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    2024年高考数学二轮复习全套培优微专题高考重难点题型归纳32讲第11讲导数压轴大题14种题型(2)(原卷版+解析)

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    2024年高考数学二轮复习全套培优微专题高考重难点题型归纳32讲第11讲导数压轴大题14种题型(2)(原卷版+解析)第1页
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    2024年高考数学二轮复习全套培优微专题高考重难点题型归纳32讲第11讲导数压轴大题14种题型(2)(原卷版+解析)

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    这是一份2024年高考数学二轮复习全套培优微专题高考重难点题型归纳32讲第11讲导数压轴大题14种题型(2)(原卷版+解析),共72页。
    【典例分析】
    已知,.
    (1)求函数的单调区间;
    (2)对一切,恒成立,求实数a的取值范围;
    (3)证明:对一切,都有成立.
    【变式演练】
    1.已知.
    (1)求函数的极值;
    (2)证明:对一切,都有成立.
    2.已知函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)证明:.
    【题型二】 不等式证明7:三角函数与导数不等式
    【典例分析】
    已知函数,,.
    (1)若在上单调递增,求a的最大值;
    (2)当a取(1)中所求的最大值时,讨论在R上的零点个数,并证明.
    【变式演练】
    1.设函数.
    (1)求的极值点;
    (2)设函数.证明:.
    2.已知函数
    (1)若,成立,求实数的取值范围;
    (2)证明:有且只有一个零点,且.
    【题型三】 不等式证明8:极值点偏移之不含参型
    【典例分析】
    .已知函数.
    (1)求曲线在点处的切线方程;
    (2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.
    【变式演练】
    1.已知函数.
    (1)当时,判断在区间上的单调性;
    (2)当时,若,且的极值在处取得,证明:.
    2.已知函数.(1)讨论函数的单调性;
    (2)当时,设函数的两个零点为,,试证明:.
    【题型四】 不等式证明9:极值点偏移之含参型
    【典例分析】
    已知函数的两个零点为.(1)求实数m的取值范围;
    求证:.
    【变式演练】
    1..已知函数.
    (1)设函数,且恒成立,求实数的取值范围;
    (2)求证:;
    (3)设函数的两个零点、,求证:.
    2.已知函数.(1)若f(1)=2,求a的值;
    (2)若存在两个不相等的正实数,满足,证明:
    ①;②.
    【题型五】 不等式证明10:三个“极值点(零点)”不等式
    【典例分析】
    已知函数在处的切线方程为.
    (1)求函数的解析式;
    (2)当时,若函数的3个极值点分别为,,,求证:.
    【变式演练】
    1.已知函数.
    (1)若曲线在处的切线斜率为,求实数的值;
    (2)若函数有3个不同的零点,,,求实数的取值范围,并证明:.
    2.已知函数f(x)=ex−ax21+x.
    (1)若a=0,讨论f(x)的单调性.
    (2)若f(x)有三个极值点x1,x2,x3.
    ①求a的取值范围;
    ②求证:x1+x2+x3>−2.
    【题型六】 不等式证明11:比值代换(整体代换等)
    【典例分析】
    已知函数(为常数,且).
    (1)求函数的单调区间;
    (2)当时,若有两个极值点,,证明:.
    【变式演练】
    1.已知函数,.
    (1)若函数的图象在点处的切线方程为,求实数a的值;
    (2)若函数在定义域内有两个不同的极值点,.
    (i)求实数a的取值范围;
    (ii)当时,证明:.
    2.和是关于的方程的两个不同的实数根.
    (1)求实数的取值范围;
    (2)若,求证:.
    【题型七】 不等式证明11:非对称型(零点x1与x2系数不一致)
    【典例分析】
    已知,.
    (1)讨论的单调性;
    (2)若有两个零点,是的极值点,求证:.
    【变式演练】
    1.已知函数.
    (1)讨论函数零点的个数;
    (2)若函数恰有两个零点,证明.
    2.已知函数既有极大值,又有极小值.
    (1)求实数的取值范围;
    (2)记为函数的极小值点,实数且,证明:.
