn+1)=3n·2n,
所以bn+bn+1=3·2n(n≥2).
又b1+b2=6符合上式,所以bn+bn+1=3·2n.
所以bn+1-2n+1=-(bn-2n)=…=(-1)n(b1-2)=0,所以bn=2n,
所以Tn==2n+1-2.
因为对任意的n∈N*,都有Tn≥λSn,
所以2n+1-2≥λn(n+1),
所以
令f(n)=(n∈N*),则f(n+1)-f(n)=,
所以当n≥2时,f(n)=单调递增,而f(1)=f(2)=1,所以f(n)min=1,所以λ≤1.
所以实数λ的取值范围是(-∞,1].
15.ABD 解析 设最初有c1个桃子,猴子每次分完后剩下的桃子依次为c2,c3,c4,c5,c6,则cn=cn-1-1-(cn-1-1)=(cn-1-1),n≥2.若第n只猴子分得bn个桃子(不含吃的),则bn=(cn-1),bn-1=(cn-1-1)(n≥2),所以bn=(cn-1)=(n≥2),即5bn=4bn-1-1(n=2,3,4,5),故A正确;由A知,5bn=4bn-1-1(n=2,3,4,5),则5(bn+1)=4(bn-1+1),即{bn+1}(n=1,2,3,4,5)是等比数列,若第n只猴子连吃带分共得到an个桃子,则an=bn+1,所以{an}(n=1,2,3,4,5)是以为公比的等比数列,故B正确;由B知,{bn+1}(n=1,2,3,4,5)是等比数列,所以bn+1=()·()n-1,即bn=()·()n-1-1,若最初有3121个桃子,即c1=3121,所以b5=()×()4-1=255,故C错误;根据题意,知a1+a2+a3+a4+a5+4b5=a1+a2+a3+a4+a5+4(a5-1)=k,因为{an}(n=1,2,3,4,5)是以为公比的等比数列,所以a1+a2+a3+a4+a5+4(a5-1)=+4a5-4=k,化简得k+4=55,因为a1=a5·()4,且a1为正整数,所以N*,即k+4必为55的倍数,故D正确.故选ABD.