2024年陕西省中考数学模拟试卷

这是一份2024年陕西省中考数学模拟试卷，共28页。试卷主要包含了 5的相反数是，26×1 0 8 B．2，下列计算正确的是，因式分解等内容，欢迎下载使用。

1. 5的相反数是 （ ）
A． B． C．5 D．-5
2.如图，AB∥CD，∠FGB=154°，FG平分∠EFD，则∠AEF的度数等于（ ）
A．26°B．52°
C．54°D．77°
3.西安是全国重点旅游城市．2018年实现旅游总收人约为26 000 000万元，数据26 000 000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.26×1 0 8 B．2.6×10 8 C．26×108 D．2.6×107
4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
5.下列计算正确的是
A.a6+a6＝2a12B.2－2÷20×23＝32
C.D.
6.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）．
A. B． C． D．
7.如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
8.如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（ ）．
A．5B．4
C．3D．2
二．填空题（共 5 小题，每小题3分）
9.因式分解：x2-xy= ．
10.如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_____．
(10题图) (11题图) （12题图 ）
11.如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________．
12.如图，在菱形中，，则的长为___________．
13.点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为___________．
三．解答题（共 13 小题）
14.计算：
15.解不等式组：.
先化简，再求值：，其中x=.
17.如图，已知ΔABC，∠B=40°.在图中，用尺规作出ΔABC的内切圆⊙O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）
18.已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．求证：△ABC≌△DCE．
19.某村经济合作社决定把吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工吨，前后共用天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
20.某校为了了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：
根据图表解答下列问题：
（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝__________，n＝__________；
（2）此次抽样调查中，共抽取了__________名学生，学生阅读时间的中位数在__________时间段；
（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？
21.已知：如图，在正方形中，对角线相交于点，点分别是边上的点，且．求证：．
22.为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离（单位：千米）与快递车所用时间（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早小时出发，到达武汉后用小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚小时．
求的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．
23.在一个不透明的布袋中，有 2 个红球，1 个白球，这些球除颜色外都相同.
（1） 搅匀后从中任意摸出 1 个球，摸到红球的概率是 ；
（2） 搅匀后先从中任意摸出 1 个球（不放回）,再从余下的球中任意摸出 1 个球.求两次都摸到红球的概率.(用树状图或表格列出所有等可能出现的结果）
24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点 M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E.
（1）若⊙O 的半径为，AC=6，求BN的长；
（2）求证：NE与⊙O相切.
25.如图，已知二次函数与轴交于、两点（点位于点的左侧），与轴交于点，已知的面积是6．（1）求的值；（2）在抛物线上是否存在一点，使．存在请求出坐标，若不存在请说明理由．
26.问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
2024 年陕西省中考数学试卷
一．选择题（共 8 小题）
1. 5的相反数是 （ ）
A． B． C．5 D．-5
【答案】D
【解析】本题考查了有理数的相反数求法，，故选D.
【知识点】相反数
2.如图，AB∥CD，∠FGB=154°，FG平分∠EFD，则∠AEF的度数等于（ ）
A．26°B．52° C．54°D．77°
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，∴∠DFG+∠FGB=180°．∵∠FGB=154°，∴∠DFG=26°．∵FG平分∠EFD，∴∠EFD=2∠DFG=2×26°=52°．∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFD=52°．故选B．
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
3.西安是全国重点旅游城市．2018年实现旅游总收人约为26 000 000万元，数据26 000 000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.26×1 0 8 B．2.6×10 8 C．26×108 D．2.6×107
【答案】D
【解析】本题考查了科学记数法，26 000 000=2.6×107，故选D.
【知识点】科学记数法
4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】根据方程或方程组得到A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，解得，，
∴A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，∴△AOB的面积＝3×2＝3，故选：B．
【点睛】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．
5.下列计算正确的是
A.a6+a6＝2a12B.2－2÷20×23＝32
C.D.
【答案】D
【解析】A.a6+a6＝2a6,故A错误；B.2－2÷20×23＝2,故B错误；C.,故C错误；D.,D正确,故选D.
【知识点】合并同类项,实数运算,积的乘方,幂的乘方,同底数幂的乘法
6.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点D，则，
∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
7.如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可证：AE＝AB＝3，
∵AD＝4，
∴AF＝4−3＝1，DE＝4−3＝1，
∴EF＝4−1−1＝2．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
8.如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（ ）．
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质得出根据勾股定理求出，进一步可求出的长．
【详解】解：∵
∴点为的中点，
∵
∴，
由勾股定理得，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键
二．填空题（共 5 小题）
9.因式分解：x2-xy= ．
【答案】x(x-y)
【解析】本题考查了提公因式法分解因式，x2-xy= x(x-y)，故答案为x(x-y).
【知识点】提公因式法分解因式
10.如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_____．
【答案】144°．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝＝36°，∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°，故答案为：144°．
【点睛】本题考查了正五边形的性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质和邻补角的定义，求出正五边形的内角是解题关键．
11.如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________．

