2024年高考数学二轮复习全套培优微专题高考重难点题型归纳32讲第20讲立体几何中的轨迹问题(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学二轮复习全套培优微专题高考重难点题型归纳32讲第20讲立体几何中的轨迹问题(原卷版+解析)，共53页。
【题型一】由动点保持平行性求轨迹
【典例分析】
如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（ ）
A．aB．aC．D．
【变式演练】
1.在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ）
A．三角形边界的一部分B．一个点
C．线段的一部分D．圆的一部分
2.已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．

3.在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是上底面内一点（含边界），若平面BDEF，则Р点的轨迹长为（ ）
A．1B．C．2D．
【题型二】动点保持垂直性求轨迹
【典例分析】
在正方体中，Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹是（ ）
A．点B．线段C．线段D．平面
【变式演练】
1.在正方体中，点在侧面及其边界上运动，且保持，则动点的轨迹为
A．线段B．线段
C．的中点与的中点连成的线段D．的中点与的中点连成的线段
2.在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足．给出下列说法：
①点P可以是棱的中点；
②线段MP的最大值为；
③点P的轨迹是正方形；
④点P轨迹的长度为．
其中所有正确说法的序号是________．
3.如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A．与不可能平行
B．与是异面直线
C．点的轨迹是一条线段
D．三棱锥的体积为定值
【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹
【典例分析】
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【变式演练】
1.如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则点在正方形内的轨迹为（ ）
A．B．
C．D．
2.如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，则线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
3.四棱锥P﹣OABC中，底面OABC是正方形，OP⊥OA，OA＝OP＝a．D是棱OP上的一动点，E是正方形OABC内一动点，DE的中点为Q，当DE＝a时，Q的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a的值是（ ）
A．B．C．D．6
【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹
【典例分析】
正方体中，，分别为，的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一动点，满足直线 与直线 夹角与直线与直线 的夹角相等，则点所在轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．抛物线或双曲线
【变式演练】
1.如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．直线B．抛物线
C．椭圆D．双曲线的一支
2.如图所示，为长方体，且AB=BC=2，=4，点P为平面上一动点，若，则P点的轨迹为（ ）
A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．圆
3.在长方体中，，，M为棱BC的中点，动点P满足，则点P的轨迹与长方体的侧面的交线长等于___________.
【题型五】 投影求轨迹
【典例分析】
1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．
【题型六】翻折与动点求轨迹（难点）
【典例分析】
如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（ ）
A．椭圆的一段B．抛物线的一段
C．双曲线的一段D．一段圆弧
【变式演练】
1.已知△ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD内过点B作BP⊥平面ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．π
2.如图，等腰梯形中，，，，，沿着把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．当边长变化时，点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
3.已知矩形中，，，如图，将沿着进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在四边形内部（包含边界），则动点的轨迹长度是（ ）
A．B．C．D．
【课后练习】
1．（多选题）（海南省海口市北京师范大学海口附属学校12月月考）如图，已知正方体的棱长为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是( )
A．若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线
B．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
C．若与所成的角为，则的轨迹为双曲线
D．若与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆
2.（多选题）（广东省六校高三上学期第三次联考数学试题）如图的正方体中，棱长为2，点是棱的中点，点在正方体表面上运动.以下命题正确的有（ ）
A．侧面上不存在点，使得
B．点到面的距离与点到面的距离之比为
C．若点满足平面，则动点的轨迹长度为
D．若点到点的距离为，则动点的轨迹长度为
3.（多选题）（全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（六））如图，在正方体中，E为的中点，点F在线段上运动，G为底面ABCD内一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则点G在线段AC上
C．当点F从A向运动时，三棱锥的体积由小变大
D．若，GE与底面ABCD所成角相等，则动点G的轨迹为圆的一部分
4.（吉林省梅河口市第五中学第一次月考）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点B．线段的最大值为
C．点的轨迹是平行四边形D．点轨迹的长度为
5.（广东省深圳市平冈高级中学高三上学期9月第一次月考）如图所示，在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（ ）
A．aB．C．D．
6.（湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试）已知在三棱锥中，为线段的中点，点在(含边界位置)内，则满足平面的点的轨迹为（ ）
A．线段，的中点连接而成的线段
B．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
C．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
D．线段靠近点的三等分点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
7.（辽宁省实验中学上学期联考）已知正六棱柱的棱长均为，点在棱上运动，点在底面内运动，，为的中点，则动点的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
8.四棱锥中，底面是正方形，，．是棱上的一动点，E是正方形内一动点，的中点为，当时，的轨迹是球面的一部分，其表面积为，则的值是（ ）
A．B．C．D．6
9.棱长为的正方体中，点P在平面内运动，点到直线的距离为定值，若动点的轨迹为椭圆，则此定值可能为（ ）
A．B．C．D．
10.（上海市建平中学期中）已知菱形边长为2，，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为60°，设为的中点，为三棱锥表面上动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
11.（河南省郸城县第一高级中学高三第一次模拟）在三棱锥中，G是的重心，P是面内一点，且平面.
