备战2024年高考数学二轮复习专题04求数列的通项(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题04求数列的通项(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了利用Sn求通项，累加法、累乘法，构造法等内容，欢迎下载使用。
常见考点
考点一 利用Sn求通项
典例1．已知数列的前n项和，递增等比数列满足，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和为.
变式1-1．已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
变式1-2．已知数列的前n项和为，且，
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
变式1-3．已知数列的首项，其前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，且，求n.
考点二 累加法、累乘法
典例2．已知数列满足，且.
（1）若数列满足，求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
变式2-1．已知在数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2） 设，求的前项和.
变式2-2．已知数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求.
变式2-3．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中．
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
考点三 构造法
典例3．已知数列的前n项和．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前n项和，求数列的前n项和．
变式3-1．在下列条件：
①数列的任意相邻两项均不相等，，且数列为常数列；②；③中，任选一个条件，补充在横线上，并回答下面问题．
已知数列的前n项和为，__________，求数列的通项公式与前n项和．
变式3-2．在下列条件：①；②（，）；③中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.已知正项数列的前n项和为，，并满足______.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和为.
变式3-3．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，其中表示不超过的最大整数，如，.
（i）求、、；
（ii）求数列的前项的和.
巩固练习
练习一 利用Sn求通项
1．已知为数列的前项和，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)将数列与的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列，求的前10项的和.
2．已知数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求前项和．
3．已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
4．已知数列中，，，其前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
练习二 累加法、累乘法
5．已知等差数列中，，前5项的和为，数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
6．已知数列满足．
(1)设，求的通项公式；
(2)若，求的通项公式．
7．在数列中，已知，.等比数列的首项为，且.
(1)求数列、的通项公式；
(2)求数列的前项和.
8．设数列的前n项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求的表达式
练习三 构造法
9．已知数列，a1=2，
（1）求证：是等比数列.
（2）求数列的通项公式.
10．已知正项数列的前n项和满足：．数列满足且
（1）求
（2）令求数列的前项和
11．已知数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求.
12．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知数列中，，满足___________，求数列的前n项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
第二篇 数列
专题04 求数列的通项
常见考点
考点一 利用Sn求通项
典例1．已知数列的前n项和，递增等比数列满足，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和为.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求，再由求出，设等比数列的公比为q，由条件可得，解出结合条件可得答案.
（2）由（1）可得，利用错位相减法可求
(1)
，当时，，
也满足上式，∴，则.
设等比数列的公比为q，由得，解得或.
因为是递增等比数列，所以，
.
(2)
①
①
① ②：
∴
变式1-1．已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据得到，再结合为等比数列求出首项，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）求得数列的通项公式，进而利用公式法即可求出．
(1)
解：（1），
，
当时，，即，
又，为等比数列，所以，
，
数列的通项公式为．
(2)
（2）由（1）知，
则，
数列的前项和
变式1-2．已知数列的前n项和为，且，
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由与的关系可求通项公式；
（2）利用错位相减法即可求解.
(1)
因为，所以．
所以当时，．
当时，，
显然时上式也成立，
所以．
(2)
由（1）知，所以，所以，
所以．
所以，
两式相减得，
所以，
所以．
变式1-3．已知数列的首项，其前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，且，求n.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由条件得，则利用等差数列的定义可得答案；
（2）利用裂项求和求出，再根据可求出n.
(1)
由得，
从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以；
(2)
由（1）得
，
由得
又，所以.
考点二 累加法、累乘法
典例2．已知数列满足，且.
（1）若数列满足，求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）依题意可得是公差为1的等差数列，即可求出的通项公式，再用累加法求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得；
【详解】
（1）由知数列是公差为1的等差数列
故，所以，
所以
所以
所以
所以
又满足上式，所以；
（2）由（1）可得
所以①；
②；
①②得，
所以
所以
变式2-1．已知在数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2） 设，求的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）当时利用累加法得到，再检验时也成立，即可得解；
（2）由（1）可得，再利用分组求和及裂项相消法计算可得；
【详解】
解：（1）因为，所以
当时，
所以，，所以，，又当时，满足条件，所以；
（2）由（1）可知，因为，所以，
所以
所以
变式2-2．已知数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意，，利用累乘法即可求解；
（2）由（1）可得，利用错位相减法即可求解.
(1)
解：由题意，，又，
所以，
所以.
(2)
解：由（1）可得，所以，
记，
则
由得
由得，
故.