【答案】4（答案不唯一，满足均可）
【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可．
【详解】解：当反比例函数图像过时，；
当反比例函数图像过时，；
∴k的取值范围为
∴k可以取4．
故答案为：4（答案不唯一，满足均可）．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．
12.如图，在菱形中，，则的长为___________．

【答案】10
【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．
13.点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为___________．
【答案】
【分析】先分别解一元一次方程和二元一次方程组，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．
【详解】解：，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，，
∴点Q的横坐标为5，
∵，
由得，，解得：，
把代入①得，，解得：，
∴，
∴点Q的纵坐标为，
∴点Q的坐标为，
又∴点Q关于y轴对称点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题的关键．
三．解答题（共 13 小题）
14.计算：
【思路分析】欲本题考查了实数的运算，先逐一化简，再相加.
【解题过程】解：原式=3+2-1=4.
【知识点】二次根式的性质；绝对值性质；零指数
15.解不等式组：.
【思路分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分开解，再求各解集的公共部分.
【解题过程】解：由x+1<5，解得x<4，由2（x+4）>3x+7，解得x<1． ∴原不等式组的解集是x<1．
【知识点】一元一次不等式组的解法
16.先化简，再求值：，其中x=.
【思路分析】本题考查了分式的混合运算，按运算顺序先算括号内减法，再算除法，最后代入求值.
【解题过程】解：原式===，
当x=时，原式=.
【知识点】分式的混合运算；代数式的值
17.如图，已知ΔABC，∠B=40°.
（1）在图中，用尺规作出ΔABC的内切圆⊙O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）
【答案】作图见解析；【解析】直接利用基本作图即可得出结论；

解析：如图
⊙O即为所求．
考点：作图—复杂作图
18.已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．
【答案】见解析
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE（SAS）．
由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠B＝∠DCE，由SAS即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；
【点评】熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
19.某村经济合作社决定把吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工吨，前后共用天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
【答案】4天；2天
【分析】设改进加工方法前用了天，改进加工方法后用了天，根据“前后共用天完成，总共加工22吨” 这两个关键信息建立方程组即可求解．
【解析】解:设改进加工方法前用了天，改进加工方法后用了天，
则解得经检验，符合题意．
答:改进加工方法前用了天，改进加工方法后用了天．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，找出等量关系，正确列出方程组是解决本题的关键．
20.某校为了了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：
6
5
12
4
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 阅读时间/小时
人数
女生阅读时间人数统计表 男生阅读时间频数直方图
根据图表解答下列问题：
（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝__________，n＝__________；
（2）此次抽样调查中，共抽取了__________名学生，学生阅读时间的中位数在__________时间段；
（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？
【思路分析】：单项人数÷单项百分率＝总人数；单项人数＝总人数×单项百分比；单项百分比＝单项人数÷总人数；中位数是从小到达排列最中间的一个数或者两个数的平均数；五选二就是先选一个，在剩余的人里再选一次．
【解题过程】
【答案】（1）3，30％；
（2）50，1≤t＜1.5
（3）
男 男 男 女 女
男男女女
男男女女
男男女女
男男男女
男男男女
开始
共有20种等可能，“一男一女”的占12种
∴男女生各一名的概率P＝
【解析】
（1）5÷25％＝20，m＝15％×20＝3，n＝6÷20＝30％；
（2）20＋6＋12＋5＋4＋3＝50；
学生阅读时间的中位数是第25名和第26名，恰在1≤t＜1.5时间段．
（3）
男 男 男 女 女
男男女女
男男女女
男男女女
男男男女
男男男女
开始
共有20种等可能，“一男一女”的占12种，∴男女生各一名的概率P＝．
【知识点】单项人数、总人数、百分率之间的关系；中位数；概率；
21.已知：如图，在正方形中，对角线相交于点，点分别是边上的点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】由正方形的性质得出OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，再证明∠COE=∠DOF，从而得到△COE≌△DOF，即可证明CE=DF．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，
∵∠EOF=90°，即∠COE+∠COF=90°，∴∠COE=∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE=DF．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据正方形的性质得出条件证明全等．
22.为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离（单位：千米）与快递车所用时间（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早小时出发，到达武汉后用小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚小时．
求的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．
【答案】（1）；（2）货车返回时与快递车途中相遇的时间，；
【分析】（1）由图象可知点M和点E的坐标，运用待定系数法求ME的解析式即可；
（2）运用待定系数法求出BC，CD，FG的解析式，分别联立方程组，求出交点坐标即可得到结果；
【解析】解：（1）由图象可知：M，E 设的解析式
把M，E代入得：，解得，
的解析式为；
（2）由图象知B（4，0），C(6,200) 设的解析式,
把B（4，0），C(6,200)代入得，，解得，，
∴的解析式为： 由图象知F（5，200），G（9，0）
设的解析式，把F（5，200），G（9，0）代入上式得，，
解得，，故的解析式为：
联立方程组得，，解得；由图象得，C（6，200），D（8，0）
设CD的解析式为y=rx+s，把C（6，200），D（8，0）代入上式得，，解得，
故CD的解析式为y=-100x+800,联立方程组得，解得
答：货车返回时与快递车途中相遇的时间，
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，相遇问题，读懂题目信息，理解两车的运动过程是解题的关键
23.在一个不透明的布袋中，有 2 个红球，1 个白球，这些球除颜色外都相同.
（1） 搅匀后从中任意摸出 1 个球，摸到红球的概率是 ；
（2） 搅匀后先从中任意摸出 1 个球（不放回）,再从余下的球中任意摸出 1 个球.求两次都摸到红球的概率.
(用树状图或表格列出所有等可能出现的结果）
【思路分析】本题考查概率的应用.
解答（1）时，这一小题是一步事件，直接应用概率公式进行计算；
解答第（2）时，这一小题是二步事件，先用树状图或列表法找出所有的等可能事件，然后再找出满足题目条件的情况，最后利用公式进行计算.
【解题过程】解：
布袋中共3个小球，这些球除颜色外都相同，故能摸到红球的概率为；
解法一：
用表格列出所有可能出现的结果如下：
由表格可知，一共有6种可能出现的结果，它们是等可能的，其中“两
次都摸到红球”有2种．
∴P（两次都摸到红球）＝．
解法二：
解：根据题意，可以画出如下的树状图：
白
红
红
红
红
白
红
红
白




