2024年陕西省中考数学模拟试卷32

这是一份2024年陕西省中考数学模拟试卷32，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2020的相反数和倒数分别是（ ）
A．﹣2020， B．﹣2020， C．2020， D．2020，
2.如图，直线a,b被直线c所截，a∥b，∠=80°，则∠2=（ ）
A.130° B.120°
C.110°D.100°
3.下列运算正确的是（ ）
A．（ab）2＝a2b2B．a2+a2＝a4C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a6
4.下列命题正确的是 （ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
5..如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）
B．
C．D．
6.在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
7.如图，内接于，，，于点，若的半径为2，则的长为（ ）．
A 。2 B。 22
32 D 。 1+2
8.若二次函数y＝｜a｜x2＋bx＋c的图象经过A(m，n)、B(0，y1)、C(3－m，n)、D(， y2)、E(2，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1< y2< y3 B． y1 < y3< y2 C．y3< y2< y1 D． y2< y3< y1
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.计算的结果是 ．
10.如图，数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点表示的数是
（10题图） （11题图）
11.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为
12.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是___________．

（12题图） （13题图）
13.如图，在正方形中，，延长至，使，连接，平分交于，连接，则的长为_______________．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分．解答应写出过程）
14.计算：
15.解不等式组：
16.化简，：.
17.如图，在中，点是上一点，连接，求作一点，使得点到和两边的距离相等，并且到点和点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
已知：如图，，，．求证：．

19.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上
（1）将向左平移个单位得到，并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
20.为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
21.为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
22.为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：



各类学生人数条形统计图 各类学生人数扇形统计图
（1） 这次共抽取_________名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为__________
（2） 将条形统计图补充完整
（3） 该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？
23.甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元50 kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50 kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为．
（1）根据题意填表：
（2）设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式；
（3）根据题意填空：若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为__________kg；
24.如图，是⊙的直径，点在的延长线上， 、是⊙上的两点，，，延长交的延长线于点
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若,,求弦的长.
25，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；
26.在中，，，点为线段上一动点，连接．

(1)如图1，若，，求线段的长．
(2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：．
(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．
2024 年陕西省中考数学模拟试卷
一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1.2020的相反数和倒数分别是（ ）
A．﹣2020， B．﹣2020， C．2020， D．2020，
【答案】B
【分析】根据相反数和倒数的概念求解可得．
【解析】解：2020的相反数为﹣2020，2020的倒数为，故选：B．
【点睛】本题主要考查相反数和倒数，乘积是1的两数互为倒数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2.如图，直线a,b被直线c所截，a∥b，∠=80°，则∠2=（ ）
A.130° B.120° C.110°D.100°
【答案】D
【解析】解：∵a∥b，∴∠3=∠1=80°，∠2+∠3=180°，∴∠2=100°，故选D.

【知识点】对顶角的性质，平行线的性质
3.下列运算正确的是（ ）
A．（ab）2＝a2b2B．a2+a2＝a4C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a6
【答案】A
【解析】解：根据积的乘方法则：（ab）2＝a2b2，A选项正确
根据合并同类项法则：a2+a2＝2a2，B选项错误
根据幂的乘方法则：（a2）3＝a6，C选项错误
根据同底数幂相乘法则：a2•a3＝a5，D选项错误
故选：A．
【知识点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
4.下列命题正确的是 （ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A．
【解析】根据矩形的定义，易知选项A正确，另外，对角线互相平分且相等的四边形是矩形；三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．
【知识点】四边形；矩形的判定
5..如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴DE＝EF＝3﹣x＝，∴tan∠DAE＝，故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．
6.在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】根据方程或方程组得到A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，解得，，
∴A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，∴△AOB的面积＝3×2＝3，故选：B．
【点睛】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．
7.如图，内接于，，，于点，若的半径为2，则的长为（ ）．
A .2 B 22 C32 D 1+2
【答案】A
【解析】解：连接并延长交于，连接，
则，，
的半径为2，
，
，
，，
.
故答案为A．
【知识点】圆周角定理
8.若二次函数y＝｜a｜x2＋bx＋c的图象经过A(m，n)、B(0，y1)、C(3－m，n)、D(， y2)、E(2，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1< y2< y3 B． y1 < y3< y2 C．y3< y2< y1 D． y2< y3< y1
【答案】D
【思路分析】
利用A(m，n)、C(3－m，n)两点代入二数函数可以得到b＝－3｜a｜，所以对称轴为x＝，因为｜a｜＞0，对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大，再根据0、、2三个数的大小以及对称性，就可以比较出y1、y2、y3的大小关系．
【解题过程】
解：把A(m，n)、C(3－m，n)两点分别代入y＝｜a｜x2＋bx＋c，得｜a｜m2＋bm＝｜a｜＋b（3－m），整理得b＝－3｜a｜，对称轴x＝－＝，∵｜a｜＞0，开口向上，∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大，∵0＜＜＜3－＜2，∴y2< y3< y1．
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.计算的结果是 ．
【答案】3
【解析】．
【知识点】二次根式的乘除法
10.如图，数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点表示的数是
【答案】3
【解析】利用数轴结合，点位置,得若点表示的数是，则表示的数是3．
故为3．
【知识点】数轴
11.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为
【答案】1．24米
【解析】
【分析】
根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【详解】
解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：1.24米
【点睛】
本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
12.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是___________．