（1）画出点P的轨迹，并说明理由；
（2）平面，，，，当最短时，求二面角的余弦值.
第20讲 立体几何中轨迹问题7类
【题型一】由动点保持平行性求轨迹
【典例分析】
如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（ ）
A．aB．aC．D．
【答案】D
【分析】
连接GH、HN，有GH∥BA1，HN∥BD，证得面A1BD∥面GHN，由已知得点M须在线段GH上运动，即满足条件，由此可得选项.
【详解】
解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、CD的中点，N是BC的中点，
则GH∥BA1，HN∥BD，又面A1BD，BA1面A1BD，所以面A1BD，同理可证得面A1BD，
又，∴面A1BD∥面GHN，
又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A1BD，
则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=a，则点M轨迹的长度是a.
故选：D.
【变式演练】
1.在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ）
A．三角形边界的一部分B．一个点
C．线段的一部分D．圆的一部分
【答案】C
【分析】
过作交于，连接，证明平面平面，得，即得结论．
【详解】
如图，过作交于，连接，
，平面，平面，所以平面，
同理平面，又，平面，
所以平面平面，所以，（不与重合，否则没有平面），
故选：C．
2.已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，计算出平面的一个法向量的坐标，由已知条件得出，可得出、所满足的等式，求出点的轨迹与线段、的交点坐标，即可求得结果.
【详解】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，设点，
，，设平面的法向量为，
由，取，可得，
，由题意可知，平面，则，
令，可得；令，可得.
所以，点的轨迹交线段于点，交线段的中点，
所以，点的轨迹长度为.
故选：B.
3.在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是上底面内一点（含边界），若平面BDEF，则Р点的轨迹长为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】
由分别取棱､的中点M､N，连接MN，由线面平行得面面平行，得动点轨迹，从而可计算其长度．
【详解】
如图所示，分别取棱､的中点M､N，连接MN，连接，
∵M､N､E､F为所在棱的中点，∴，，∴，
又平面BDEF，平面BDEF，∴平面BDEF，
连接NF，由，，，，可得，，则四边形ANFB为平行四边形，则，
而平面BDEF，平面BDEF，则平面BDEF.
又，∴平面平面BDEF.
又P是上底面内一点，且平面BDEF，
∴P点在线段MN上.又，∴P点的轨迹长为.
【题型二】动点保持垂直性求轨迹
【典例分析】
在正方体中，Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹是（ ）
A．点B．线段C．线段D．平面
【答案】B
【分析】
如图，连接,证明,又，即得解.
【详解】
如图，连接,
因为平面,所以平面, 又平面,
所以,又.所以点在线段上.故选：B
【变式演练】
1.在正方体中，点在侧面及其边界上运动，且保持，则动点的轨迹为（ ）
A．线段B．线段
C．的中点与的中点连成的线段D．的中点与的中点连成的线段
【答案】A
【分析】
利用直线与平面垂直的判定可得面，又点在侧面及其边界上运动，并且总是保持与垂直，得到点的轨迹为面与面的交线．
【详解】
如图，连接，，，在正方体中，有平面，
又点在侧面及其边界上运动，
故点的轨迹为平面与平面的交线段.故选：A.