    【题型八】 不等式证明12:韦达定理型
    【典例分析】
    已知函数.
    (1)若是定义域上的单调函数,求的取值范围;
    (2)若在定义域上有两个极值点,,证明:.
    【变式演练】
    1.已知函数,在定义域上有两个极值点.
    (1)求实数a的取值范围;
    (2)求证:
    2.已知函数,.
    (1)当时,求函数的单调区间;
    (2)若函数有两个极值点,,且,证明:当,,,.
    【题型九】 不等式证明13:利用第一问
    【典例分析】
    已知函数.
    (1)当时,讨论函数的单调性;
    (2)若正数m,n满足,求证.
    【变式演练】
    1.设函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)当时,证明:.
    2..已知函数.
    (1)若,讨论的单调性;
    (2)证明:.
    【题型十】 不等式证明14:含ex和lnx型
    【典例分析】
    已知函数.
    (1)若是的极值点,求,并讨论的单调性;
    (2)当时,证明:.
    【变式演练】
    1.已知函数,.
    (1)讨论的单调性;
    (2)当时,证明:,.
    2.已知函数,,其中.
    (1)试讨论函数的单调性;
    (2)若,证明:.
    【题型十一】 不等式证明15:先放缩再证明
    【典例分析】
    设函数.
    (1)求函数的单调区间;
    (2)当时,证明:.
    【变式演练】
    1.已知函数.
    (1)若曲线在点处的切线方程为,求a的值;
    (2)若,证明:.
    2.已知函数.
    (1)求函数的极值;
    (2)求证:.
    【题型十二】 不等式证明16.:切线放缩证明两根差型(剪刀模型)
    【典例分析】
    已知函数,.
    (1)求函数的极值;
    (2)设曲线与轴正半轴的交点为,求曲线在点处的切线方程;
    (3)若方程为实数)有两个实数根,且,求证:.
    【变式演练】
    1.已知函数,其中.
    (I)讨论的单调性;
    (II)设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;
    (III)若关于的方程有两个正实根,求证: .
    2.已知函数.
    (1)设曲线在处的切线为,求证:;
    (2)若关于的方程有两个实数根,,求证:.
    【题型十三】 不等式证明17:条件不等式证明
    【典例分析】
    已知函数.
    (1)设函数,讨论在区间上的单调性;
    (2)若存在两个极值点,(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值),且,证明:.
    【变式演练】
    1.已知.
    (1)证明:是上的增函数,
    (2)若,且,证明:.
    2.已知函数.
    (1)讨论零点的个数;
    (2)设m,n为两个不相等的正数,且,证明:.
    【题型十四】 综合证明:x1与x2型
    【典例分析】
    已知函数.
    (1)判断函数的单调性;
    (2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
    (3)若,求证:.
    【变式演练】
    1.已知函数,,,是两个任意实数且.
    (1)求函数的图象在处的切线方程;
    (2)若函数在上是增函数,求的取值范围;
    (3)求证:.
    2..已知函数.
    (1)若函数在点处的切线斜率为,求的值.
    (2)若函数存在减区间,求的取值范围.
    (3)求证:若,,都有.
    【课后练习】
    1.已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线 在点处的切线与轴平行.
    (1)求的值;(2)求的单调区间;
    (3)设,其中是的导函数.证明:对任意,.
    2.已知函数.
    (1)设且,求函数的最小值;
    (2)当,证明:.
    3.已知函数.(1)求函数的极大值;
    (2)设实数a,b互不相等,且,证明:.
    4.若.
    (1)当,时,讨论函数的单调性;
    (2)若,且有两个极值点,,证明.
    5.已知函数.
    (1)求的极值.
    (2)若,,证明:.
    6.已知,
    (1)求在处的切线方程以及的单调性;
    (2)令,若有两个零点分别为,且为唯一极值点,求证:.
    7.已知函数.
    (1)函数的图象能否与轴相切?若能与轴相切,求实数的值;否则请说明理由;
    (2)若函数恰好有两个零点、,求证:.
    8.已知是函数的一个极值点.
    (1)求的值;
    (2)证明:.
    9.已知函数.
    (1)设是的极值点,求,并求的单调区间;
    (2)证明:当时,.
