2024年高考数学二轮复习全套培优微专题高考重难点题型归纳32讲第6讲函数单调性讨论16种题型(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学二轮复习全套培优微专题高考重难点题型归纳32讲第6讲函数单调性讨论16种题型(原卷版+解析)，共79页。
【典例分析】
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数与的图像有两个不同的公共点，求的取值范围.
【变式演练】
1.已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
2.已知函数.
（1）求的单调区间
（2）若的极值点为，且，证明：.
【题型二】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在系数位置（单参）
【典例分析】
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若是的两个极值点，证明：.
【变式演练】
1.已知函数fx=alnx+1x+4，其中a∈R．
（1）讨论函数fx的单调性；
（2）对任意x∈1,e，不等式fx≥1x+x+12恒成立，求实数a的取值范围．
2.己知函数(其中为自然对数的底数)
（1）讨论函数的单调性;
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
3.已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【题型三】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在“斜率”和常数位置（双参）
【典例分析】
已知函数，其中，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数的导函数为．若函数恰有两个零点，，证明：．
【变式演练】
1.已知函数，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）取a＝0并记此时曲线y＝f（x）在点（其中）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为，求的解析式及的最大值．
2.函数()．讨论的单调性﹒
3.已知．
（1）求的单调区间；
（2）设，，为函数的两个零点，求证：．
【题型四】 上下平移思维基础：反比例函数型
【典例分析】
已知函数．
（1）求的极值；
（2）若（e为自然对数的底数）时恒成立，求a的取值范围．
【变式演练】
1.设函数.
（1）若在点处的切线为，求a，b的值；
（2）求的单调区间.
2.已知．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，对任意都有成立，求实数a的最大值．
【题型五】 上下平移：指数型
【典例分析】
已知函数.
（1）讨论函数的极值；
（2）若函数在上的最小值是，求实数的值.
【变式演练】
1.设函数.
（1）求函数的极值；
（2）若在时恒成立，求的取值范围.
2.设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同的零点，，为的导函数，求证：．
【题型六】 上下平移：对数函数型
【典例分析】
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，求证：．
【变式演练】
1.已知函数，（其中a为非零实数）．（1）讨论的单调性；
（2）若函数（e为自然对数的底数）有两个零点．
①求实数a的取值范围；
②设两个零点分别为、，求证：．
2.已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当函数与函数图象的公切线经过坐标原点时，求实数的取值集合；
（3）证明：当时，函数有两个零点，，且满足．
3.设为实数，且，函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围.
【题型七】 一元二次可因式分解型
【典例分析】
已知函数．（1）设讨论函数的单调性；
（2）当时，函数在区间（，a，）上的最大值和最小值分别为和，求实数t的取值范围．
【变式演练】
1.已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）当时，证明：.
2.设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若的图像与直线没有公共点，求的取值范围.
3.已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，方程有四个根，求实数的取值范围．
【题型八】 一元二次不能因式分解：判别式+韦达定理+求根公式
【典例分析】
已知函数（）.
（1）讨论的单调性；
（2）若，且正数满足，证明.
【变式演练】
1.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.
2.已知函数（）
（1）讨论的单调性
（2）当时，若函数的两个零点为，判断是否其导函数的零点？并说明理由
3.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
【题型九】 双线法：指数型
【典例分析】
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围．
【变式演练】
1.已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若，设，求证：函数在区间内有唯一的一个零点．
2.已知函数（其中，为自然对数的底数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
3.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，令，若是函数的极值点，且，求证：.
【题型十】 双线法：对数型
【典例分析】