2.在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足．给出下列说法：
①点P可以是棱的中点；
②线段MP的最大值为；
③点P的轨迹是正方形；
④点P轨迹的长度为．
其中所有正确说法的序号是________．
【答案】②④
【分析】
以D为坐标原点，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，从而得到MP的最大值，即可判断选项②，通过分析判断可得点P不可能是棱的中点，从而判断选项①，又，，可判断选项③和选项④．
【详解】
解：在正方体中，以D为坐标原点，为x轴，y轴，
∵该正方体的棱长为1，M，N分别为，的中点，
∴，M（，，），，
∴，
设，则，
∵，∴，即
当时，，当时，，
取，，，，
连结EF，FG，，HE，
则，，
∴四边形EFGH为矩形，则，，
即，，
又和为平面中的两条相交直线，
∴平面EFGH，
又，，
∴M为EG的中点，则平面EFGH，
为使，必有点平面EFGH，
又点P在正方体表面上运动，∴点P的轨迹为四边形EFGH，
因此点P不可能是棱的中点，故选项①错误；
又，，
∴，则点P的轨迹不是正方形且矩形EFGH周长为，
故选项③错误，选项④正确；
∵，，
又，则，即，
∴，点在正方体表面运动，
则，解，
∴，
故当或，或1，MP取得最大值为，故②正确.
故答案为：②④．
3.如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A．与不可能平行
B．与是异面直线
C．点的轨迹是一条线段
D．三棱锥的体积为定值
【答案】A
【分析】
设平面与直线交于，连接，，则为的中点，分别取，的中点，，连接，，，证明平面平面，即可分析选项ABC的正误；再由，得点到平面的距离为定值，可得三棱锥的体积为定值判断D．
【详解】
解：设平面与直线交于，连接，，
则为的中点，分别取，的中点，，
连接，，，
如图，∵，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
又、是平面内的两条相交直线，
∴平面平面，而平面，∴平面，
得点的轨迹为一条线段，故C正确；
并由此可知，当与重合时，与平行，故A错误；
∵平面平面，和平面相交，∴与是异面直线，故B正确；
∵，则点到平面的距离为定值，∴三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：A．
【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹
【典例分析】
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【答案】D
【分析】
以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出点P的轨迹方程即可判断.
【详解】
如图示，过P作PE⊥AB与E，过P作PF⊥AD于F，过F作FG∥AA1交A1D1于G，连结PG，由题意可知PE=PG
以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由PE=PG得：
，平方得：即点P的轨迹是双曲线.故选：D.
【变式演练】
1.如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则点在正方形内的轨迹为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，正方形的边长为，求出，的坐标，利用可得与的关系，即可求解.
【详解】
如图，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为，，则，，，，则，．由，得，
所以点在正方形内的轨迹为一条线段，
故选：A．
2.如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，则线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
连接、，分析得出，可知点的轨迹是以点为球心，半径长为的球面，作出图形，结合球体的体积公式可求得结果.
【详解】
连接、，因为，，且、分别为、的中点，
故且，
所以，四边形为平行四边形，故且，
平面，则平面，
因为平面，所以，，
为的中点，故，
所以，点的轨迹是以点为球心，半径长为的球面，如下图所示：
所以，线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体为球的，
故所求几何体的体积为.
故选：D.