    10.已知函数,.
    (1)若恒成立,求实数m的取值范围;
    (2)求证:当时,.
    11.已知函数,.
    (1)若,求函数的最大值;
    (2)若,
    (i)求过原点且与曲线相切的直线方程;
    (ii)设,为方程()的解,求证:.

    12.已知函数,
    (1)求的极值;
    (2)若在上恒成立,求的取值范围;
    (3)已知,,且,求证:.
    13.已知函数,gx=x−1x�(x>0)
    (1)不等式对于任意的恒成立,求实数a的取值集合;
    (2)若函数与函数的图象有且仅有一条公切线,求实数a的取值集合
    (3)设,,若函数有两个极值点,且,求证:.

    第11讲 导数压轴大题14类(2)
    【题型一】 不等式证明6:凹凸翻转型
    【典例分析】
    已知,.
    (1)求函数的单调区间;
    (2)对一切,恒成立,求实数a的取值范围;
    (3)证明:对一切,都有成立.
    【答案】(1)函数在上单调递减,在上单调递增(2)(3)证明见解析
    【分析】
    (1)求出的导函数,令导函数小于0,可求得函数单调递减区间,导函数大于0,可求得函数单调递增区间;
    (2)把与解析式代入已知不等式,整理后设,求出的导函数,根据导函数的正负判断单调性,进而求出的最小值,即可确定的范围;
    (3)所证不等式两边乘以,左边为,右边设为,求出左边的最小值及右边的最大值,比较即可得证.
    (1)
    解:因为,所以,
    当,,当,,
    所以函数在上单调递减,在上单调递增;
    (2)
    解:原不等式等价于,即对一切恒成立,
    设,则,
    当时,,单调递减,当时,,单调递增,
    所以,
    所以实数a的取值范围为;
    (3)证明:原问题等价于证明,
    由(1)可知,的最小值是,当且仅当时取到,
    设,则,
    当时,,单调递增,当时,,单调递减,
    所以,当且仅当时取到,
    所以对一切,都有成立.
    【变式演练】
    1.已知.
    (1)求函数的极值;
    (2)证明:对一切,都有成立.
    【答案】(1)极小值为,无极大值(2)证明见解析
    【分析】
    (1)求导,令f′(x)=0,解得,分别讨论和时,的正负,可得的单调区间,即可得答案.(2)问题等价于证明,x∈(0,+∞).设,利用导数求得的单调区间和极值,分析即可得答案.
    解(1)由,x>0,得f′(x)=ln x+1,令f′(x)=0,得.
    当时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
    当时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
    所以的极小值为,无极大值.
    (2)证明:问题等价于证明,x∈(0,+∞).由(1)可知,x∈(0,+∞),
    设,则,当时,,单调递增;
    当时,,单调递减.易知,当且仅当时取到.
    从而对一切x∈(0,+∞),成立,当且仅当时等号成立.
    即对一切,都有成立.
    2.已知函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)证明:.
    【答案】(1)答案见解析.(2)证明见解析
    【分析】(1),令,分别讨论,,,解不等式或即可得单调增区间和减区间,进而可得单调性.
    (2)设分别求,利用导数判断两个函数的单调性以及最值,求出即可求证.
    解(1)因为,所以,,,
    令,当时,恒成立,此时在上单调递减,
    当时,解不等式可得:,
    所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,
    当时,解不等式可得:,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    综上所述:当时,在上单调递减,
    当时,在和上单调递减,
    在上单调递增,
    当时, 在上单调递增,在上单调递减,
    (2)由可得,由可得,由可得,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    所以,所以,设,则,
    由即可得;由即可得,
    所以在上单调递增,在上单调递减,所以,
    所以,所以对任意的恒成立.
    【题型二】 不等式证明7:三角函数与导数不等式
    【典例分析】
    已知函数,,.
    (1)若在上单调递增,求a的最大值;
    (2)当a取(1)中所求的最大值时,讨论在R上的零点个数,并证明.
    【答案】(1)1;(2)2个,证明见解析.