【答案】
【分析】把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】∵直线与双曲线（其中）相交于，两点，
∴
∴，
∴双曲线的表达式为：，，
∵过点作轴，交轴于点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
13.如图，在正方形中，，延长至，使，连接，平分交于，连接，则的长为_______________．
【答案】
【分析】如图，过作于，于，由平分，可知，可得四边形是正方形，，设，则，证明，则，即，解得，，由勾股定理得，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是矩形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，
由勾股定理得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分．解答应写出过程）
14.计算：
【思路分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解题过程】原式＝1+﹣1﹣2×+3＝3．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；绝对值；特殊角的三角函数值
15.解不等式组：
【思路分析】分别解两个不等式，再确定不等式组的解集。
【解题过程】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
则不等式组的解集是.
【知识点】不等式组的解法
16.化简，：.
【思路分析】先化简，再求值。
【解题过程】解：原式
.
当时，原式.
【知识点】分式化简求值
17.如图，在中，点是上一点，连接，求作一点，使得点到和两边的距离相等，并且到点和点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【思路分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．
【解题过程】解：如图，点即为所求，
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质
18.已知：如图，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得出，然后证明，证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴
即
在与中
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上
（1）将向左平移个单位得到，并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
【答案】（1）见解析, ；（2）图形见解析，；
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
【详解】
（1）如图所示，；
（2）如图所示，
【点睛】
此题考查作图-平移变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算，解题关键在于掌握作图法则．
20.为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
【答案】（1）．（2）树状图见解析，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率为．
【解析】（1）因为有A，B，C共3种等可能结果，所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；故答案为：．
（2）树状图如图所示：
共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率为=．
【名师点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
21.为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
【思路分析】（1）过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90° ；得到四边形DEFG是矩形；根据矩形的性质得到FG＝DE；解直角三角形即可得到结论；
【解题过程】解：（1）过点F作FG⊥EC于G，
依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90° ；
∴四边形DEFG是矩形；
∴FG＝DE；
在Rt△CDE中，
DE＝CE•tan∠DCE；
＝6×tan30 ＝23 （米）；
∴点F到地面的距离为23 米；
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
22.为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：



各类学生人数条形统计图 各类学生人数扇形统计图
（1） 这次共抽取_________名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为__________
（2） 将条形统计图补充完整
（3） 该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？
【思路分析】（1）由条形统计图中可以看出C类的人数为12，扇形统计图中可以看出C类所占抽取学生人数的比例为24%，C类的人数除以所占抽取学生人数的比例即可得到学生总人数；D类人数所占抽取学生人数的比例乘以360°，即可得到D类所对应的扇形圆心角度数；
（2）用抽取学生人数减去B、C、D类的人数即可得到A类的人数，即可补充条形统计图；
（3）用B类学生所占抽取学生人数的比例乘以学校总人数即可得到该校B类的学生人数．
【解题过程】（1）抽取学生人数为12÷24%＝50；D类所对应的扇形圆心角的大小为，故答案为50，72°
（2）A类人数为50－23－12－10＝5，补充条形统计图如图
（3）1500×＝690（人），
∴估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人．
【知识点】条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体．
甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元50 kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50 kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为．
（1）根据题意填表：
（2）设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式；
（3）根据题意填空：若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为__________kg；
【解析】（1）当x=30时，，，
当x=150时，，，
故答案为：180，900，210，850．
（2）．
当时，；
当时，，即．
（3）∵∴6x，
∴当时，即6x=5x+100，
∴x=100，
故答案为：100．
24.如图，是⊙的直径，点在的延长线上， 、是⊙上的两点，，，延长交的延长线于点
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若,,求弦的长.
【思路分析】（1）连接OC，可证得∠CAD＝∠BCD，由∠CAD+∠ABC＝90°，可得出∠OCD＝90°，即结论得证；（2）证明△CBD∽△DCA，可求出DA的长，求出AB长，设BC＝a，AC＝a，则由勾股定理可得AC的长．
【解题过程】（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ABC＝90°，∵CE＝CB，∴∠CAE＝∠CAB，∵∠BCD＝∠CAE，∴∠CAB＝∠BCD，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB+∠BCD＝90°，∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，∴△CBD∽△DCA，∴，∴，∴DA＝2，
∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，设BC＝a，AC＝a，由勾股定理可得：，解得：a＝，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质
25.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；
【思路分析】（1）将A、B关坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求解；
（2）确定直线BC的解析式为y＝﹣x+3，根据点E、F关于直线x＝1对称，即可求解；
【解题过程】解：（1））∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
代入y＝﹣x2+bx+c中，得：−9+3b+c=0−1−b+c=0，解得b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴C点坐标为（0，3）；
（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，
则有：n=33m+n=0，解得m=−1n=3，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵点E、F关于直线x＝1对称，
又E到对称轴的距离为1，
∴EF＝2，
∴F点的横坐标为2，将x＝2代入y＝﹣x+3中，
得：y＝﹣2+3＝1，
∴F（2，1）；
【知识点】二次函数综合；相似三角形的性质与判定；等腰三角形；
在中，，，点为线段上一动点，连接．

(1)如图1，若，，求线段的长．
(2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：．
(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）解，求得，根据即可求解；
（2）延长使得，连接，可得，根据，得出四点共圆，则，，得出，结合已知条件得出，可得，即可得证；
（3）在取得最小值的条件下，即，设，则，，根据题意得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，取的中点，连接，则是的中位线，在半径为的上运动，当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点，连接，交于点，则四边形是矩形，得出是的中位线，同理可得是的中位线，是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，则，在中，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图所示，延长使得，连接，

∵是的中点则，，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，

在取得最小值的条件下，即，
设，则，，
∴，，
∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到．
∴
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
取的中点，连接，
则是的中位线，
∴在半径为的上运动，
当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点，

∵是的中点，
∴，
∴是等边三角形，
则，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
如图所示，连接，交于点，则四边形是矩形，

∴，是的中点，
∴
即是的中位线，同理可得是的中位线，
∴，
∵是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，
∴
∴
则
在中，
∴．

【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，折叠的性质，圆外一点到圆上距离的最值问题，垂线段最短，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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