新高考数学二轮专题《立体几何》第12讲 立体几何空间轨迹问题（2份打包，解析版+原卷版）

第12讲 立体几何空间轨迹问题

一．选择题（共14小题）

1．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上的点到点距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：正方体的侧面上的点到点距离为的点的轨迹形成圆弧，如图：

且为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为，

故选：．

2．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是　　

A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线

【解答】解：由题意知，直线平面，则，即就是点到直线的距离，

那么点到直线的距离等于它到点的距离，所以点的轨迹是抛物线．

故选：．

3．如图，在棱长为1的正方体中，为棱中点，点在侧面内运动，若，则动点的轨迹所在曲线为　　

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【解答】解：，是定值，

平面，

动点的轨迹所在曲线为双曲线，

故选：．

4．在棱长为3的正方体中，是的中点，是底面所在平面内一动点，设，与底面所成的角分别为，，均不为，若，则三棱锥体积的最小值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

正方体的边长为3，则，0，，，0，，

设，，，，则，，，，，，

，，0，，

，即，

代入数据，得：，

整理得：，

即，则动点的轨迹为圆的一部分，

点到直线的距离的最大值是2，则到平面的最小距离为1．

三棱锥体积的最小值是．

故选：．

5．如图，在正方体中，是的中点，为地面内一动点，设、与地面所成的角分别为、、均不为，若，则动点的轨迹为哪种曲线的一部分　　

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线

【解答】解：建系如图，设正方体的边长为2，则，0，，，0，，

设，，，，则，，，，，，

，，0，，

，即，

代入数据，得：，

整理得：，

变形，得：，

即动点的轨迹为圆的一部分，

故选：．

6．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：根据题意可知，则点符合“为底面内的一个动点，且满足”

设的中点为，根据题目条件可知

，点也符合“为底面内的一个动点，且满足”

故动点的轨迹肯定过点和点

而到点与到点的距离相等的点为线段的垂直平分

线段的垂直平分面与平面的交线是一直线

故选：．

7．如图，在长方形中，，，为线段上一动点，现将沿折起，使点在面上的射影在直线上，当从运动到，则所形成轨迹的长度为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意，将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足，由翻折的特征知，连接，

则，故点的轨迹是以为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，

如图当与重合时，，

取为的中点，得到是正三角形．

故，，

其所对的弧长为，

故选：．

8．已知平行六面体，与平面垂直，且，为中点，在对角面所在平面内运动，若与成角，则点轨迹为　　

A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆

【解答】解：平行六面体，与平面垂直，且

平行六面体是一个底面为菱形的直四棱柱，

对角面底面，对角面，

取的中点，则，与成角，与成角，

设与对角面的交点为，则对角面，

点轨迹为以为轴的一个圆锥的底面，是该圆锥的母线，且母线与底面成较，与轴成角，

故选：．

9．在正方体中，为的中点，点在其对角面内运动，若总与直线成等角，则点的轨迹有可能是　　

A．圆或圆的一部分 B．抛物线或其一部分 

C．双曲线或其一部分 D．椭圆或其一部分

【解答】解：设中点，

则．

则与直线的夹角等于与直线的夹角，

平面，

过与成等角的直线与所在平面的交点集为圆，

是长方形，不是正方形，

的轨迹是圆或圆的一部分．

故选：．

10．如图，长方体中，，，上底面的中心为，当点在线段上从移动到时，点在平面上的射影的轨迹长度为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示，以，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，

则有：，，，设，

由，可得：，

整理可得：，

点在平面上的射影的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧．

，

，

是等边三角形，即，

圆弧的长．

故选：．

11．如图，若三棱锥的侧面内一动点到底面的距离与到点的距离之比为正常数，且动点的轨迹是抛物线，则二面角平面角的余弦值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，

设二面角平面角为，点到底面的距离为，

点到定直线得距离为，则，即．

点到底面的距离与到点的距离之比为正常数，

，则，

动点的轨迹是抛物线，

，即，则．

二面角平面角的余弦值为．

故选：．

12．如图，正方体的棱长为1，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为1，则动点的轨迹是　　

A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线

【解答】解：如图所示：正方体中，

作，为垂足，则面，

过点作，则面，

即为点到直线的距离，

由题意可得．

又已知，

，

即到点的距离等于到的距离，

根据抛物线的定义可得，点的轨迹是抛物线，

故选：．

13．一光源在桌面的正上方，半径为2的球与桌面相切，且与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的长轴长为　　