由树状图知，所有可能出现的结果有6种，它们是等可能的，
其中“两次都摸到红球”有2种．
∴P（两次都摸到红球）＝．
【知识点】 随机事件的概率，列表法，树状图法
24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点 M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E.
（1）若⊙O 的半径为，AC=6，求BN的长；
（2）求证：NE与⊙O相切.
【思路分析】第（1）问，先利用“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”求出AB的长度也证明了△BDC为等腰三角形；又运用勾股定理，求出BC的长；最后在等腰△BDC中，利用“直径所对的圆周角为90°”得出ND为等腰三角形底边BC上的高，再利用“等腰三角形三线合一”得出N为BC的中点，从而求出BN的长度.第（2）问，由第（1）问得到等腰△BDC和由“圆中半径相等”得到的等腰△OCN是两个有公共角的等腰三角形，从而得出∠1=∠B，再利用“同位角相等，两直线平行”得到NO∥AB，从而得到NO⊥NE，最后得到相切.
【解题过程】
解：（1）∵OD=OC=，∴CD=5
∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线
∴AB=2CD=10
BD=CD=5
∵AC=6
∴在Rt△ABC中，BC==8
连接DN，如图
∵CD为直径
∴∠DNC=90°
∴N为BC中点（等腰三角形三线合一）
∴BN=BC=4
∵N为⊙O上一点，连结NO
又∵BD=CD
∴∠B=∠1
∵OC=ON
∴∠1=∠2
∴∠B=∠2
∴NO∥AB
∵NE⊥AB
∴NO⊥NE
∴NE与⊙O相切
25.如图，已知二次函数与轴交于、两点（点位于点的左侧），与轴交于点，已知的面积是6．（1）求的值；（2）在抛物线上是否存在一点，使．存在请求出坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为或或．
【分析】（1）根据求出A,B,C的坐标，再由的面积是6得到关于a的方程即可求解；
（2）根据得到点的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求解．
【解析】（1）∵，令，则，∴，
令，即 解得，
由图象知： ∴， ∵∴ 解得：，（舍去）；
（2）∵，∴，∵.∴点的纵坐标为±3，
把代入得，解得或，
把代入得，解得或，
∴点的坐标为或或．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．
26.问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里．
【分析】延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；
探究延伸1：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；
探究延伸2：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；
实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可．
【详解】解：EF=AE+CF 理由：延长到G，使，连接，
在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠CBG+∠CBF=60°，即∠GBF=60°，
在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．
探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．理由：延长到G，使，连接，
在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，即∠GBF=∠ABC，
在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．
探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．理由：延长到G，使，连接，
∵，∠BCG+∠BCD=180°，∴∠BCG=∠BAD
在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，即∠GBF=∠ABC，
在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．
实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB
∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF= AE+CF仍然成立即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）答：此时两舰艇之间的距离为210海里．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
阅读时间
t（小时）
人数
占女生人数百分比
0≤t＜0.5
4
20％
0.5≤t＜1
m
15％
1≤t＜1.5
5
25％
1.5≤t＜2
6
n
2≤t＜2.5
2
10％
阅读时间
t（小时）
女生人数
男生人数
合计
0≤t＜0.5
4
6
10
0.5≤t＜1
3
5
8
1≤t＜1.5
5
12
17
1.5≤t＜2
6
4
10
2≤t＜2.5
2
3
5
红1
红2
白
红1
（红1，红2）
（红1，白）
红2
（红2，红1）
（红2，白）
白
（白 》红1）
（白，红2）