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【题型十一】 含三角函数型讨论
【典例分析】
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设函数.过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和S的值.
【变式演练】
1.已知函数．
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）求函数的最值．
2.已知.
（1）求的单调区间；
（2）若，证明:当时，有且只有两个零点.
【题型十二】 二阶求导讨论型
【典例分析】
已知函数（其中为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的导函数的单调性；
（2）设，若x＝0为g（x）的极小值点，求实数a的取值范围.
【变式演练】
1.己知函数，，其中为常数，函数与轴的交点为，函数的图象与y轴的交点为，函数在点的切线与函数在点处的切线互相平行．（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
2.已知函数.
（1）判断在上的单调性；
（2）时，求证：（为自然对数的底数）.
3.已知函数f(x)=(x+a)ln(x+1)−ax.
（1）若a=2，求f(x)的单调区间；
（2）若a≤−2，−10，得x>1a，
由f'x0，所以f'(x)在(0,+∞)单调递增；
所以f'(x)≥f'(0)=0，所以f(x)在(−1,+∞)单调递增，
即f(x)的单调递增区间为(−1,+∞)，不存在递减区间.
【题型十三】 已知单调性求参
【典例分析】
已知函数.（1）若在上是增函数，求的取值范围；
【答案】（1）；（1）
当时，，故结论成立
当时，，即.
当时，在上不恒大于或等于0，故舍去.
综上得的取值范围范围是.
【变式演练】
1.已知函数．
（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；
【答案】（1）；试题解析：（1）
由题意，即对恒成立，整理得
，即，在恒成立
设显然其对称轴为
∴在单调递增，∴只要，∴．
2.已知函数．
（1）若函数在定义域上是单调递增函数，求实数的取值范围；
【答案】（1）；
【解析】（1）函数定义域为，．
依题意在上恒成立，即在上恒成立．
令．
（方法1）则
，因此当，即时取最小值．
（方法2）则，
令得，且当时；当时，
所以在取得最小值，故实数的取值范围是．
3.已知函数．（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
【答案】（1）；
试题解析：解：（1）在上恒成立，
令，有得，得．
综上，存在实数，使得当时有最小值3．
【题型十四】 不确定单调增或减求参
【典例分析】
已知函数f(x)＝x2＋alnx.(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．
【答案】 (2) [0，＋∞)
试题解析 (2)由题意得g′(x)＝2x＋－，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．
(ⅰ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，
则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，
设φ(x)＝－2x2，因为φ(x)在[1，＋∞]上单调递减，所以φ(x)max＝φ(1)＝0，所以a≥0.
(ⅱ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．
综上，实数a的取值范围是[0，＋∞)．
【变式演练】
1.已知函数，其中为常数．(Ⅱ)若在区间上单调函数，求实数的取值范围；
【答案】(Ⅱ)；．
试题解析：(Ⅱ)①当是增函数时， 在上恒成立，即在上恒成立，在上恒成立．在上是减函数，，
②当是减函数时，在上恒成立，即在上恒成立。设，则解得。的取值范围为
2、已知函数．
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；
（2）若在定义域上有两个极值点，，证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）若在上单调递减，等价于，利用二次函数求出最大值即得解；若在递增，等价于，二次函数没有最小值，此种情况无解. 综合即得解.
（2）利用韦达定理求出，，再求出，求出函数的最小值即得证.
（1）
解：，，若在上单调递减，则在上恒成立，故，，，
若在递增，则在恒成立，故，
没有最小值，此时不存在，
综上，的取值范围是，；
3.已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1（a，bR），e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g(x)=f′(x)，若g(x)是（0，2）上的单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（2）=0，函数f(x)在（0，2）上有零点，求a的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】
（1）由于是（0，2）上的单调函数，所以在（0，2）上大于等于零或小于等于零，从而可求出a的取值范围；
（2）由函数f(x)在（0，2）上有零点，则，使，而，，从而可得在，上不单调，则在上至少有两个零点，则（1）可得当时，有可能有两个零点，从而可判断在上有两个零点，，且，，所以有，再结合解不等式组可得答案
解：（1），∴，∵在上单调，
∴或在上恒成立，即或在上恒成立，
∴或．
【题型十五】 存在单调增（减）区间
【典例分析】
已知函数在处的切线与直线垂直，函数.
（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
【答案】（1）；（2） ；
试题解析：（1），
垂直，，
（2）