3.四棱锥P﹣OABC中，底面OABC是正方形，OP⊥OA，OA＝OP＝a．D是棱OP上的一动点，E是正方形OABC内一动点，DE的中点为Q，当DE＝a时，Q的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a的值是（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【分析】
由题意结合选项可特殊化处理，即取OP与底面垂直，求得Q的轨迹，结合球的表面积求解．
【详解】
解：不妨令OP⊥OC，则OP⊥底面OABC，
如图，
∵D是OP上的动点，∴OD⊥底面OABC，可得OD⊥OE，
又Q为DE的中点，∴OQ，即Q的轨迹是以O为球心，以为半径的球面，
其表面积为S，得a故选：B．
【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹
【典例分析】
正方体中，，分别为，的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一动点，满足直线 与直线 夹角与直线与直线 的夹角相等，则点所在轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．抛物线或双曲线
【答案】D
【分析】
根据题设分析可知：点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断所在轨迹的形状.
【详解】
由题设，点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，如下图示：
当是边上移动过程中，只与下方锥体有相交，点轨迹为抛物线；
当是边上移动过程中，与上方锥体也有相交，点轨迹为双曲线；
故选：D
【变式演练】
1.如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．直线B．抛物线
C．椭圆D．双曲线的一支
【答案】C
【分析】
由题可知点在以为轴的圆锥的侧面上，再结合条件可知的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义，即得.
【详解】
用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线.
此题中平面上的动点满足，可理解为在以为轴的圆锥的侧面上，
再由斜线段与平面所成的角为，可知的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义.
故可知动点的轨迹是椭圆.
故选：C.
2.如图所示，为长方体，且AB=BC=2，=4，点P为平面上一动点，若，则P点的轨迹为（ ）
A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．圆
【答案】B
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算和轨迹方程思想求得的轨迹方程，进而根据方程判定轨迹类型.
【详解】
如图，建立直角坐标系，则,.
设,则向量，向量,
，
∴，即,,
,这方程表示的轨迹是平面上的椭圆，故选：B.
3.在长方体中，，，M为棱BC的中点，动点P满足，则点P的轨迹与长方体的侧面的交线长等于___________.
【答案】
【分析】
由题意画出图形，由角的关系得到边的关系，然后再在平面内建系，求出P的轨迹方程，确定点P的轨迹与长方体的面的交线，进而求得交线长.
【详解】
如下图所示：
当P在面内时，面，面；
又，在与中，∵，则，
∴，则，即.
在平面中，以DC所在直线为x轴，以DC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则，，
设，由，得，
整理得：，即.
∴点P的轨迹是以F(5，0)为圆心，半径为4的圆.
设圆F与面的交点为E､M，作EK垂直x轴于点K，如图，
则；∴；
故点P的轨迹与长方体的面的交线为劣弧，所以劣弧的长为.故答案为：
【题型五】 投影求轨迹
【典例分析】
1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设，从而可得 ，，，利用勾股定理可得，再由离心率的定义即可求解.
【详解】
在中，设，
，，，，
， ∴长轴长，，则离心率.故选：A
【变式演练】
1.如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．
【答案】
【分析】
根据平行投影计算出椭圆C的短半轴长b，再求出光线与水平面所成锐角的正弦，进而求得椭圆C的长轴长2a而得解.
【详解】
连接，则，因为，如图：
所以，所以
在照射过程中，椭圆的短半轴长b是球的半径R，即，
过球心与椭圆长轴所在直线确定的平面截球面所得大圆及对应光线，如图：
椭圆的长轴长是，过A向做垂线，垂足是B，则，
由题意得：，又，
则，，即，
所以椭圆的离心率为.故答案为：
【题型六】翻折与动点求轨迹（难点）
【典例分析】
如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（ ）
A．椭圆的一段B．抛物线的一段
C．双曲线的一段D．一段圆弧
【答案】D
【分析】
过点作的垂线，垂足为，过点点作的垂线，垂足为，连接，再分别分析翻折前、后的变化量与不变量，在翻折后的图形中取中点，进而可得答案.
【详解】
解：在四边形中，过点作的垂线，垂足为，过点点作的垂线，垂足为，连接，如图1，
所以当四边形确定时， 和三边长度均为定值，
当沿着翻折到，形成如图2的几何体，并取中点，连接，
由于在翻折过程中，，所以由中位线定理可得为定值，
所以线段中点的轨迹是以中点为圆心的圆弧上的部分.故选：D
【变式演练】
1.已知△ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD内过点B作BP⊥平面ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．π
【答案】C
【分析】
根据题意，先确定点P轨迹的形状，进而求出轨迹的长度即可.