    【分析】(1)求出函数的导数,转化为导函数在上恒成立,再求导求其最小值即可;(2)利用导数分析函数在上的单调性,根据两点的存在性定理可确定出2个零点,再由导数求出函数的最小值,求出最小值的范围即可得证.
    解(1)由题意可知,在上恒成立,
    因为,所以单调递增,
    所以,解得a≤1,所以a的最大值为1.
    (2)
    易知a=1,所以,
    当x≤0时,,所以g(x)单调递减,
    当x>0时,,则,所以单调递增,
    因为,所以存在,使得,
    在上单调递减,在上单调递增,
    又,所以,
    因为,所以存在,使得,
    所以有两个零点, 又因为,
    所以,因为,
    所以,故成立.
    【变式演练】
    1.设函数.
    (1)求的极值点;
    (2)设函数.证明:.
    【答案】(1);(2)证明过程见解析.
    【分析】(1)利用二次求导法,结合函数极值的定义进行求解即可;
    (2)利用构造函数法,结合导数的性质分类讨论进行证明即可.
    解(1)函数的定义域为:,
    由,设,
    因为,所以是单调递减函数,
    因此当时,单调递减,
    当时,单调递增,
    因此当时,函数有极大值,极大值为;
    (2)函数的定义域为:,即,
    要想证明,只需证明,
    构造函数,由(1)可知当时,函数的极大值为,
    即,当时,,
    设, ,,
    当时,单调递增,即有,
    因此此时有成立,
    当时,单调递减,即有,
    因此此时有成立,
    所以当时,,即,
    设,当时,显然有,
    因此有,即,而,
    所以当时,不等式成立,即成立.
    2.已知函数
    (1)若,成立,求实数的取值范围;
    (2)证明:有且只有一个零点,且.
    【答案】(1)(2)证明见解析.
    【分析】
    (1)把已知条件转化成大于在上的最小值即可解决;
    (2)先求导函数,判断出函数的单调区间,图像走势,再判断函数零点,隐零点问题重在转化.
    解(1)由得,则在上单调递增,在上最小值为
    若,成立,则必有由,得故实数的取值范围为
    (2)在上单调递增,且恒成立,最小正周期,在上最小值为由此可知在恒为正值,没有零点.
    下面看在上的零点情况.,,则
    即在单调递增,

    故在上有唯一零点.综上可知,在上有且只有一个零点.
    令,则,。
    令,则。即在上单调递减,
    故有
    【题型三】 不等式证明8:极值点偏移之不含参型
    【典例分析】
    .已知函数.
    (1)求曲线在点处的切线方程;
    (2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.
    【答案】(1)x-y-1=0;(2)证明见解析﹒
    【分析】(1)利用导数的几何意义即可求;
    (2)①对不等式右侧可以采用切线放缩来进行证明;②不等式左侧变形转化为证明﹒
    解(1)切点为,,,切线方程为,即x-y-1=0;
    (2),令,且当时,,单调递减;
    当时,,单调递增.∵,不妨设,∴,
    对不等式右侧可以采用切线放缩来进行证明.
    注意到,而,∴.
    再证左边:要证:,只需证明:.∵,∴.
    又∵,当时,单调递增﹐故只需证明.
    ,构造函数,,
    ∴,∴
    ∴在上单调递减,∴,
    ∴,∴.
    【变式演练】
    1.已知函数.
    (1)当时,判断在区间上的单调性;
    (2)当时,若,且的极值在处取得,证明:.
    【答案】(1)在上是增函数.(2)证明见解析.
    【分析】(1)求出导函数,设,再求导,由恒成立得单调递增,得,从而得的单调性;
    (2)利用导数得出的极小值点,注意,题设中,满足,考虑到,引入新函数,,利用导数确定是单调增函数,得,即得,再利用的关系,及函数的单调性可证得结论成立.
    解(1),时,,,
    设,则,时,恒成立,
    所以,即在上单调递增,又,所以时,恒成立,
    所以在上是增函数.
    (2),,,由(1)知在上是增函数,
    ,,所以在,即在上存在唯一零点,,
    时,,递减,时,,递增.