设，则只须
的取值范围为
【变式演练】
1.已知函数，其中a为实常数．
（1）若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
【答案】（1）；
试题解析：（1）．若，即，则，从而f(x)在R上是减函数，不合题意，所以． 由，得，即，
所以f(x)的单调递增区间是．因为f(x)在上存在单调递增区间，
则，即，解得．故a的取值范围是．
2.已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值；
（2）若函数在区间上存在单调增区间，求实数a的取值范围；
（3）若在区间上存在极大值，求实数a的取值范围（直接写出结果）．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】
（1）求导，再根据曲线在点处的切线方程为求解；
（2）根据函数在区间上存在单调增区间，又在上有解求解；
（3）
（1）
解：因为，所以，因为曲线在点处的切线方程为，
所以切线斜率为1，即，，所以．
（2）因为函数在区间上存在单调增区间，
所以在上有解，
即只需在上的最大值大于0即可．令，
当时，为增函数，
当时，为减函数，
所以，当时，取最大值，故只需，即．
所以实数a的取值范围是．
3.已知函数，.
（1）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围；
（2）若，为函数的两个不同极值点，证明：.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】
（1）由已知可知，若满足条件，即有解，转化为有解，即，设，利用导数求函数的最大值；
【详解】
（1）由题函数存在增区间，即需有解，即有解，
令，，且当时，，
当时，，如图得到函数的大致图象，故当，
∴时，函数存在增区间；
【题型十六】 非单调函数求参
【典例分析】
已知函数，其中.
（1）如果曲线与轴相切，求的值；
（2）如果函数在区间上不是单调函数，求的取值范围.
【答案】（1）1（2）【分析】
（1）先求导，再根据导数的几何意义即可求出结果；
（2）先求出函数在上是单调函数的范围即可，求导，分离参数构造函数，求出函数的最值即可.
（1）求导得，曲线与轴相切，此切线的斜率为0.
由解得，又由曲线与轴相切，得解得.
（2）由题意可得，
当时，在上恒成立，函数单调递增，
当时，在上恒成立，函数单调递减，
在上恒成立，或在上恒成立，
在上恒成立，或在上恒成立，
令，由，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
，
或或
函数在区间上不是单调函数，，故的取值范围为.
【变式演练】
1.已知函数的导数为，函数.
（1）求；
（2）求最小正周期及单调递减区间；
（3）若，不是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）最小正周期为，单调递减区间为，；（3）.
【分析】
(1)利用基本初等函数的求导公式及导数运算法则直接计算即得；
(2)结合(1)的结论利用三角恒等变换化简，再借助正弦函数性质即可作答；
(3)根据给定条件求出的导数，在内求出及恒成立的a值范围即可得解.
【详解】
(1)依题意，；
(2)由(1)知，，
则的最小正周期为，
由，得：，，
所以的单调递减区间为，；
(3)由(2)知，，，
当时，，则，即，
当在上单调时，则对，或成立，
由，得：，，则，
由，得：，，则，
因此，当在上单调时，或，
于是得不是单调函数时，，
所以实数的取值范围是.
2.已知函数.
（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；
（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先求出，又由可判断出在上单调递减，故，令，记， 利用导数求出的最小值即可；
（2）由在上不单调转化为在上有解，可得，令，分类讨论求的最大值，再求解即可.
【详解】
（1）已知，，由可得，
又由,知在上单调递减，
令，记，则
在上单调递增；，在上单调递增；
，
（2），，在上不单调，
在上有正有负，在上有解，，，
恒成立，记，则，
记，，在上单调增，在上单调减.
于是知
（i）当即时，恒成立，在上单调增，，
，.
（ii）当时，，故不满足题意.
综上所述，
3.设函数，，
（1）当时，若函数在上单调递增，求的取值范围：
（2）若函数在定义城内不单调，求的取值范围：
（3）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立?若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
【分析】（1）根据题意，得到，再由函数单调性，即可得出结果；
（2）先由题意，得到定义域，再对函数求导，根据其不单调，得到的最小值为负，进而可得出结果；
（3）先令，对其求导，用导数的方法求出最大值，再结合题中条件，即可得出结果.
【详解】
（1）当时，，在上单调递增，
而函数可由平移后得到，函数单调递增，
所以只需，所以；
（2）易知函数的定义域为，而，
因为函数在定义城内不单调，
所以，只需的最小值为负，即，所以.
【课后练习】
1.已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析（2）
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，再对分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）依题意在上恒成立，令，求出函数的导函数，再由二次函数的性质，可得二次函数必有一正一负两个零点，设其中一个零点，则，再利用导数求出的范围，从而求出的取值范围；
解：因为定义域为，且.
①若，则，所以在上单调递减.
②若，令，得.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
2.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数a的值．