【详解】
由题意，在平面BCD内作BQ⊥CD，交CD于Q，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD与平面ACD交于CD，所以BQ⊥平面ACD，又BP⊥平面ACD，所以P,Q两点重合，于是随着点D的变化，BP⊥CD始终成立，可得在平面ABC中，BP⊥CP始终成立，即得点P的轨迹是以BC为直径的圆的一部分，由题意知随着点D的变化，∠BCD的范围为，可得点P的轨迹是以BC为直径（半径为1）的圆的，即得点P的轨迹长度为.故选：C.
2.如图，等腰梯形中，，，，，沿着把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．当边长变化时，点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据的射影在边上，且固定长度为1，所以的轨迹在以为原点半径为1的圆上，因此考虑的长度缩短到0时和变长到的长度两种情况，从而求出夹角大小，进而求出弧长.
【详解】
因为的射影在边上，且固定长度为1，所以的轨迹在以为原点半径为1的圆上.考虑极端情况：当的长度缩短到0时，都汇聚到线段的中点（D2）；当变长到的长度时（的射影为D3），如图，设，则,
在中，，
同理：，
∴，即在线段上的投影与点的距离为，从而与夹角为，故点的轨迹为.故选：B.
3.已知矩形中，，，如图，将沿着进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在四边形内部（包含边界），则动点的轨迹长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
过点作于点，交于点，则点在平面上的射影落在线段上.由翻折过程可知，，判断出的轨迹是以点为圆心，为半径的一段圆弧，求出圆心角，利用弧长公式求出弧长.
【详解】
如图（1），过点作于点，交于点，则点在平面上的射影落在线段上.
在中，，，则，由等面积法得.
翻折的过程中，动点满足，则动点的轨迹是以点为圆心，为半径的一段圆弧.易得，，，所以，则，如图（2），在圆中，，，所以点的轨迹是，且，则，，从而点的轨迹长度为.
故选：C
【课后练习】
1．（多选题）（海南省海口市北京师范大学海口附属学校12月月考）如图，已知正方体的棱长为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是( )
A．若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线
B．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
C．若与所成的角为，则的轨迹为双曲线
D．若与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆
【答案】ABC
【分析】
A：由平面，可得即为到直线的距离，由抛物线的定义即可判断；
B：由题意可得中点的轨迹为以中点为圆心，为半径且平行于平面的圆，计算可判断；
C：建立空间直角坐标系，设，，，由与所成的角为60°，可得点的轨迹方程，从而可判断；
D：由与平面所成的角为，计算可得为定值，可判断点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，从而可判断．
【详解】
对于A，平面，即为到直线的距离，
在平面内，点到定点的距离与到定直线的距离相等，
∴点的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，故A正确；
对于B，平面，即为到直线的距离，
在平面内，点到定点的距离与到定直线的距离相等，
∴点的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，故B正确；
对于C，如图，建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，0，，，2，，
设，，，则，，，，2，，
，
化简得，即，∴的轨迹为双曲线，故C正确；
对于D，与平面所成的角为，∴，
则，∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故D错误．
故选：ABC﹒
2.（广东省六校高三上学期第三次联考数学试题）（多选题）如图的正方体中，棱长为2，点是棱的中点，点在正方体表面上运动.以下命题正确的有（ ）
A．侧面上不存在点，使得
B．点到面的距离与点到面的距离之比为
C．若点满足平面，则动点的轨迹长度为
D．若点到点的距离为，则动点的轨迹长度为
【答案】BD
【分析】
先找到点满足平面的轨迹，可判断选项，将平面补全，利用比例判断选项，找到满足点到点的距离为的轨迹，可判断选项
【详解】
取中点，中点，连接，，，
易证，又平面，平面，所以平面，
又，同理得到平面，
所以平面平面，
所以若点满足平面，则点在的三边上运动，
，所以动点的轨迹长度为，所以错误；