    是函数的唯一极小值点.若,则,
    设,,

    由得,所以,
    由,得,,又,
    所以,所以是增函数,
    当时,,
    所以,,又,
    ,所以,又,在上单调递增,
    所以,所以.
    2.已知函数.(1)讨论函数的单调性;
    (2)当时,设函数的两个零点为,,试证明:.
    【答案】(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减;(2)证明见解析.
    【分析】(1)求出导函数,讨论的取值范围,利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.
    (2)利用导数求出函数的极大值,由零点存在性定理可得两零点所在的区间,不妨设,则有,构造函数,,利用导数判断出函数单调递增,从而可得,再由即可求解.
    解:(1)易得函数的定义域为.对函数求导得:.
    当时,恒成立,即可知在上单调递增;
    当时,当时,,当时,,
    故在上单调递增,在上单调递减.
    (2)当时,,,此时在上单调递增,在上单调递减.
    ,又,,不妨设,则有,
    令,,.
    当时,,单调递增,,,
    ,又,,
    ,,在上单调递减,,即.
    【题型四】 不等式证明9:极值点偏移之含参型
    【典例分析】
    已知函数的两个零点为.(1)求实数m的取值范围;
    求证:.
    【答案】(1)(2)见解析
    【详解】(1),当时,,
    在上单调递增,不可能有两个零点;
    当时,由可解得,由可解得,
    所以在上单调递减,在上单调递增,所以,
    要使得在上有两个零点,则,解得,
    则m的取值范围为.
    (2)令,则,由题意知方程有两个根,
    即方程有两个根,不妨设,,令,
    则当时,单调递增,时,单调递减,综上可知,,
    要证,即证,即,即证,
    令,下面证对任意的恒成立,∵,∴,
    ∴又∵,∴,则在单调递增∴,故原不等式成立.
    【变式演练】
    1..已知函数.
    (1)设函数,且恒成立,求实数的取值范围;
    (2)求证:;
    (3)设函数的两个零点、,求证:.
    【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
    【分析】(1)利用变量分离法得出,利用导数求出函数的最小值,即可得出实数的取值范围;
    (2)证明出,即可证得结论成立;
    (3)分析可得,证得,利用基本不等式可得出,构造函数,分析看可知函数在上为增函数,分析得出,结合函数的单调性可证得结论成立.
    解:(1)由可得,可得,令,其中,则,
    当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增,
    所以,,所以,;
    (2)解:要证,即证,由(1)可知,,当且仅当时,等号成立,令,其中,则,当时,,此时函数单调递增,
    当时,,此时函数单调递减,所以,,
    因为和取等的条件不同,故,即;
    (3)解:由题知①,②, ①②得③,
    ②①得④. ③④得,
    不妨设,记.令,则,
    所以在上单调递增,所以,则,即,
    所以.因为,
    所以,即.令,,则在上单调递增.
    又,所以,即,所以.
    2.已知函数.(1)若f(1)=2,求a的值;
    (2)若存在两个不相等的正实数,满足,证明:
    ①;②.
    【答案】(1)2;(2)证明过程见解析.
    【分析】(1)代入f(1)=2即可求出a的值;(2)①分情况讨论,得到时满足题意,根据函数单调性,不妨设,构造差函数,证明极值点偏移问题;②在第一问的基础上进行放缩即可证明..
    解(1)由,化简得:,两边平方,解得:.
    (2)不妨令,
    ①当时,在上单调递增,故不能使得存在两个不相等的正实数,满足,舍去;
    当时,为定值,不合题意;
    当时,,由对勾函数知识可知:当时,在上单调递增,在上单调递增,两个分段函数在处函数值相同,故函数在上单调递增,不能使得存在两个不相等的正实数,满足,舍去;
    当时,函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,且,即分段函数在处函数值相等,要想存在两个不相等的正实数,满足,则有三种类型,第一种:,显然,令,则,当时,,即在单调递增,所以,即,由于,所以,又因为,所以,因为,而在上单调递减,所以,即,综上:;第二种情况:,显然满足,
    接下来证明,令,则,当时,,即在单调递增,所以,又,所以,又,所以,因为,,在上单调递增,所以,即,综上:;第三种情况:,由第一种情况可知满足,由第二种情况可知:,则,
    综上:,证毕.
