初中数学冀教版七年级下册8.5 乘法公式习题

这是一份初中数学冀教版七年级下册8.5 乘法公式习题，共11页。试卷主要包含了5　乘法公式，与2相等的，对1022变形正确的是，计算等内容，欢迎下载使用。
第2课时 完全平方公式
基础过关全练
知识点2 完全平方公式
8.(2023福建宁德期中)计算(x-3)2的结果是( )
A.x2-9 B.x2-3x+9
C.x2-6x+9 D.x2-6x-9
9.(2023河北石家庄四十一中模拟)与(-x-1)2相等的(M7208003)( )
A.-x2-1 B.x2+1
C.x2+2x+1 D.-x2-2x-1
10.(2023河北任丘模拟)小虎在利用完全平方公式计算时,墨水不小心洒出,将式子的两项染黑:(2x+■)2=4x2+24xy+■,则被染黑的最后一项应该是( )
A.3y B.9y
C.9y2 D.36y2
11.(2023河北张家口桥西三模)对1022变形正确的是( )
A.1022=1002+22
B.1022=1002-2×100×2+22
C.1022=1002+2×100×2+22
D.1022=1002+100×2+22
12.【一题多变·已知x+y和xy,求x2+y2】已知x+y=3,xy=2,则x2+y2的值为( )
A.5 B.9 C.7 D.6
[变式1·已知x+y和xy,求(x-y)2]已知x+y=7,xy=10,则(x-y)2的值为( )
A.3 B.9 C.49 D.100
[变式2·已知x-y和xy,求(x+y)2]已知x-y=3,xy=3,则(x+y)2的值为( )
A.24 B.18 C.21 D.12
13.【新考法】(2023河南平顶山期中)根据如图所示的图形的面积,可以得到的数学公式是( )
A.a(a-b)=a2-ab B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.a(a+b)=a2+ab D.(a-b)2=a2-2ab+b2

第13题图 第14题图
14.【教材变式·P91A组T5】(2023山东青岛五十九中期中)如图,两个正方形的泳池,面积分别是S1和S2,两个泳池的面积之和为S1+S2=16,点B是线段CG上一点,CG=6,在阴影部分铺上防滑瓷砖,则所需防滑瓷砖的面积为( )
A.5 B.4 C.8 D.10
15.【新独家原创】一个正方形的边长为a(a>5),小红把正方形的每条边长都增加3,得到一个新的正方形;小强把原正方形的一组对边分别增加5,另一组对边分别减少5,得到一个长方形,且变化后小红得到的正方形的面积比小强得到的长方形的面积多70,则原正方形的边长是 .
16.计算:(1)(2a+5b)2; (2)12x-2y2;
(3)(-4a+3b)2; (4)(-x-2y)2.
17.以下是嘉琪化简代数式(a-2)2+(a+1)(a-1)-2a(a-3)的过程.
解:原式=a2-2a+4+a2-1-2a2+6a①
=(a2+a2-2a2)+(-2a+6a)+(4-1)②
=4a+3.③
(1)嘉琪的化简过程在第 步开始出错,错误的原因是
;
(2)请你帮助嘉琪写出正确的化简过程,并计算当a=-14时代数式的值.
能力提升全练
18.(2023四川成都中考,3,★★☆)下列计算正确的是( )
A.(-3x)2=-9x2 B.7x+5x=12x2
C.(x-3)2=x2-6x+9 D.(x-2y)(x+2y)=x2+4y2
19.(2023河北乐亭期中,15,★★☆)若a2-b2=4,则(a+b)2(a-b)2的值是( )
A.24 B.16 C.8 D.4
20.(2023河北邯郸永年期中,15,★★☆)已知x-y=5,-xy=4,则x2+y2的值为( )
A.10 B.17 C.26 D.33
21.(2023内蒙古赤峰中考,7,★★☆)已知2a2-a-3=0,则(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2的值是( )
A.6 B.-5 C.-3 D.4
22.(2023河北正定期中,18,★★☆)图1是一个长为2a,宽为2b的长方形纸片(a>b),用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形纸片,然后用四块小长方形纸片拼成如图2所示的正方形.
(1)图2中,中间空余部分的小正方形的边长可表示为 ;
(2)由图2可以直接写出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的一个等量关系: .