当点在侧面上运动时，点的运动轨迹为线段，
当运动到中点时，因为△是等腰三角形，所以，又因为，
所以，故错误；
取中点，连接，，
易证，则共面，令，则易得，
所以点到面的距离与点到面的距离之比为，故正确；
因为，所以若点到点的距离为，
则动点的轨迹在正方形和正方形及正方形上，
若在正方形上，则满足，所以在正方形上，动点的轨迹为以为圆心，为半径的四分之一圆弧，所以周长为，
同理点在正方形及正方形面上运动时，轨迹分别为以为圆心，为半径的四分之一圆弧，所以动点的轨迹长度为，所以正确；
故选：
3.（多选题）（全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（六））如图，在正方体中，E为的中点，点F在线段上运动，G为底面ABCD内一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则点G在线段AC上
C．当点F从A向运动时，三棱锥的体积由小变大
D．若，GE与底面ABCD所成角相等，则动点G的轨迹为圆的一部分
【答案】ABD
【分析】
结合线面垂直的知识来判断A选项的正确性.结合平面的知识来判断B选项的正确性.结合锥体体积的求法来确定C选项的正确性.结合阿波罗尼斯圆的知识来判断D选项的正确性.
【详解】
连接，∵在平面内的射影为，，且，则平面，，∴，故A正确；
∵，∴FG与确定唯一的平面，而平面与有F，，C三个不在一条直线上的公共点，∴平面与重合，又G为底面ABCD内一动点，则点G必在平面与平面ABCD的交线AC上，故B正确；
∵，平面，平面，∴平面，故当点F在上运动时，点F到平面的距离不变，于是三棱锥的体积不变，即三棱锥的体积不变，故C错误；
连接GD，GA，当，GE与底面ABCD所成角相等时，易得，∵AD为定值，由阿波罗尼斯圆易知点G的轨迹为圆的一部分，故D正确．
阿波罗尼斯圆：已知平面上两点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆，此圆称为阿波罗尼斯圆．
故选：ABD
4.（吉林省梅河口市第五中学第一次月考）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点B．线段的最大值为
C．点的轨迹是平行四边形D．点轨迹的长度为
【答案】B
【分析】
在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.
【详解】
在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为，分别为，的中点，
则，，，，
所以，设，则，
因为， 所以
所以，即，
令，当时，；当时，；
取，，
连接，，，则，，
则，
，
所以，，
又，且平面，平面，
所以平面，
所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，
所以点的轨迹为正三角形，故C错误；
因此点不可能是棱的中点，故A错误；
线段的最大值为，故B正确；
点轨迹的长度为，故D错误；
故选：B
5.（广东省深圳市平冈高级中学高三上学期9月第一次月考）如图所示，在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（ ）
A．aB．C．D．
【答案】D
【分析】
过做与平面平行的平面，该平面与侧面的交线，即为满足条件的轨迹，求解即可.
【详解】
设G，H，I分别为CD，CC1，C1D1边上的中点，
连接B1I，B1H，IH，CD1，EG，BG，则∥∥,
所以 A1，B，E，G四点共面，
由∥平面B1HI，平面B1HI，
所以A1E∥平面B1HI，同理A1B∥平面B1HI，
，所以平面A1BGE∥平面B1HI，

又因为B1F∥平面A1BE，所以F落在线段HI上，
因为正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为a，所以，
即F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是.故选：D.
6.（湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试）已知在三棱锥中，为线段的中点，点在(含边界位置)内，则满足平面的点的轨迹为（ ）
A．线段，的中点连接而成的线段
B．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
C．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
D．线段靠近点的三等分点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
【答案】A
【分析】
利用面面平行得到线面平行，即可.
【详解】
解：如图所示，P、Q分别为线段，的中点，
所以,平面,
平面，所以平面，
同理平面，,
所以平面平面，若平面,则会有平面，
故点的轨迹为线段，的中点连接而成的线段，
故选A.