    ②由①可知:当时,由得:,整理得:,即;
    当时,,整理得:,整理得:,因为,所以,综上:,证毕.
    【题型五】 不等式证明10:三个“极值点(零点)”不等式
    【典例分析】
    已知函数在处的切线方程为.
    (1)求函数的解析式;
    (2)当时,若函数的3个极值点分别为,,,求证:.
    【答案】(1)(2)证明见解析【分析】
    (1)由切线方程及导数的几何意义,得,解得,把点代入曲线方程,解得,进而可得函数的解析式;
    (2)由(1)可得的解析式,对求导,分析的单调性,极值,推出函数的3个极值点中,有一个为,有一个小于,有一个大于1,进而得出答案.
    解:((1)1)由,可得,,所以,
    所以,解得,又因为在曲线上,所以,解得,
    所以函数的解析式为:;
    (2)证明:,,
    令,,当时,,当时,,
    所以在上单调递减,在上单调递增,所以,因为函数有3个极值点,所以,所以,所以当时,又,
    (1),从而函数的3个极值点中,有一个为,有一个小于,有一个大于1,
    又,所以,,,即,,
    故.
    【变式演练】
    1.已知函数.
    (1)若曲线在处的切线斜率为,求实数的值;
    (2)若函数有3个不同的零点,,,求实数的取值范围,并证明:.
    【答案】(1)1;(2),证明见解析.
    【分析】
    (1)由导数的几何意义,知,即可求出的值;
    (2)由题意,又有3个不同的零点,则有两个异于2的不等实根,令,结合导数研究的零点分布情况即可求的取值范围,应用分析法:要证仅需证,而,是的两个实根有,令,,,只需证,上恒成立即可.
    【详解】
    (1)对求导,得,
    依题意,,解得.
    (2)依题意,,,令,得或,
    要使有三个不等实根,需使有两个异于2的不等实根,不妨设,,令,则,
    当时,,在上单调递减,不可能有两个零点,不合题意;
    当时,令,得,
    ∴当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增,∴要使有两个异于2的不等实根,须使,即,此时有,,,
    ∴由函数零点存在定理知有两个零点,即,又有,
    ∴实数的取值范围是.要证,只需证.①
    ∵,是的两个实根,且,∴,即,有.
    令,,则,,,∴要证①式成立,只需证,,即证,.令,,则在上恒成立,
    ∴在上单调递增,有,
    ∴,则得证.
    2.已知函数f(x)=ex−ax21+x.
    (1)若a=0,讨论f(x)的单调性.
    (2)若f(x)有三个极值点x1,x2,x3.
    ①求a的取值范围;
    ②求证:x1+x2+x3>−2.
    【答案】(1)f(x)在(−∞,−1)和(−1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增(2)①(1e,12)∪(12,+∞) ;②证明见解析
    【分析】(1)求导,根据的导函数与0的关系求出单调区间,
    (2)①先求导,f'(0)=0,令g(x)=ex−a(x+2),再求导,判断根的范围
    ②利用分析法进行求证,要证:x1+x2+x3>−2,只要证:x1+x2>−2,只要证ex2−e−2−x2−2a(x2+1)0,求导,判断增减性,问题得以证明.
    解:(1)当a=0时,f(x)=ex1+x,x≠−1,∴f'(x)=xex(1+x)2,
    当f'(x)0,所以x0是g(x)的极小值点且为最小值,
    要使g(x)=0有两根,只要g(x0)1e且a≠12时,g−3=e−3+a>0,设Sx=x−2lnx,x>2,则S'x=x−2x>0,
    故Sx在2,+∞上为增函数,故Sx>S(2)=2−2ln2>0即ex>x2x>2,
    取M=max2,a+a2+8a2,则x>M时,ex−ax−2a>x2−ax−2a>0,
    故此时g(x)=0有两个既不等于0也不等于−1的根,
    而g(−1)=1e−a−x2−2,
    因为g(x)在(−∞,lna)上单调递减,其中lna>−1,故只要证g(x1)

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