A．6 B．8 C． D．3

【解答】解：以为原点，以，为坐标轴建立平面直角坐标系，

则球在平面上的截面圆方程为，

，设直线的方程为，

则圆心到直线的距离，解得．

的方程为，

令得，即．

故选：．

14．平面、、两两互相垂直，点，点到、的距离都是3，是上的动点，到的距离是到点距离的2倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意知，到的距离是到点距离的2倍，

即到两个面的交线的距离是到点距离的2倍，

的轨迹是以为焦点的椭圆，

离心率是

当点的轨迹上的点到的距离的最小时，点应该在短轴的端点处，

，

，，

点的轨迹上的点到的距离的最小值是，

故选：．

二．填空题（共7小题）

15．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点距离为的点的集合形成一条直线，那么这条曲线的形状是　圆弧　，它的长度是　 　．

若将“在正方体的侧面上到点距离为的点的集合”改为在正方体表面上与点的距离为的点的集合”那么这条曲线的形状又是　 　，它的长度又是　 　．

【解答】解：在正方体的侧面上到点距离为的点的集合形成圆弧，如图：

且为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为，

故各段弧圆心角为，它的长度是；

由题意，此问题的实质是以为球心、为半径的球在正方体各个面上交线的长度计算，

正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：

、、为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为、

、、为与球心距离为1的截面，

截痕为小圆弧，由于截面圆半径为，故各段弧圆心角为．

这条曲线长度为，

故答案为：圆弧、；各个面上的圆弧、．

16．已知正方体的棱长为1，动点在正方体的表面上运动，且与点的距离为．动点的集合形成一条曲线，这条曲线在平面上部分的形状是　圆弧　；此曲线的周长是　　．

【解答】解：由题意，此问题的实质是以为球心、半径为 的球在正方体各个面上交线的长度计算．

因为球半径小于1，所以球面只与平面，，相交，

因平面．，为过球心的截面，截痕为圆弧，各弧圆心角为，

故各段弧长为．

这条曲线周长为．

故答案为：圆弧；．

17．如图，已知正方体的棱长为，长度为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，则的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为　　．

【解答】解：如图可得，端点在正方形内运动，连接点与点，

由，，构成一个直角三角形，

设为的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得

不论如何变化，点到点的距离始终等于1．

故点的轨迹是一个以为中心，半径为1的球的．

其体积．

故答案是．

18．正方体中，、分别是棱，上的动点，且，为的中点，则点的轨迹是　直线　．

【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，设正方体的棱长为1个单位，

由于在上，在上，

所以的中点必在该直角坐标平面内

设，设，则，

如图，，所以，①，

又有，，

所以，②，

将①②两式相加得，，

显然，点的轨迹为“直线”．

故答案为：直线．

19．在长方体中，，，在线段，上各有一动点，，则的中点的轨迹图形的面积为　24　．

【解答】解：设点、、、分别为四个侧面的中心，

则点的轨迹是以5为边长的菱形．

所以其面积为．

故答案为：24．

20．如图，在棱长为2的正四面体中，、分别为直线、上的动点，且．若记中点的轨迹为，则等于　　．（注表示的测度，在本题，为曲线、平面图形、空间几何体时，分别对应长度、面积、体积．

【解答】解：如图，

当为中点时，分别在，处，满足，

此时的中点在，的中点，的位置上，

当为中点时，分别在，处，满足，

此时的中点在，的中点，的位置上，

连接，相交于点，则四点，，，共圆，

圆心为，圆的半径为，则中点的轨迹为为以为圆心，以为半径的圆，

其测度．

故答案为：．

21．点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为　　．

【解答】解：如图，

在上取点，使，连接、，，

，，

又平面，，则平面，

则点的轨迹为平面与球的截面圆周．

设正方体的棱长为，则，解得．

连接、、，

由，求得到平面的距离为．

截面圆的半径．

则点的轨迹长度为．

故答案为：．

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日期：2021/4/3 11:01:37；用户：程长月；邮箱：hngsgz031@xyh.com；学号：25355879