7.（辽宁省实验中学上学期联考）已知正六棱柱的棱长均为，点在棱上运动，点在底面内运动，，为的中点，则动点的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据题意，可判断出动点的轨迹为球，结合球的体积公式，即可求解.
【详解】
由直角三角形的性质得，
所以点在以为球心，半径是的球面上运动，
因为，所以动点的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分球，
其体积为.
故选：B.
8.四棱锥中，底面是正方形，，．是棱上的一动点，E是正方形内一动点，的中点为，当时，的轨迹是球面的一部分，其表面积为，则的值是（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【分析】
首先假设，将四棱锥放在正方体中，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得，得到点的轨迹，最后根据题意列出方程求出的值 .
【详解】
由题意不妨设,又，底面是正方形，
所以可将四棱锥放在一个正方体内，
所以面，又面，
则，又的中点为，
所以，
即的轨迹是以为球心，为半径的球，且点恒在正方体内部，
又因为8个一样的正方体放在一起，点的轨迹就可以围成一个完整的球，
所以的轨迹是以为球心，为半径的球的球面，
所以，解得，
故选：B
9.棱长为的正方体中，点P在平面内运动，点到直线的距离为定值，若动点的轨迹为椭圆，则此定值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设，分析出点在以为轴的圆锥的侧面上，计算出，并分析出，可得出，由此可得出合适的选项.
【详解】
如下图所示：

因为点到直线的距离为定值，所以，点在以为轴的圆锥的侧面上，
因为点的轨迹为椭圆，即圆锥被平面所截的截面为椭圆，
设圆锥轴截面的半顶角为，则点到直线的距离为，
当截面与圆锥的母线平行时，即时，截面为抛物线，不合乎题意，
所以，.
综合选择，可知A选项合乎题意.
故选：A.
10.（上海市建平中学期中）已知菱形边长为2，，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为60°，设为的中点，为三棱锥表面上动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
在侧面上，点的轨迹是，在侧面上，点的轨迹是，在底面上，点的轨迹是，求的周长即可.
【详解】
连接，交于点，连接，为菱形，
，所以，
，，，均为正三角形，
所以为二面角的平面角，于是，
又因为，所以为正三角形，
所以,
取的中点，取的中点，连接，
所以，，
所以，所以平面,
所以在三棱锥表面上，满足的点轨迹为，
因为，，，
所以的周长为，
所以点轨迹的长度为.
故选：D
11.（河南省郸城县第一高级中学高三第一次模拟）在三棱锥中，G是的重心，P是面内一点，且平面.
（1）画出点P的轨迹，并说明理由；
（2）平面，，，，当最短时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】
（1）分别取，三等分点E，F，因为G是的重心，结合面面平行的判定定理即可证明平面平面，故有平面，得点P的轨迹为；假设P不在上，根据平行关系会得出矛盾结果；
（2）由余弦定理得，根据垂直关系可证，故当点P与E重合时，最短，以C为坐标原点，建立坐标系，分别求得平面和的一个法向量，再结合向量的夹角公式即可求出二面角的余弦值．
【详解】
解；（1）分别取，三等分点E，F，其中，，
连接，，，则为点P的轨迹.
①因为，，所以，
因为平面，所以平面，
因为G是的重心，所以，
因为平面.所以平面，
因为，所以平面平面，
当P在上时，平面
②如图，假设P不在上，任取上一点Q，连接，
因为平面，平面，，
所以平面平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，所以，
所以，与矛盾，
所以假设不成立，"
综上所述，为点P的轨迹.
（2）由余弦定理得，解得，
所以，所以，
因为，所以，
因为平面，所以，
因为，平面，，所以平面，
因为平面，所以，
当点P与E重合时，最短，
如图，在平面内，作，以C为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设为平面的一个法向量，
则，即，
令，得，
设为平面的一个法向量，
则，即
令，符，
所以，
所以二面角的余弦值为.