图1 图2
23.(2023河北石家庄四十中期中,19,★★☆)如图,以长方形ABCD的各边为边向外作正方形,若四个正方形的周长之和为56,面积之和为58,则长方形ABCD的面积为 .
24.(2023湖南邵阳中考,20,★★☆)先化简,再求值:(a-3b)(a+3b)+(a-3b)2.其中a=-3,b=13.(M7208003)
25.(2023四川凉山州中考,18,★★☆)先化简,再求值:(2x+y)2-(2x+y)(2x-y)-2y(x+y).其中x=122 023,y=22 022.
26.(2022河北中考,22,★★☆)
发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
验证 如,(2+1)2+(2-1)2=10,10为偶数,请把10的一半表示为两个正整数的平方和.
探究 设“发现”中的两个已知正整数分别为m,n,请论证“发现”中的结论正确.
素养探究全练
27.【运算能力】阅读以下材料:
利用整式的乘法知识,我们可以证明以下有趣的结论:将两个有理数的平方和与另两个有理数的平方和相乘,得到的乘积仍然可以表示成两个有理数的平方和.
设a,b,c,d为有理数,则(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(a2d2-2abcd+b2c2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2.
请你解决以下问题:
(1)填空:(a2+b2)(c2+d2)=(ac-bd)2+( )2;
(2)根据阅读材料,得130=13×10=(22+32)×(12+32)=(2×1+3×3)2+(2×3-3×1)2=112+32,仿照这个过程将650写成两个正整数的平方和;
(3)将20 182 018表示成两个正整数的平方和(直接写出一种答案即可).
答案全解全析
基础过关全练
8.C 根据完全平方公式可得(x-3)2=x2-6x+9.故选C.
9.C (-x-1)2=(x+1)2=x2+2x+1.故选C.
10.D ∵(2x+■)2=4x2+24xy+■=4x2+2×2x×6y+■,
∴被染黑的最后一项应该是(6y)2=36y2.故选D.
11.C 1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22.故选C.
12.A ∵x+y=3,xy=2,∴x2+y2=(x+y)2-2xy=32-2×2=5,故选A.
[变式1] B ∵x+y=7,xy=10,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=72-4×10=9,故选B.
[变式2] C ∵x-y=3,xy=3,∴(x+y)2=(x-y)2+4xy=32+4×3=21,故选C.
13.B 本题借助几何图形的面积考查对完全平方公式的理解.最大的正方形的边长是a+b,因此面积为(a+b)2,构成最大的正方形的四个部分的面积和为a2+2ab+b2,所以(a+b)2=a2+2ab+b2,故选B.
14.A 设正方形ABCD的边长为a,正方形BEFG的边长为b,则a+b=CG=6,a2+b2=S1+S2=16,
∵(a+b)2=a2+2ab+b2,∴36=16+2ab,∴ab=10,
∴S阴影部分=12ab=5,故选A.
15.6
解析 根据题意可得小红得到的正方形的面积为(a+3)2,小强得到的长方形的面积为(a+5)(a-5),则(a+3)2-(a+5)(a-5)=a2+6a+9-(a2-25)=a2+6a+9-a2+25=6a+34=70,解得a=6.
16.解析 (1)原式=4a2+20ab+25b2.
(2)原式=14x2-2xy+4y2.
(3)原式=16a2-24ab+9b2.
(4)原式=x2+4xy+4y2.
17.解析 (1)①;完全平方公式运用错误.
(2)(a-2)2+(a+1)(a-1)-2a(a-3)=a2-4a+4+a2-1-2a2+6a=2a+3.
当a=-14时,原式=2×-14+3=52.
能力提升全练
18.C (-3x)2=9x2,7x+5x=12x,(x-3)2=x2-6x+9,
(x-2y)(x+2y)=x2-4y2.故选C.
19.B (a+b)2(a-b)2=[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2,
∵a2-b2=4,∴原式=42=16.故选B.
20.B ∵-xy=4,∴xy=-4,
∵x-y=5,∴(x-y)2=25,
即x2-2xy+y2=25,
∴x2+y2=25+2xy=25+2×(-4)=17.故选B.
21.D 原式=(2a)2-32+(2a)2-4a+1=2×(2a)2-4a-32+1=8a2-4a-9+1=8a2-4a-8
=4(2a2-a)-8.
∵2a2-a-3=0,∴2a2-a=3,
∴原式=4(2a2-a)-8=4×3-8=4.故选D.
22.(1)a-b (2)(a+b)2=(a-b)2+4ab
解析 (1)中间空余部分的小正方形的边长可表示为a-b.
(2)由大正方形的面积可得(a+b)2=(a-b)2+4ab.
23.10
解析 设AB=DC=x,AD=BC=y,
由题意得2×4x+2×4y=56,2x2+2y2=58,
化简,得x+y=7①,x2+y2=29②,
将①等号两边同时平方再减去②,得2xy=20,
∴xy=10,
即长方形ABCD的面积为10.
24.解析 (a-3b)(a+3b)+(a-3b)2
=a2-(3b)2+(a2-6ab+9b2)
=a2-9b2+a2-6ab+9b2
=2a2-6ab,
当a=-3,b=13时,原式=2×(-3)2-6×(-3)×13=24.
25.解析 (2x+y)2-(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
=4x2+4xy+y2-4x2+y2-2xy-2y2=2xy,
当x=122 023,y=22 022时,
原式=2×122 023×22 022=2×12×122 022×22 022
=2×12×12×22 022=2×12×12 022=2×12×1=1.
26.解析 验证:10的一半为5,5=1+4=12+22.
探究:(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2),
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
素养探究全练
27.解析 (1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=(a2c2-2abcd+b2d2)+(a2d2+2abcd+b2c2)
=(ac-bd)2+(ad+bc)2.
(2)650=65×10=(82+12)×(12+32)=(8×1+1×3)2+(8×3-1×1)2=112+232.
(3)20 182 018=2 018×10 001=(432+132)×(1002+12)=(43×100+13×1)2+(43×1-13×100)2=4 3132+
1 2572.(答案不唯一)