变式2-3．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中．
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件，求利用公式法，即与的关系式；求利用累乘法；
(2)数列为一个等差数列×一个等比数列，所以可以利用错位相减法求和﹒
(1)
设等比数列的公比为，
由已知，
可得，
两式相减可得，
即，整理得，可知，
已知，令，得，
即，解得，
故等比数列的通项公式为；
由得：
，
那么，
以上个式子相乘，
可得，
，又满足上式，
所以的通项公式．
(2)
若，
所以，
，
，
，
则，
两式相减得：
，
所以．
考点三 构造法
典例3．已知数列的前n项和．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前n项和，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）根据的关系可得，根据等比数列的定义写出的通项公式，进而可得的通项公式；
（2）利用的关系求的通项公式，结合（1）结论可得，再应用分组求和、错位相消法求的前n项和．
(1)
．①
当时，，可得．
当时，．②
①－②得，则，而a1-1=1不为零，
故是首项为1，公比为2的等比数列，则．
∴数列的通项公式为，．
(2)
∵，
∴当时，，
当时，，又也适合上式，
∴，．
∴，．
令，，
则，又，
∴．
变式3-1．在下列条件：
①数列的任意相邻两项均不相等，，且数列为常数列；②；③中，任选一个条件，补充在横线上，并回答下面问题．
已知数列的前n项和为，__________，求数列的通项公式与前n项和．
【答案】选①，，；选②，，；选③，，.
【解析】
【分析】
选①：由常数列的性质得出，再由等比数列的定义证明是等比数列，最后分组求和得出前n项和；选②：由与的关系得出，以下同①；选③：先证明是等比数列，进而得出，再由与的关系得出.
【详解】
选①：因为，数列为常数列，所以，解得或，又因为数列的任意相邻两项均不相等，且
所以数列为
所以，即，
所以，又．
所以是以为首项.公比为的等比数列，所以，
即；
所以
选②：因为，易知，
所以两式相减可得，即
以下过程与①相同；
选③：由，可得，
又，故是以为首项，2为公比的等比数列，
故，即
当时，，
又也满足上式.
综上所述：，.
变式3-2．在下列条件：①；②（，）；③中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.已知正项数列的前n项和为，，并满足______.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和为.
【答案】(1)，；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）根据所选的条件，应用构造法及的关系求的通项公式.
（2）由（1）得，应用错位相减法求.
(1)
选①：，而，
所以，易得，即，；
选②：当时，，则，两式相减可得：，
所以，又，故，
当时，，又，即，解得或(舍)，
所以，是首项、公差均为1的等差数列，故，；
选③：有，且，故是首项为1，公差为的等差数列，
所以，即，
当时，，又也满足通项公式，故，；
(2)
由（1）可得：，
所以，则，
则，故，.
变式3-3．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，其中表示不超过的最大整数，如，.
（i）求、、；
（ii）求数列的前项的和.
【答案】(1)；
(2)（i），，；（ii）.
【解析】
【分析】
（1）推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；
（2）（i）利用对数函数的单调性结合题中定义可求得、、的值；
（ii）分别解不等式、、，结合题中定义可求得数列的前项的和.
(1)
解：因为，，则，可得，
，可得，以此类推可知，对任意的，.
由，变形为，
是一个以为公差的等差数列，且首项为，
所以，，因此，.
(2)
解：（i），则，
，则，故，
，则，故；
（ii），当时，即当时，，
当时，即当时，，
当时，即当时，，
因此，数列的前项的和为.
巩固练习
练习一 利用Sn求通项
1．已知为数列的前项和，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)将数列与的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列，求的前10项的和.
【答案】(1)；
(2)570.
【解析】
【分析】
(1)由给定的递推公式结合进行变形推导即得为等差数列，再求其通项得解.
(2)根据给定条件求出数列的通项即可计算作答.
(1)
由，可知，两式相减得，
即，因，则，
又，，解得，即是首项为3，公差的等差数列，
所以的通项公式.
(2)
由(1)知，，数列与的公共项满足，即，，
而，于是得，即，此时，，
因此，，即，数列是以3为首项，12为公差的等差数列，
令的前项和为，则，
所以的前10项的和为570.
2．已知数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求前项和．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）由题意知①，当时，②，用①减去②得，再根据得数列为等比数列，即可求出的通项公式；
（2）把（1）求出的代入中，得到，再利用错位相减可求出的前项和.