【答案】（1）答案见解析（2）
【分析】
（1）求得的定义域为，且，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；
（2）当时，得到，不合题意；当时，得到，根据题意转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
解（1）：由题意，函数的定义域为，
则，
当时，对，，故在上单调递增，
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
3.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求函数在内的零点个数．

【答案】
（1）答案不唯一，具体见解析；
（2）答案不唯一，具体见解析.
【分析】
(1)确定函数的定义域并求导，再对a的取值进行分类讨论即可得函数的单调性.
(2)求出函数，借助导数求出的最大值，再对a的取值进行分类讨论即可确定零点个数.
（1）
函数的定义域为，求导得：，
当时，，在上单调递增，
当时，当时，，当时，，
于是得函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
4.已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】
（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）
【分析】
（1）求出函数的定义域与导函数分，两种情况讨论的正负→函数的单调性；
（2）转化为恒成立，设，转化为，设，转化恒成立分，，讨论，利用分离参数法求解a的取值范围
（1）
解：由题意，得函数的定义域为R，则，
当时，对任意恒成立，所以函数在R上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．
5.已知函数（）.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若，（）满足，求证：.

【答案】
（1）答案见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）求导得，分类讨论参数可求的单调区间；
解（1）.
①当时，，由，得；由，得；
②当时，由，得或；由，得；
③当时，；
④当时，由，得或，由，得.
综上：当时，的单调减区间为，单调增区间为；
当时，的单调减区间为，，单调增区间为；
当时，的单调减区间为，无单调增区间；
当时，的单调减区间为，，单调增区间为；
6.已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】
（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）
【分析】
（1）求出函数的定义域与导函数分，两种情况讨论的正负→函数的单调性；
（2）转化为恒成立，设，转化为，设，转化恒成立分，，讨论，利用分离参数法求解a的取值范围
（1）
解：由题意，得函数的定义域为R，则，
当时，对任意恒成立，所以函数在R上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．
7.设函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）

【答案】（1）答案见解析（2）存在，的最小值为0
【分析】
（1）求出函数的导数，就的不同取值可求的解，从而可得函数的单调增区间.
（2）利用导数结合虚设零点可求，从而可得整数的最小值.
（1）
因为，
所以，
①当时，由，解得；
②当时，由，解得；
③当时，由，解得；
④当时，由，解得；
⑤当时，由，解得，
综上所述，当时，的增区间为；
当时，的增区间为；
时，的增区间为.
8.已知函数
（1）若，试求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．

【答案】
（1）
（2）答案见解析
【分析】
（1）求导得到导函数，计算，，得到切线方程.
（2）求导得到，考虑，，，四种情况，根据导数的正负得到函数的单调性.
（1）
，，，
，故切线方程为：.
（2）
，故，
当时，，当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，得到，
当时，，当和时，，函数单调递增，当，时，，函数单调递减；
当时，， 恒成立，函数在R单调递增；
当时，，当和时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；
综上所述：
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减.
9.已知函数.（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性.

【答案】（1）极大值，极小值（2）答案见解析
【分析】（1）当时，，求导，令可得极值点和极值；
（2），对分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出．
（1）当时，，令得或.
∴时，有极大值，时，有极小值.
（2），∵，∴.
（1）当时，有，
当，，在上单调递增.
（2）当时，令，得.
①当，即，有，
从而函数在上单调递增.
②当，即时，
当，，单调递减；
当，，单调递增.
综上，时，在上单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
10.已知，．
（1）求的单调区间；
（2）若时，恒成立，求m的取值范围．

【答案】
（1）在单调递减，在单调递增.
（2）
【分析】
(1)先对函数进行求导，再进行分类讨论判断导数值的正负，即可得到答案；
(2)将问题转化为在恒成立，令，再利用（1）的结论进行求解，即可得到答案；
（1）
，，
①当时，，
在恒成立，，在单调递减，
②当时，令，则在恒成立，
在单调递增，且，在恒成立，
即在恒成立，
在单调递增，
综上所述：在单调递减，在单调递增.
11.已知函数.
（1）求在（为自然对数的底数）上的最大值；
（2）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P，Q，使得是以О为直角顶点的直角三角形，且此直角三角形斜边的中点在y轴上?

【答案】（1）答案见解析（2）存在，理由见解析.
【分析】
（1）先分别讨论，两段上的函数最值，再根据两段函数最值比较综合即可得答案；
（2）假设存在，则设（），则，进而根据将问题转化为有解问题，再分和讨论求解即可得答案.
（1）
解：当时，，，令，解得，此时在和上单调递减，在上单调递增，由于，故当时，；
当时，，，故当时，在区间上单调递减，；当时，在区间上单调递增，，当时，.
综上，当时，在上的最大值为，当时，在上的最大值为.
12.已知函数
（1）若函数在处的切线方程为，求的值；
（2）若函数在区间上存在单调增区间，求的取值范围；
（3）当时，证明：对任意恒成立.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数的几何意义求得函数在处的切线斜率，可得关于的方程，从而可得结果；
（2）函数在区间上存在单调增区间，等价于在区间上有解，分离参数求出函数范围，即得结果；
（3）先利用，求出值，然后证明对任意的恒成立即可.
【详解】
（1）由得，
因为函数在处的切线方程为，
曲线在点处的切线斜率为，
解得；
（2）函数，，
因为函数在区间上存在单调增区间，所以在区间上有解，
即在区间上有解，因为在区间上递增，
所以，可得故；
13.设函数（）（是一个无理数）
（1）若函数在定义域上不是单调函数，求a的取值范围；
（2）设函数的两个极值点为和，记过点、的直线
的斜率为k，是否存在a， 使得？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）a>2；（2）
【解析】试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
令g（x）=，其判别式△=a2 -4
1）当-2≤a≤2时，△≤0，，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意；
2）当a0，g（x）=0的两个根都小于零，故在（0，+∞）上，，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意；
3）当a>2时，△>0，g（x）=0的两个根都大于零，令，，x1x2=1
当0