初中数学二次根式化简常考必会3题型

这是一份初中数学二次根式化简常考必会3题型，共4页。试卷主要包含了最简二次根式，二次根式的性质，最简二次根式和同类二次根式，二次根式计算——分母有理化，二次根式计算——二次根式的乘除，二次根式计算——二次根式的加减等内容，欢迎下载使用。

二次根式必须满足：含有二次根号；被开方数a必须是非负数（含有，且有意义）。
①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式；
②判断时一定要注意不要化简，一定要有意义。
知识点2、最简二次根式
若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
①根号下无分母，分母中无根号；
②被开方数中没有能开方的因数或因式。
知识点3、二次根式的性质
（1）非负性 √a （a≥0）是一个非负数
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
（2）（√a）^2=a （a≥0）
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或
（3）非负代数式写成
注意：
（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
知识点4、最简二次根式和同类二次根式
（1）最简二次根式：
☆最简二次根式的定义：
①被开方数是整数，因式是整式
②被开方数中不含能开得尽方的数或因式，分母中不含根号
☆同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式
知识点5、二次根式计算——分母有理化
（1）分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：
利用来确定 ，如下，分别互为有理化因式。
②两项二次根式：
利用平方差公式来确定。
如下列式子，互为有理化因式
（3）
分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
知识点6、二次根式计算——二次根式的乘除
（1）积的算术平方根的性质
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
（2）二次根式的乘法法则
两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
（3）商的算术平方根的性质
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。
（4）二次根式的除法法则
两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
知识点7、二次根式计算——二次根式的加减
二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
（1）判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。
（2）二次根式的加减分三个步骤：
①化成最简二次根式；
②找出同类二次根式；
③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并
二次根式中有两个比较重要的公式，在化简中能够经常使用，化简题中需要关注三种题型。
两个公式都有注意点，公式一中要注意根号中的被开方数必须是非负数，这也是二次根式有意义的条件。公式二最容易出错，有两个易错点，其一：直接开根得到答案为a，这也是最常犯的错误；其二在去绝对值时，得到本身a认为a的取值范围是大于0，其实应该为大于等于0，得到相反数-a，a的取值范围应该小于等于0.
直接化简
在直接化简时，有些题目有隐含条件，需要我们自己去挖掘，有些题目没有隐含条件，就是简单的化简求值题，题目会默认被开方数大于等于0.
分析：本题中被开方数是分式的形式，需要化简，根据被开方数是非负数，可以得到1-a＞0，即a＜1。
在化简时，有两种方式，一种是把根号外的部分平方以后移入根号内，然后再进行化简。但是，在移动的过程中还要注意，括号外面的代数式a-1为负数。另外一种方法是将根号中的分式进行分母有理化，即分子、分母同乘以1-a，得到上述的平方再开根先变成绝对值，然后再进行化简。
将根式外的数或代数式移到根号里面时要是正数，不能随随便便就移进去，特别是代数式。
平方再开根一定要先变成绝对值，不要直接去根号，那样很容易出错。
条件化简
给定条件再化简，给定的条件可能是具体的范围，也可能多个字母之间的关系，也可能是数轴，变化多样，但是解题思路万变不离其宗。
分析：遇到平方再开根，先变成绝对值，然后根据已知条件对绝对值中的代数式进行讨论，绝对值中为非负数去绝对值得到本身，绝对值中为非正数，去绝对值时得其相反数。
不要害怕这类题目，其实主要就是去绝对值。
分析：通过数轴可知，a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a+b＜0，原式=aab＝2ab。