(1)
①，当时，② ，①减去②得，，.可得数列是首项为1，公比为2的等比数列..
(2)
，①，
②
①减去②得
.
．
3．已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据及的表达式，代入计算，即可得答案.
（2）当，可求得，当时，根据裂项相消求和法，计算即可得答案.
(1)
时，，
而不满足上式，
(2)
当时，，
当时，
综上：
4．已知数列中，，，其前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）可将条件中已知的三项之间的关系，拆中间项，前后两两组合，然后利用进行整合化简，即可得到的关系，然后通过已知的，，验证当时，此关系式依然成立，从而证明数列为等差数列，然后在求解通项公式；
（2）把第（1）问计算出的带入中，利用对数的运算，对通项进行拆解，然后得到的是一个等差数列和可裂项求和数列之间的和的关系，然后使用分组求和，各自求解即可完成.
(1)
时，
而也满足上式，，
是首项为，公差为的等差数列，
(2)
练习二 累加法、累乘法
5．已知等差数列中，，前5项的和为，数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列求和公式可得，进而可得，再利用累加法可求，即得；
（2）由题可得，然后利用分组求和法即得.
(1)
设公差为d，由题设可得，
解得，
所以；
当时，
，
∴，
当时，（满足上述的），
所以．
(2)
∵．
当时，
．
当时，
．
综上所述：．
6．已知数列满足．
(1)设，求的通项公式；
(2)若，求的通项公式．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）分析可得，由前项和与通项的关系可求得数列的通项公式；
（2）由已知可得，利用累加法与错位相减法可求得数列的通项公式.
(1)
解：由已知可得.
当时，则有，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，所以，，
满足，故.
(2)
解：由（1）可得，
设，则，
上述两个等式作差可得
，
所以，，
由已知可得，，，，
累加得，所以，，
因此，，
因为符合上式，
所以.
7．在数列中，已知，.等比数列的首项为，且.
(1)求数列、的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）计算出的值，推导出，利用累乘法可求得数列的通项公式，求出等比数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
(1)
解：因为，①
所以当时，，得.
当时，，②
①②得，即，所以.
因为当时也满足，
所以，所以，所以.
设的公比为，则，所以；
(2)
解：因为，所以，
，
两式相减得
，
所以.
8．设数列的前n项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求的表达式
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据可得，再根据累乘法即可求出数列的通项公式；
（2）由，利用并项求和法，先求出为偶数时的表达式，即可求出为奇数时的表达式，从而解出．
【详解】
（1）当时，，即，
当时，，
即，因此，
所以
即，经检验，时成立，所以．
（2），
所以，当n为偶数时
；
当n为奇数时，．
综上所述，．
练习三 构造法
9．已知数列，a1=2，
（1）求证：是等比数列.
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
(1)把给定公式两边都加上3，再验证a1+3不为0即可得解；
(2)由(1)求出数列的通项即可得解.
【详解】
（1）由an+1=2an+3，得an+1+3=2an+6=2(an+3)，而a1+3=5，
所以是以a1+3=5为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由（1）知，则，
所以数列的通项公式.
10．已知正项数列的前n项和满足：．数列满足且
（1）求
（2）令求数列的前项和
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）由，当时求出，当时，，两式作差即可得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出通项公式，由，可得，则是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可知，再利用错位相减法求和即可；
【详解】
解：（1）因为正项数列的前n项和满足：，当时，，解得或（舍去），
当时，，所以，即，即，，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，
因为且，所以，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则
（2）因为，所以，所以①；
②；
①②得，
所以
所以
11．已知数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通项公式；
（2）错位相减法求数列的和.
【详解】
（1）因为，令，则，又，
所以，
对两边同时除以，得，
又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，故；
（2）由（1）得：
所以，
则
两式相减得
所以
故
12．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知数列中，，满足___________，求数列的前n项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
若选①，由可得，即数列是以3为首项，公比为3的等比数列，然后可求出，然后利用错位相减法求出答案即可，若选②，由可得，即数列是以2为首项，公比为3的等比数列，可得，然后利用分组求和法求出答案即可，若选③，由可得，即数列是以1为首项，公差为1的等差数列，然后可求出，然后利用错位相减法求出答案即可.
【详解】
若选①，因为，所以
因为，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，
所以，即
所以
即
整理得
若选②，因为
所以
因为，所以数列是以2为首项，公比为3的等比数列，
所以即
所以
所以
若选③，因为
所以
因为，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列，
所以，即
所以
即
整理得